华师大新版第23章图形的相似期末复习

第23章图形的相似期末复习三生活中我们会碰到许多这样形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：相似形相似多边形的特征:

对应边成比例,对应角相等对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即=

，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段abcd合比性质：等比性质：(1)比例基本性质...APB点B把线段AC分成两部分,如果，那么称线段AC被点B

黄金分割,点P为线段AB的

黄金分割点,

AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为

黄金比.PBAPAPAB=思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?试一试身手1．若a:3=b:7,则(a+3b):2b=

；2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比例，则d=

；3．若△A1B1C1∽△A2B2C2，对应高之比为n：m，则面积之比为

；4、5若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,则x为（

）

A、8B、10C、12D、16

；2.下列命题正确的是（

D

）A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。B.△ABC的三边长为3，4，5，△A’B’C’的三边a+3,a+4,a+5.则ABC∽△A’B’C’。C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1。D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等（2）相似三角形的周长比等于相似比（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比一.填空、选择题:1、如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC

的相似比为＿＿＿.2:552cm2、已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.4.如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。5、如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA

的条件是（）。

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC6、D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，

∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。1:3D4ABEDC二、证明题：1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.

求证：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连结AM.

求证：①△MAD∽

△MEA②AM2=MD·MEEABCDMABCD定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。ABCDE想一想：一个三角形有几条中位线？梯形的中位线：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线ABCDEF求梯形的比例问题时，可以利用化归思想，把梯形化归到三角形问题去解决2、已知:△ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成△DEF,△DEF的三条中位线又组成△HPN,则△HPN的周长等于——————,为△ABC周长的——,

面积为△ABC面积的——,1、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为——cm,面积为——cm2,为原三角形面积的——。6108354DEF∠B——∠HPN(填“=”或“≠”)=HPNABC相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。做一做3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=xm。（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？APQB解：xx121.69.6（1）由题得：x2x+12=1.69.6解得：x=3m∴两个路灯之间的距离是18m做一做（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？解：1.69.618x设他的影子长为xm，则由题得：x18+x=1.69.6解得x=3.6m∴他的影子长为3.6m？AB做一做2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？DBACEHFG解：首先在图上标上字母，过点C作CE⊥AB，垂足为E根据题意，可得：△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴树高AB=3+1.2=4.2m例3、如图，已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。4614ADCB解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP设PD=x，则PB=14―x，∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，∴6：x=（14―x）:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为,即PQ∥AC;另一种情况为

BCAQP8162cm/秒4cm/秒巩固提高

如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。二、位似图形知识回顾两图形中对应边有何关系？对应角呢?这两个多边形相似吗？相似比是多少？1．任取一点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；3．分别在射线OA、OB、OC、…上取点A’、B’、C’、…，使：OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=…=1.5;4．连接A’B’、B’C’、…，得到所要画的多边形A’B’C’D’E’.要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．观察观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，并指出位似图形的位似中心．如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM，点P从A点出发，沿AB以每秒4CM的速度向B点运动同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运动，设运动的时间为X（1）当X何值时，PQ‖BC？（2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由。ABPQC怎样确定某个地方的位置？可以建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置。直角坐标系的位置不同，用坐标表示某地的位置也不同。

问题思考如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：xyo1如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：xyo1左图