高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程第一讲集合及其运算

第一章集合

1.4集合的运算1.1集合的含义与常用的数集1.2集合的表示方法1.3集合之间的关系1.5充分条件与必要条件创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集1.集合与元素

一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C…表示.把具有某种属性的一些确定的对象叫做集合中的元素，通常用小写字母a、b、c…表示；BAab创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集2.集合和元素的关系

如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作a属于A；如果b不是集合B的元素，记作bB，读作b不属于B；AaBb创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集例：“中国古代的四大发明”构成一个集合，该集合的元素就是指南针、造纸术、活字印刷术、火药。“math”中的字母构成一个集合，该集合的元素就是m,a,t,h这4个字母。“小于5的正整数”构成一个集合，该集合的元素就是1，2，3，4这4个数。创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集3.集合中元素的性质思考：“聪明的学生”能否构成一个集合？“boss”是由b，o，s，s四个元素构成的吗？创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集

（1）确定性：集合中元素必须是确定的，不确定的对象不能构成集合，如：“高三（1）班个子较高的同学”就不能构成集合。（2）互异性：集合中任何两个元素都是不同的对象，如：“boss”中的字母构成集合中只有b，o，s这3个，而不能写出两个s。（3）无序性：同一集合中的元素之间无顺序。创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集4.常用的数集一般地，我们约定用一些大写英文字母，表示常用的一些数的集合（简称数集）。自然数集，记作N；正整数集，记作N+或N*；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集练习一判断下列语句能否确定一个集合（1）小于8的自然数；（2）本班个子高的同学；（3）参加2008年奥运会的中国代表团成员

（4）与1接近的实数的全体（5）中国足球男队的队员

创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集练习二判断下面关系是否正确（1）0∈Z（2）1/2∈Q（3）0∈N+

（4）-8∈Z创新教育工作室皇家数学1.1集合的含义和常用数集练习三用“属于”和“不属于”的符号填入空格（1）1/5___Z（2）1.4142___Q（3）-19___N（4）___R创新教育工作室皇家数学1.1复习1、集合的含义一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个集合。2、集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性3、常用数集自然数集N，正整数集N+或N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R.创新教育工作室皇家数学1.2集合的表示方法1.集合的几种表示方法（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于“{}”内，如{1，2，3，4}。用这种方法表示集合，元素之间需用逗号分隔，列举时与元素顺序无关。（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，写成{x|P（x）}的形式（其中x为集合中的代表元素，P（x）为元素x具有的性质。如{x|x<5且x∈N}，{x|x是中国古代四大发明}）创新教育工作室皇家数学1.2集合的表示方法（3）图示法1，2，3，4指南针，活字印刷术，火药，造纸术创新教育工作室皇家数学1.2集合的表示方法例1：由方程x2-1=0的解的全体构成的集合，可表示为（1）列举法：{1，-1}。（2）描述法：{x|x2-1=0,x∈R}（3）图示法：如下1，-1创新教育工作室皇家数学1.2集合的表示方法有限集：含有有限个元素的集合，叫做有限集。{1，2，3，4}无限集：含有无限个元素的集合，叫做无限集。{x|x>1，x∈R}创新教育工作室皇家数学1.2集合的表示方法例2：用列举法表示下列集合（1）{x|x是大于2小于12的偶数}（2）{x|x2=4}解：（1）{4，6，8，10}

（2）{2，-2}创新教育工作室皇家数学1.2集合的表示方法例3：用描述法表示下列集合（1）南京市（2）不小于2的全体实数的集合解：（1）{x|x是中华人民共和国江苏省省会}；（2）{x|x≥2，x∈R};

创新教育工作室皇家数学1.2复习集合共有三种表示方法（1）列举法（2）描述法（3）图示法（文恩图法）创新教育工作室皇家数学1.3集合之间的关系1.3.1子集，空集，真子集1.3.2集合的相等创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集引入观察A，B集合之间有怎样的关系？（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；（2）A=N，B=R；（3）A={x|x为上海人}，B={x|x为中国人}。创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集很容易由上面几个例子看出集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，集合A，B的关系可以用子集的概念来表述。创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集1.子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记作：AB（或BA），读作A包含于B（或B包含A）。BA如果集合A不是集合B的子集，记作：

AB，读作：A不包含于B。创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集2.空集我们把不包含任何元素的集合叫空集，记作：

我们规定：空集是任何一个集合的子集，即A创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集3.真子集对于两个集合A、B，如果A包含于B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作：AB（或BA），读作：A真包含于B（或B真包含A）。如：{a，b}{a，b，c}创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集由子集和真子集的定义可知：对于集合A，B，C，若AB，BC，则

AC

对于A，B，C，若AB，BC，则

AC创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集例1：说出集合A={a，b}的所有子集与真子集。解：集合A的所有子集是：，{a}，{b}，{a，b}

上述集合除了{a，b}，剩下的都是A的真子集。创新教育工作室皇家数学1.3.1子集，空集，真子集例2：说出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间有包含关系？（1）S={-2，-1，0，1，2}，A={-1，1}B={-2，2}；（2）S=R，A={x|x<=0，x∈R}，

B={x|x>0，x∈R}。解：在（1）与（2）中，都有AS，BS创新教育工作室皇家数学1.3.1复习1、子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记作：AB（或BA），读作A包含于B（或B包含A）。2、空集我们把不包含任何元素的集合叫空集，记作：3、真子集对于两个集合A、B，如果A包含于B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作：AB（或BA），读作：A真包含于B（或B真包含A）。创新教育工作室皇家数学1.3.2集合的相等对于两个集合A与B，如果AB，且BA，则称集合A与B相等，记作A=B。例如：A={x|x2=4}，B={2，-2}A和B就是两个相等的集合。创新教育工作室皇家数学1.3.2集合的相等例1：说出下面两个集合的关系（1）A={1，3，5，7}，B={3，7}；（2）C={x|x2=1}，D={-1，1}；（3）E={偶数}，F={整数}。解：（1）BC

（2）C=D

（3）EF创新教育工作室皇家数学1.3.2复习

对于两个集合A与B，如果AB，且BA，则称集合A与B相等，记作A=B创新教育工作室皇家数学1.4集合的运算1.4.1交集1.4.2并集1.4.3补集创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集1、引入

观察下列两组集合并用图示法表示出来（1）A={x|x为会打篮球的同学}，B={x|x为会打排球的同学}，C={x|x为既会打篮球又会打排球的同学}；（2）A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，3}C={-1，-2}。观察上述组合A,B,C都有怎样的关系？创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集很容易看出集合C中的元素既在集合A中，又在集合B中。ABC创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集2、交集的概念一般的，由所有属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。ABA∩B创新教育工作室皇家数学1.4.1交集ABA∩B≠ΦA∩B=Φ相交不相交BAA∩B=AA∩A=AA∩B=B∩AA∩Φ=Φ创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集3、交集的性质对于任意两个集合都有（1）A∩B=B∩A（2）A∩A=A（3）A∩=∩A=（4）如果AB，则A∩B=A创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集例1：已知A={1，2，3，4},B={3，4，5},求A∩B。解：A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5}={3，4}1，253，4创新教育工作室皇家数学练习1：设A={12的正约数}，B={18的正约数}，用列举法写出12与18的正公约数集。

解：A={1,2，3,4，6,12}

B={1,2，3,6，9,18}12与18的正公约数集是A∩B={1,2，3,4，6,12}{1,2,3,6,9,18}={1,2,3,6}练习2

A＝｛－4，－3，－2，－1，0,1，2｝

B＝｛4,3，2,1，0，－1，－2｝，求A∩B∩创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集例2：已知A={菱形}，B={矩形}，求A∩B。解：A∩B={菱形}∩{矩形}={正方形}菱形矩形正方形创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集例3：已知A={（x,y）|2x+3y=1}，B={（x,y）|3x-2y=3},求A∩B。解：A∩B={（x,y）|2x+3y=1}∩{（x,y）|3x-2y=3}={（x,y）|2x+3y=1}3x-2y=3={（11/13,-3/13）}创新教育工作室皇家数学

1.4.1交集练习31、已知A={1，3，4}，B={3，4，5，6}，求A∩B。解：A∩B={1，3，4}∩{3，4，5，6}={3，4}创新教育工作室皇家数学1.4.1交集练习42、已知A={a，b，c，d}，B={b，d，m，n}，求A∩B。解：A∩B={a，b，c，d}∩{b，d，m，n}={b，d}创新教育工作室皇家数学1.4.1交集复习1、交集的概念和表示方法2、交集的性质创新教育工作室皇家数学1.4.2并集引入

观察下列集合A，B，C有怎样的关系？

A={2，4，6}，B={4，8，12}，

C={2，4，6，8，12}

容易看出来，集合C中的元素是由集合A和集合B中的元素合并在一起构成的创新教育工作室皇家数学1.4.2并集定义：一般的，对于两个给定集合A，B，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。ABAB创新教育工作室皇家数学1.4.2并集对于任何两个集合都有（1）A∪B=B∪A；（2）A∪A=A；（3）A∪=∪A=A。若AB，则A∪B=B；若AB，则A∪B=A创新教育工作室皇家数学1.4.2并集例1：已知：A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，求A∪B。解：A∪B={1，2，3，4}∪{3，4，5，6，7}={1，2，3，4，5，6，7}创新教育工作室皇家数学1.4.2并集例2：

已知N={自然数}，Z={整数}，求N∪Z。解：N∪Z={自然数}∪{整数}={整数}创新教育工作室皇家数学1.4.3补集引入观察下列各组中的三个集合，它们之间有什么关系？（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，

B={-2，2}；（2）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，

B={x|x>0，x∈R}。创新教育工作室皇家数学1.4.3补集设有两个集合A，S，由S中不属于A的所有元素组成的集合，成为S的子集A的补集，记作CsA（读作“A在S中的补集”）即

CsA={x|x∈S且xA}。如图：深色部分为A在S中的补集。AS创新教育工作室皇家数学1.4.3补集如果集合S中包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，通常记作U。例如，在研究实数时，常把实数集R作为全集。由补集的定义可知，对于任意集合A，有：

A∪CuA=UA∩CuA=Cu(CuA)=A创新教育工作室皇家数学1.4.3补集例1

已知U={1，2，3，4，5，6}，

A={1，2，5}，求CuA，A∩CuA，

A∪CuA。解：CuA={3，4，6}，A∩CuA

=，

A∪CuA=U。创新教育工作室皇家数学1.4.3补集例2

已知U={实数}，Q={有理数}，求CuQ。解：CuQ={无理数}。创新教育工作室皇家数学1.4.3补集例3

已知U=R，A={x|x<5}，求CuA。解：CuA={x|x≥5}。创新教育工作室皇家数学1.5充分条件与必要条件引入“如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等”。这是我们初中几何中用到的性质。而形如这种：“如果p，则q”的命题也非常多。我们经常由“如果”这部分经过推理论证，得出“则…”这部分是正确的，我们就说p可以推出q，记作：

pq

读作：p推出q，p是q的充分条件，q是p的必要条件创新教育工作室皇家数学基础自测1.（2008·四川理）设集合U={1，2，3，4，5},

A={1，2，3}，B={2，3，4},则U(A∩B)等于（）

A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}

解析

∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，

∴A∩B={2，3}.

又U={1，2，3，4，5}，

∴U(A∩B)={1，4，5}.B创新教育工作室皇家数学2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示，则(UA)∩B等于（）

A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}

解析由Venn图知(UA)∩B={5,6}.A创新教育工作室皇家数学3.（2009·广东理，1）已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和

N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）

A.3个B.2个

C.1个D.无穷多个

解析

M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.B创新教育工作室皇家数学4.(2009·浙江，1)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},

则A∩（UB）等于（）

A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}

解析

∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1}.

又A={x|x>0},∴A∩（UB）={x|0<x≤1}.B创新教育工作室皇家数学5.设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}.若AB，则a的取值范围是()A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤2

解析由图象得a≤1,故选B.B创新教育工作室皇家数学

题型一集合的基本概念【例1】(2009·山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2},

若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）

A.0B.1C.2D.4

思维启迪

根据集合元素特性，列出关于a的方程组，求出a并检验.题型分类深度剖析创新教育工作室皇家数学解析

∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴

∴a=4.答案

D

掌握集合元素的特征是解决本题的关键.解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.探究提高创新教育工作室皇家数学知能迁移1

设a,b∈R，集合{1,a+b,a}=则

b-a等于()A.1B.-1C.2D.-2

解析

∵a≠0,∴a+b=0

又{1,a+b,a}=∴b=1,a=-1.∴b-a=2.C创新教育工作室皇家数学知能迁移2已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},

若BA，求实数a.

解

A={3，5}，当a=0时，

当a≠0时，B=

要使BA，创新教育工作室皇家数学题型三集合的基本运算【例3】已知全集U={1，2，3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A},求集合U(A∪B)中元素的个数.

（1）先求出集合A和集合B中的元素.

（2）利用集合的并集求出A∪B.

解

∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，

∴B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，

∴A∪B={1，2，4},∴U(A∪B)={3，5}，共有两个元素.

集合的基本运算包括交集、并集和补集.

在解题时要注意运用Venn图以及补集的思想方法.思维启迪探究提高创新教育工作室皇家数学一、选择题1.（2009·海南，宁夏理,1）已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩NB等于（）

A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}

解析

∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴NB={1,2,4,5,7,8,…}.∴A∩NB={1,5,7}.A定时检测创新教育工作室皇家数学2.（2009·福建理，2）已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>0},则UA等于（）

A.{x|0≤x≤2}B.{x|0<x<2}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x≤0或x≥2}

解析

∵x2-2x>0,∴x(x-2)>0,∴x>2或x<0,∴A={x|x>2或x<0},

UA={x|0≤x≤2}.A创新教育工作室