理第7讲正弦定理与余弦定理

第7讲 正弦定理与余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理 正弦定理a b csin A＝sin B＝sin C＝2R内容(R为△ABC外接圆半径)a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；absinA＝2R，sinB＝2R，变形形式csinC＝2R；a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；＋＋caab＝sin＋sin＋sinsinAABC2.三角形解的判断A为锐角图形

余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__CcosA＝b2＋c2－a2；2bccosB＝c2＋a2－b22ca；a2＋b2－c2cosC＝2abA为钝角或直角关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b解的个数 一解 两解 一解 一解3.三角形中常用的面积公式1S＝ah(h表示边a上的高)；21 1 1(2)S＝2bcsinA＝2acsin__B＝2absinC；1S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝2(a＋b＋c)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.()(4)在△ABC中，a2＋b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．()(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(教材习题改编 )在△ABC中，已知 a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.cosB＝a2＋c2－b225＋64－491＝＝.2ac2×5×82所以B＝60°，所以 A＋C＝120°.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形 ( )A．无解 B．有两解C．有一解 D．解的个数不确定ab解析：选B.因为sinA＝sinB，b2422所以sinB＝·sinA＝×sin45°＝.a183又因为a<b，所以B有两解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为________．解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sin1A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得21111△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×＝.22221答案：2(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．2＋2－2a2＋2－2b2＋2－2，即a2＋c2－b2＝ac，解析：依题意得2b×2ac＝a×2ab＋c×2bc1π所以2accosB＝ac>0，cosB＝.又0<B<π，所以B＝.23π答案：3利用正弦、余弦定理解三角形[典例引领

]π

1(1)(2016

高·考全国卷Ⅲ)在△ABC

中，B＝

4，BC

边上的高等于

3BC，则

cos

A＝( )31010A.10B.1010310C．－D．－1010(2)(2017高·考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2＝()，则CA.πB.π126C.πD.π43(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得1π2【解析】a＝csin＝342322222922252，则bc，则a＝2c.在△ABC中，由余弦定理可得b＝a＋c－ac＝c＋c－3c＝c2259b2＋2－2c2＋c2－c2102210＝＝－c.由余弦定理，可得cosA＝2bc＝10，故选C.22××c10c2因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正22c·sin×1ππA2弦定理得sinC＝a＝2＝2，又0<C<4，所以C＝6.故选B.【答案】(1)C(2)B正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[通关练习]1．(2018张·掖市第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c1＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则cosB为()273A.4B.471C.3D.31a2＋－b2解析：选B.由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝22a，所以cosB＝2＝ac＋－a24a22a23.4a242．已知△

ABC

中，a，b，c分别是角

A，B，C

所对的边，若

(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，则角B的大小为

(

)π

πA.

B.6

32π

5πC.

3

D.

6解析：选C.法一：因为(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝2sinAcosB＋sin(B＋C)＝2sinAcosB＋sinA＝0，1，又B为△ABC的内角，所以B＝2π因为sinA≠0，所以cosB＝－.故选C.23法二：因为(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，a2＋c2－b2a2＋b2－c2所以(2a＋c)·2ac＋b·＝0，2ab所以b2＝a2＋c2＋ac，2＋2－21所以cosB＝2ac＝－，22π所以B＝ .33．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，∠B＝2∠A，cosA＝6，则b＝________．3解析：在△ABC中，由cosA＝63，∠B＝2∠A，可得sinA＝，33622sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×3×3＝3.ab，可得3b再由正弦定理＝＝，sinAsinB322336求得b＝2.答案：26利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[典例引领

](1)设△ABC

的内角

A，B，C所对的边分别为

a，b，c，若

bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC

的形状为

(

)A．直角三角形

B．锐角三角形C．钝角三角形

D．不确定(2)(2018

山·西怀仁月考

)若a2＋b2－c2＝ab，且2cos

Asin

B＝sin

C，那么△

ABC一定是( )A．直角三角形

B．等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等边三角形【解析】

(1)由正弦定理得

sinBcosC＋cosBsin

C＝sin2A，则

sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π.即△ABC为直角三角2形．法一：利用边的关系来判断：sinCcsinCc由正弦定理得sinB＝b，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝2sinB＝2b.cosA＝b2＋c2－a2又由余弦定理得，2bcb2＋c2－a2所以 ＝ ，2b 2bc即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以 A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，a2＋b2－c2ab1由余弦定理，得cosC＝2ab＝2ab＝2，又0°<C<180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形．【答案】 (1)A (2)D若将本例(1)条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．解：法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c?a2＝b2?a＝b，故△ABC为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； “边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．[通关练习]c1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形csinC解析：选A.已知＜cosA，由正弦定理，得sin＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(AbBB)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有 cosB＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sinC.求角A的大小；若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，1故cosA＝－，2A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.1又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.2因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．与三角形面积有关的问题 (高频考点)求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理应用的考查有以下三个命题角度：求三角形的面积；已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值 (范围)问题．[典例引领]角度一 求三角形的面积(2017高·考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.求c；设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．2π【解】(1)由已知可得tanA＝－332π在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.π π由题设可得∠CAD＝2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为1 π2AB·AD·sin 61.1AC·AD2又△ABC的面积为13，所以△ABD的面积为3.×4×2sin∠BAC＝22角度二已知三角形的面积解三角形(2018江·西南昌十校模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且sinA5c757B为锐角，若sinB＝2b，sinB＝△ABC＝，则b的值为________．4，S4【解析】sinA5ca5c5由＝?＝?a＝c，①sinB2bb2b215771由S△ABC＝acsinB＝4且sinB＝得ac＝5，②242联立①②解得a＝5，c＝2，由sinB＝73b2＝25＋4且B为锐角知cosB＝，由余弦定理知4432×5×2×＝14，b＝14.4【答案】 14角度三 求有关三角形面积或周长的最值 (范围)问题(2018

沈·阳市教学质量检测

(一))已知△

ABC

的三个内角

A，B，C的对边分别为

a，b，c，面积为

S，且满足

4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则

S的最大值为

________．1【解析】

由题意得：

4×

bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，2又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得：2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，＋πππ5ππ3ππ14)＝1，又0<A<π，所以4<A＋4<4，所以A＋4＝4，所以A＝2，S＝22sin(A1bcsinA＝2bc，又b＋c＝8≥2bc，当且仅当b＝c时取“＝”，所以bc≤16，所以S的最大值为8.【答案】 8与三角形面积有关问题的解题策略1 1 1求三角形的面积．对于面积公式S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．[通关练习]1．(2018云·南省第一次统一检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为2的最小值为()1＋，则bA．2B．3C.2D.3解析：选A.由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.π122因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsinB＝1＋222－422accosB≥2ac－22＋22b≥2，b的ac＝(2－)(4)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以最小值为2，故选A.2．(2017高·考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知sin(A＋C)＝B8sin22.求cosB；若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.B解：(1)由题设及 A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故2sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，15解得cosB＝1(舍去)，cosB＝ .1715 8(2)由cosB＝17得sinB＝17，故

1417△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.1722由余弦定理及 a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB(a＋c)2－2ac(1＋cosB)36－2×17×(1＋15)1724.所以b＝2.应用正、余弦定理的解题技巧技巧解读适合题型典例指引将表达式中的边利用边化角公式a＝2RsinA，b＝等式两边是边的齐次例2(1)2RsinB，c＝2RsinC形式化为角的关系将表达式中的角利用公式转化为边，出现等式两边是角的齐次角化边角的正弦值用正弦定形式、a2＋b2－c2＝例2(2)理转化，出现角的余λab形式弦值由余弦定理转化a2＝b2＋c2－2bccosA(b＋c)2－2bc(1＋出现b＋c，bc等结构和积互化 cosA)．可联系已知形式条件，利用方程思想进行求解三角形的边与重要不等式相联系，由 b2＋c22bc，得a2＝b2＋c2－2bccosA方积互化 求边、角、面积等范围问题 例3-32bc－2bccosA＝2bc(1－cosA)，可探求边或角的范围问题易错防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．(2018兰·州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝()22A.4B．－433C.D．－44解析：选B.由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝2a，所以cosa2＋b2－c2a2＋2a2－4a2C＝＝2a×＝2ab2a2－，故选B.42．(2018广·东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，选C.223．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝3，a＝3，S△ABC2＝2，则b的值为()A．6B．3C．2D．2或3△21解析：选D.因为SABC＝2＝bcsinA，2所以bc＝6，又因为sinA＝2219＝b2＋c2－3，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得32bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.224．(2018安·徽合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝3，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π解析：选C.已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R为△ABC的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，则2RsinC＝2，因为221cosC＝3，所以sinC＝3，所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－3acosB＝0，且a＋cb2＝ac，则的值为()b2B.2A.2C．2D．4解析：选C.在△ABC中，由bsinA－3acosB＝0，利用正弦定理得 sinBsinA－3sinAcosB＝0，π所以tanB＝3，故B＝ .3由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，a＋c又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.bπ2sinB，则△ABC的面积为________．6．在△ABC中，A＝4，b2sinC＝4解析：因为b2sinC＝42sinB，所以b2c＝42b，所以bc＝42，1122＝2.SABC＝bcsinA＝×4×222答案：2sin2A7．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sinC＝________．解析：由余弦定理：cosA＝b2＋c2－a225＋36－1632bc＝＝，2×5×647＋b2－c216＋－361所以sinA＝4，cosC＝2ab＝＝，2×4×582×3737sin2A×44所以sinC＝8，所以sinC＝37＝1.8答案：118．已知△ABC的周长为 2＋1，面积为 6sinC，且sinA＋sinB＝2sinC，则角C的值为________．解析：将sinA＋sinB＝2sinC利用正弦定理化简得：a＋b＝2c，因为a＋b＋c＝2＋1，所以2c＋c＝2＋1，即c＝1，所以a＋b＝2，111因为S△ABC＝absinC＝sinC，所以ab＝.263因为cosC＝a2＋b2－c2a2＋b2－12ab＝2ab2（＋）2－2ab－12－－1π＝2ab＝2＝，则C＝.233π答案：339．(2017高·考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝7a.求sinC的值；若a＝7，求△ABC的面积．3解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，7所以由正弦定理得csinA3333sinC＝＝×2＝.a7143(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.71由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，2解得b＝8或b＝－5(舍)．113所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝63.22210．(2018·州省适应性考试贵)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3.求tanB及边长a的值；若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．解：(1)在△ABC中，acosB＝4，bsinA＝3，bsinAsinBsinA3两式相除，有＝sin＝tanB＝，acosBAcosB44又acosB＝4，所以cosB>0，则cosB＝，故a＝5.53 1(2)由(1)知，sinB＝5，由S＝2acsinB＝9，得c＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB＝13，得b＝13.故△ABC的周长为 11＋13.2π1．(2018长·沙市统一模拟考试)△ABC中，C＝3，AB＝3，则△ABC的周长为()ππA．6sin(A＋3)＋3B．6sin(A＋6)＋3C．23sin(A＋πD．23sin(A＋π3)＋36)＋3解析：选C.设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝33BC＝2RsinA＝232πsin3ππ－A)]＋3＝2A，AC＝2RsinB＝23sin(3－A)，于是△ABC的周长为23[sinA＋sin(33sinπ(A＋3)＋3.选C.2．(2018安·徽江南十校联考1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三)设△ABC的面积为S1个内角大小满足)A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为(S22525A.12πB.24π3＋33＋3C.D.4π2π解析：选D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，ππ，C＝5又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝π.4312ab＝c＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为由正弦定理＝sinsinAsinBCsinAsinBcC.△ABC的外接圆半径)可得，a＝sinC·c，b＝sinC·c，R＝2sin11sinAsinB所以S1＝absinC＝·sin·sin·c2·sinC22CC1c2＝sinA·sinB·sinC·，2sin2Cπc2S2＝πR2＝·，4sin2C23622×××3＋3S12sinA·sinB·sinC224，故选D.所以＝＝＝S2ππ4π3．如图，在四边形 ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD135°，则BC的长为________．解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．BC＝BD162在△BCD中，由正弦定理：，所以BC＝sin135·sin30°＝8.sin∠CDBsin∠BCD°答案：82asin＋－C234．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，sinsinC＝3a，aB2