随机事件的概率的求解方法

掌握随机事件的概率的求解方法，并能应用其解决简单的实际问题(判断游戏是否公平，对某些问题作出合理决策)用列举法求概率【例1】(2010·淮安中考)在完全相同的五张卡片上分别写上1，2，3，4，5五个数字后，装入一个不透明的口袋内搅匀.(1)从口袋内任取一张卡片，卡片上数字是偶数的概率是____；(2)从口袋内任取一张卡片记下数字后放回．搅匀后再从中任取一张，求两张卡片上数字和为5的概率.【思路点拨】【自主解答】(1)任取一张卡片，共有5种情况，其中是偶数的有2种，所以P(抽得偶数)=答案：(2)所有可能的情况(两个数字的和)为2，3，4，5，6，3，4，5，6，7，4，5，6，7，8，5，6，7，8，9，6，7，8，9，10共25种，其中和为5的有4种，所以P(两张卡片上数字和为5)=.

用列举法求概率关键是认真分析题意，抓住题中的关键字词，列举所有可能出现的情况，做到不重不漏，再代入公式计算.1.(2010·铜仁中考)随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为()【解析】选A.可能出现的情况为正正，正反，反正，反反，所以至多有一次反面朝上有正正，正反，反正三种情况，故选A.2.(2010·曲靖中考)在分别写有数字-1,0,1,2的四张卡片中，随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标的点落在第一象限的概率是_____.【解析】所有可能出现的情况为(-1,-1)、(-1，0)、(-1，1)、(-1，2)、(0，-1)、(0，0)、(0，1)、(0，2)、(1，-1)、(1，0)、(1，1)、(1，2)、(2，-1)、(2，0)、(2，1)、(2，2)，共有16种，其中在第一象限的有4种，所以P(落在第一象限)=.答案：在稍复杂的问题情景中分析所有可能出现的情况时，要仔细认真，不要重复或遗漏，特别是与顺序有关的问题时不要遗漏.应用概率解决简单的实际问题【例2】(2010·南京中考)某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖.厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖.(1)厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖.该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；(2)如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求.(友情提醒：1.转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，2.结合转盘简述获奖方式，不需说明理由.)【思路点拨】用列举法求概率是中考的一个基础考点，题目难度不大，解题关键是深刻理解列出所有可能结果求概率的方法，不重不漏列出所有可能的结果，求出概率后再进行决策或判断.【自主解答】(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求.分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球.从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：(黄1,黄2)、(黄1，白1)、(黄1,白2)、(黄1，白3)、(黄2，白1)、(黄2，白2)、(黄2，白3)，(白1，白2)、(白1，白3)、(白2,白3)，共有10种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球(记为事件A)的结果有1种，即(黄1，黄2)，所以P(A)=，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%.(2)本题答案不惟一，下列解法供参考.如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖.

规律总结概率在现实生活中的应用广泛，利用概率作决策或判断游戏的公平性，关键是确定不同事件发生的概率，然后根据概率的大小，结合现实情景作出合理的判断.设计方案时要以概率为依据.3.(2010·山西中考)哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1、2、3，将标有数字的一面朝下洗匀，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜.该游戏对双方_____.(填“公平”或“不公平”).【解析】列举所有的情况为：2、3、4、3、4、5、4、5、6共9种，P(和为奇数)=4/9，P(和为偶数)=5/9，二者获胜的概率不相等，所以游戏对双方不公平.答案：不公平4.(2010·滨州中考)某电视台在2010年春季举办的青年歌手大奖赛活动中,得奖选手由观众发短信投票产生,并对发短信者进行抽奖活动.一万条短信为一个开奖组,设一等奖1名,二等奖3名,三等奖6名.王小林同学发了一条短信,那么他获奖的概率是_____.【解析】共有10000种情况，其中获奖的情况有10种，所以获奖的概率为.答案：

应用概率判断游戏的公平性，就是通过比较概率的大小来判断，涉及到修改游戏规则的问题，其方法往往不惟一，但基本上有两种情形：(1)对概率进行修改，通过修改原题中的条件使他们各自的概率相等;(2)对他们的分值进行修改，使最后得分相等.1.(2010·内江中考)在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为()【解析】选C.所有可能情况为等边三角形、平行四边形；等边三角形、等腰梯形；等边三角形、圆；平行四边形、等腰梯形；平行四边形、圆；等腰梯形、圆共6种，其中都是轴对称图形的有3种，故选C.2.若一个家庭有两个孩子，则这两个孩子都是男孩的概率为()【解析】选A.所有可能的情况有(男，男)、(男，女)、(女，男)、(女，女)，故选A.3.(2010·衢州中考)玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的2种不同款式的书包和2种不同款式的文具盒中，分别取一个书包和一个文具盒进行款式搭配，则不同搭配的可能有_____种.【解析】设书包分别为A、B，文具盒为C、D，则所有的搭配情况为A、C；A、D；B、C；B、D共4种.答案：44.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是_____.【解析】共有12，13，23，21，31，32这6种情况，大于21的有23，31，32三种，所以P(大于21)=答案：5.乐乐有红色、黄色、白色三件运动短袖上衣和白色、黑色两条运动短裤，若任意组合穿着，则乐乐穿着“衣裤同色”的概率是多大？【解析】替换列举法，用A，B，C表示上衣红色，黄色，白色，E，D表示短裤的白色，黑色，列举可能情况有AE，BE，CE；AD，BD，CD，共6种，即n=6，m=1，所以P(同色衣裤)=．

一、选择题（每小题4分，共12分）1.（2010·菏泽中考）某医院决定抽调甲、乙、丙、丁4名医护人员参加抗震救灾，先随机地从这4人中抽取2人作为第一批救灾医护人员，那么丁医护人员被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是（）【解析】选A.所有可能的情况为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种，丁医护人员被抽到的情况有3种，故选A.2.在拼图游戏中，从图①中的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图②）的概率是()【解析】选C.若要拼成“小房子”，则取得的两张纸片中，一张应为三角形，一张应为正方形，所有可能的结果有6个，取得一张三角形纸片与一张正方形纸片的结果有4个.所以P（拼成“小房子”）=.3.（2010·毕节中考）在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）【解析】选B.所有的结果有能组成分式的有4种，所以P(组成分式)=.或者：分母为a+1、a+2、2三种情况，当分母为a+1或a+2时，组成分式，所以P(组成分式)=.

【归纳整合】用列举法求概率，思考问题的角度不同，所列举的情况也有可能不同.但结果都是相同的.无论从何种角度考虑必须满足的特征是有限等可能性，否则，若列举的情况发生的可能性不同，则不能使用P(A)=进行计算.二、填空题（每小题4分，共12分）4.（2010·杭州中考）一个密码箱的密码,每个数位上的数都是从0到9的自然数,若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于,则密码的位数至少需要_____位.【解析】密码为一位数时，一次拨对的概率为，两位数时，一次拨对的概率为，三位数时，一次拨对的概率为，四位数时，一次拨对的概率为，所以密码最少为四位数.答案：四5.（2010·绍兴中考）根据第六届世界合唱比赛的活动细则,每个参赛的合唱团在比赛时须演唱4首歌曲.爱乐合唱团已确定了2首歌曲,还需在A,B两首歌曲中确定一首,在C,D两首歌曲中确定另一首,则同时确定A,C为参赛歌曲的概率是____.【解析】所有可能的情况为AC，AD，BC，BD四种，同时确定A、C为参赛歌曲的概率为.答案：6.一张圆桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率是_____.【解析】按题意，先把B的位置确定下来，因为A与B不相邻而坐，那么B只能坐到A的对面那一个位置，C、D可以在剩下的2个位置随机地选取一个而坐，有两种坐法，再考虑B、C、D三人随机而坐有几种可能情形，对于B来说在三个座位中任选取一个座位后，C、D再随机地选取一个，总共有6种情形.所以A与B不相邻而坐的概率为：P（A与B不相邻）=.答案：三、解答题（共26分）7.（8分）（2010·安徽中考）上海世博会门票价格如下表所示：某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张.（1）有多少种购票方案？列举所有可能结果；（2）如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到购得11张门票的概率.【解析】（1）共有6种购票方案：（2）由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种购票方案的可能性相等而恰好选到购得11张门票的方案只有1种，因此恰好选到购得11张门票的概率是.8.（8分）某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐