计量经济学第5章 异方差

1第5章异方差

§5.1异方差的概念一元和多元线性回归模型的第二条假设，是随机误差项的方差为常数，即Var(ui)=σ2不随i变化。异方差可表示为Var(ui)=σi2≠常数，即Var(ui)≠Var(uj)，i≠j,i,j=1,2,…,n此时称ui具有异方差性。2或者用随机误差项向量的协方差矩阵表示为：3异方差一般可归结为三种类型：1递增型异方差：σi2随X的增大而增大；2递减型异方差：σi2随X的增大而减小；3复杂型异方差：σi2与X的变化呈复杂形式。45§5.2异方差的来源与后果一般经验告诉我们：异方差性常来源于截面数据。异方差来源于测量误差和模型中被省略的一些因素对被解释变量的影响。异方差产生于计量经济模型所研究的问题本身例1居民家庭的储蓄行为：6用分组数据来估计经济计量模型也是异方差性的一个重要来源。例2以绝对收入假设为理论假设，以截面数据为样本建立居民消费函数：7例3以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型：其中产出量Y，资本K，劳动L，技术A异方差来源于许多复杂的因素，可能是投资环境，也可能是劳动力的素质等。8异方差性的后果1参数估计量非有效2变量的显著性检验失去意义3模型的预测失效9§5.3异方差检验异方差性，即相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性。

Var(ui)=E(ui2)10（一）图示法既可利用Y-X的散点图进行判断，也可利用ei2-X的散点图进行判断：对前者看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势；对后者看是否形成一斜率为零的直线。注：图示法只能进行大概的判断。1112（二）戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt)检验此检验方法以F检验为基础，适合于样本容量较大，异方差为单调递增或单调递减的情况。原假设为：H0:ui是同方差，即σ12=σ22=…=σn2备择假设为：H1:ui是递增（或递减）异方差，即σi2随X递增（或递减）(i=1,2,…,n)检验过程如下：1、将解释变量观测值Xi按大小的顺序排列，被解释变量观测值Yi保持原来与解释变量的对应关系。132、按照上述顺序排列的观测值，把位于中间的c个删去，删去的数目c是Goldfeld-Quandt通过试验的方法确定的。对于n≥30时，删去的中心观测数目为整个样本数目的四分之一最合适（比如n=30,c=8;n=60,c=16）,将剩下的(n-c)个观测值划分为大小相等的两个子样本，每个子样本的容量均为(n-c)/2，其中一个子样本是相应的观测值Xi较大的部分，另一个子样本是相应的观测值Xi较小的部分。143、对两个子样本分别求出回归方程，并计算出相应的残差平方和。设为X较小的子样本的残差平方和，设为X较大的子样本的残差平方和，它们的自由度均是，其中k为模型中解释变量的个数。154、选择统计量若是检验递增方差，若是检验递减方差，16这里，两个残差平方和除以各自的自由度，就得到随机误差项u的方差的两个估计量。粗略地讲，如果两个方差估计量相同，则表明ui具有同方差项，计算的F值就应该接近于1。如果不同，那么计算的F值就应该比1大出许多。5、在给定的显著性水平下，利用F分布的临界值Fα进行显著性检验。当F>Fα时，应拒绝H0，接受异方差性，当F≤Fα时，应接受H0,ui是同方差的。17（三）怀特(white)检验此检验是更一般的检验方法，不需对异方差的性质作任何假定。一般检验步骤：1、用OLS方法估计原回归模型，得到残差平方和序列ei2;2、构造辅助回归模型ei2=f(Xi1,…,Xik,Xi12,…,Xik2,Xi1Xi2,…,Xi(k-1)Xik)其中f是含常数项的线性函数，系数为αj，j=1,…,g。用OLS方法估计此模型得到R2。183、提出原假设：H0:αj=0,j=1,…,g备择假设：H1:αj中至少有一个不等于零。4、计算统计量

WT(g)=nR2～χ2(g)其中g=5、给定显著性水平α，查临界值χα2(g)，如果WT(g)<χα2(g)，则H0成立，原模型不存在异方差性；反之，则存在异方差性。19（四）帕克（Park）检验与戈里瑟(Gleiser)检验帕克检验与戈里瑟检验的基本思想是：以ei2或|ei|为被解释变量，以原模型的某一解释变量Xj为解释变量,建立如下方程：或选择关于变量Xj的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验。如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。20如帕克检验常用：或进行检验，若α在统计上显著地异于零，表明存在异方差性。21优点：不仅检验了异方差性是否存在，同时给出了异方差存在时的具体表现形式，为克服异方差提供了方便。但是，由于构造|ei|与解释变量的回归式是探测性的，如果试验模型选得不好，则检验不出是否存在异方差。22（五）斯皮尔曼(Spearman)等级相关系数检验一般检验步骤：1、用OLS方法估计回归模型，得到残差序列ei;2、取ei的绝对值；分别将认为对异方差有关系的解释变量Xij和|ei|按升序或降序划分等级，并分别用自然数表示它们的等级。3、按Xij的等级依次排列；排列时，|ei|的等级与Xij的等级按原来样本点的对应关系进行排列。4、计算Xij和|ei|的等级差di，计算等级相关系数

-1<r<1235、判断。等级相关系数进行显著性检验。提出原假设:H0:r=0,备择假设：H1:r≠0。r近似服从均值为0，方差为1/（n-1）的正态分布。构造Z统计量给定显著性水平α，查正态分布表得临界值Zα/2。当|Z|<Zα/2时，接受H0，此时等级相关系数不显著，随机误差项无异方差性；反之，则存在异方差性。24§5.4异方差的修正方法

——加权最小二乘法

加权最小二乘法（Weightedleastsquares,WLS）加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS法估计其参数。25如线性回归模型为Yi=β0+β1X1i+…+βkXki+ui且经过检验，已知误差项ui有如下形式的异方差性那么我们可以用除模型的各项，得到26通过变量变换可得到一个新的线性回归模型，新模型中的k+1个参数与原模型的参数完全相同。新模型误差项的方差为显然已经不存在异方差问题。用这个新模型进行线性回归分析，可以克服原模型