统计学第5章概率与概率分布

NankaiUniversity1第五章概率与概率分布Contents概率及其运算法则1随机变量的概念2离散型随机变量的概率分布3NankaiUniversity24连续型随机变量的概率分布1.概率及其运算法则NankaiUniversity3事件的概率概率的统计定义概率的运算法则事件的概率任何试验中出现的事件都有三种情形：必然事件：在每次试验中一定出现的事件，记作Ω；不可能事件：在任何一次试验中都不出现的事件，记作Φ；随机事件：在每次试验中既可能出现也可能不出现的事件。事件A在试验中出现可能性大小的数值度量，称作事件A的概率，用P(A)表示。概率的性质：对任一随机事件A，有0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1，P(Ω)=1；不可能事件的概率为0，P(Φ)=0.若A与B互斥，则NankaiUniversity4概率的统计定义在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次(m≤n)，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数p上下波动，且波动的幅度逐渐减小，趋于稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率，记为P(A)=m/n=pNankaiUniversity5概率的运算法则加法原则法则1：两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B是两个互斥事件，则法则2：对于任意两个随机事件，它们和的概率为两个事件分别的概率之和减去两事件之交的概率，即NankaiUniversity6ABAB乘法法则对于任意两个随机事件，同时发生事件A和事件B的概率若A、B事件互相独立，则同时发生事件A和事件B的概率

上式还可推广到多个事件相互独立的情形。NankaiUniversity7统计应用如果要求一个打火机的可靠性达到90%，而它是由10个零件组成的，那么每个零件的可靠性应该达到多少？一架波音737客机上有300多万个零部件，如果用可靠性99.99%的零部件去组装它，这样的飞机你敢坐吗？某生产线由三道工序组成，假定三道工序彼此独立，已知三道工序的合格率分别为：98%，90%和95%，若三道工序后的检验工序可以检查出所有的缺陷，问整条线的合格率是多少？NankaiUniversity82.随机变量的概念NankaiUniversity9随机变量的定义随机变量的分类

随机变量的定义在同一组条件下，如果每次试验可能出现这样或那样的结果，并且把所有的结果都能列举出来，即把X的所有可能值x1,x2,…，xn都能列举出来，而且X的所有可能值具有确定概率P(x1),P(x2),…,P(xn)，其中P(xi)=P(X=xi)称为概率函数，则X称为P(X)的随机变量，P(X)称为X的概率函数。NankaiUniversity10随机变量的分类按照随机变量的特性，通常可把随机变量分为两类，即离散型（discrete）随机变量和连续型（continuous）随机变量。离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量。连续型随机变量：如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上一区间内的任一点，则称该随机变量为连续型随机变量。NankaiUniversity113.离散型随机变量的概率分布NankaiUniversity120—1分布二项分布超几何分布泊松分布0—1分布设离散型随机变量X只可能取0和1两个值，它的概率分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q，其中p,q>0为常量，p+q=1，则称X服从0—1分布。0—1分布也可写成下表形式0—1分布是经常遇到的一种分布。如对新生婴儿的性别登记，检查产品质量是否合格，某种实验是否成功，电力消耗是否超过负荷等，都可以用0—1分布的离散型随机变量来描述。NankaiUniversity13X10P(x)pq二项分布问题：若供应商提供一批产品，已知不良率为p，从中有放回的随机抽取n次，问恰好有d个不良品的概率？NankaiUniversity14二项分布的条件：实验次数固定，包含了n个相同的实验每次实验相互独立每次实验结果只有两个（如好与坏，通过与不通过，正面与反面）每次实验概率保持不变15超几何分布问题：若有一批产品，批量N=10000件，已知其中有不良品D=500件；若从中无放回的随机抽取n=100件，问其中有d=3件不良品的概率是多少？NankaiUniversity16设一批产品共N件，其中D件次品，从中任取n件(n≤N)，则此n件产品中的次品数x是一个离散型随机变量，其分布律为期望和方差超几何分布在抽样检验中具有重要作用。17泊松分布问题：若根据大量抽样测得某产品的单位缺陷等于1，今从大量的该产品中抽取一件，问该产品没有缺陷的概率为多少？NankaiUniversity18泊松分布是用来描述在一指定时间范围内或在指定的面积或体积之内某一事件出现的次数的分布。下面是一些典型的服从泊松分布的随机变量的例子：在某企业中每月发生的事故的次数单位时间内到达某一服务柜台需要服务的顾客人数某种仪器每月出现故障的次数泊松分布的公式为泊松分布的期望为泊松分布的方差为NankaiUniversity194.连续型随机变量的概率分布NankaiUniversity20均匀分布正态分布概率密度与分布函数当用函数f(x)来表示连续型随机变量时，我们将f(x)称为概率密度函数。概率密度函数满足以下两个条件：f(x)≥0

需要指出的是，f(x)并不是一个概率，即f(x)≠P(X=x)，f(x)称为概率密度函数，而P(X=x)在连续分布的条件下为零。在连续分布的情况下以曲线下面的面积表示概率，如随机变量X在a与b之间的概率可以写成NankaiUniversity21连续性随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示，分布函数定义为因此P(a<X<b)也可以写成NankaiUniversity22均匀分布若连续型随机变量X在有限区间（a，b）内取值，其概率密度为则称连续型随机变量X为均匀分布。NankaiUniversity23正态分布(Normaldistribution)如果随机变量X的概率密度为

则称X服从正态分布，记作

f(x)≥0，即整个概率密度曲线都在x轴的上方；曲线f(x)相对于x=μ对称，并在x=μ处达到最大值曲线的陡峭程度由σ决定，σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭；当x趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。NankaiUniversity24特点：钟型对称双侧尾部无限趋近于0具有两个参数：μ和σNankaiUniversity25标准正态分布(StandardNormaldistribution)标准正态分布的概率密度函数是

记作随机变量X服从均值为0，标准差为1的正态分布标准正态分布的分布函数为NankaiUniversity26查标准正态分布表对于负的x值，可由得到。标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。设，则NankaiUni