积分变换第1-2节

积分变换

第一章Fourier变换

§

1.1Fourier积分

但全直线上的非周期函数没有Fourier级数表示；

引进类似于Fourier级数的Fourier积分(周期趋于无穷时的极限形式)复习:

周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数；最常用的一种周期函数是三角函数

fT(t)=Asin(wt+j),其中w=2p/T研究周期函数

fT(t),如果在区间[-T/2,T/2]上满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1.连续或只有有限个第一类间断点;2.只有有限个极值点.那么在区间[-T/2,T/2]上就可以展成Fourier级数.t由高数可知,任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),可表示为三角级数的形式如下:§1.2Fourier变换1.Fourier变换的概念我们知道,若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在

f(t)的连续点处,有(1.8)式叫做f(t)的Fourier变换式,(1.9)式为F(w)的Fourier逆变换式,f(t)与F(w)可相互转换,可记为

F(w)=ℱ[f(t)]和

f(t)=ℱ

-1[F(w)]还可以将f(t)放在左端,

F(w)放在右端,中间用双向箭头连接:

f(t) F(w)

(1.8)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换,同样,(1.9)式右端的积分运算,叫做F(w)的Fourier逆变换.

F(w)称作f(t)的象函数,

f(t)称作F(w)的象原函数.

可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对.傅氏积分定理

若f(t)在(-,+)上满足条件:

1.f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;

2.f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有

为连续点

为间断点tf(t)根据(1.8)式,有这就是指数衰减函数的Fourier变换.=ℱ

[]根据(1.9)式,有=ℱ问题的提出Fourier变换的两个限制：

对于任意一个函数使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？能否经过适当地改造

因此,几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在.

首先将j(t)

乘上u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于0了.

而大家知道在各种函数中,指数函数ebt

(b>0)的上升速度是很快的了,因而e-bt下降的速度也是很快的.tf(t)Otf(t)u(t)e-btO对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得定义

设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的Laplace变换式(简称拉氏变换式),记为

F(s)=ℒ[f(t)]F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数).而f(t)称为F(s)的Laplace逆变换(或象原函数)记为

f(t)=ℒ

-1[F(s)]例1

求单位阶跃函数解:根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有ℒℒ所以例2

求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).

根据(2.1)式,有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为

Re(s)>Re(k).ℒ例3

求

f(t)=sinkt

(k为实数)的拉氏变换.解：ℒ

在今后的实际工作中,我们并不要求用广义

积分的方法来求函数的拉氏和Fourier变换,有现成的拉氏和傅氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样.本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其傅氏、拉氏变换列于附录中,以备查询.

在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足

傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件一种改进思路是转换为Laplace求，但例如常数,符号函数,以及正,余弦函数等,我们希望其能正确地反应出频率的特性,因此引入了单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.§1.2Fourier变换

2.单位脉冲函数及其傅氏变换

在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函

数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.

工程上将d-函数称为单位脉冲函数,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t).即de(t)1/eeOd-函数有性质:(1)筛选性质事实上f(t)是连续函数，按积分中值定理知：=（2）函数为偶函数,即（3）其中,称为单位阶跃函数.反之,有

一般地，有d-函数的Fourier变换为:于是常数1

与d

(t)构成了一Fourier变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),

由Fourier逆变换可得.例1

证明：2pd(w)和1构成Fourier变换对证法1：=ℱ

[]=ℱℱ[1]tOd(t)1wOF(w)1常数1单位脉冲函数d