相交线(易才中学)王聪

5.1.1相交线

博文中学王聪已知线段AB，你能由线段AB得到射线AB和直线AB吗？AB线段AB直线AB射线AB联系：线段和射线都是直线的一部分.

1、直线、射线、线段的联系与区别？一、复习与回顾名称图形表示延长端点度量直线1.直线AB(或直线BA)2.直线l向两端无限延伸0个不可度量射线1.射线AB2.射线l向一端无限延伸

1个不可度量线段

1.线段AB(或线段BA)2.线段a不可延伸

2个可度量B·lA·B·lA·B·aA·三者区别2、怎么样的两个角称互为补角？

①概念：如果两个角的和等于180°（平角），称这两个角互为补角简称互补.

∵∠α和∠β互补∴∠α+∠β=180°∵∠α+∠β=180°∴∠α和∠β互补

②数量关系为：

称其中一个角是另一个角的补角.

③补角的求法：180°－α④补角性质：⑤余角和补角的特点：1）角的互为性：

互补是指两个角之间的关系，说单独的一个角是补角是毫无意义的，但可以说一个角是某一个角的补角.2）位置的任意性：两个角互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互补的角必须相邻.同角或等角的补角相等。二、走近生活，生活中处处有数学立交桥记作:直线AB、CD相交于点O二、关注生活ABCDO问题1:如果将剪刀的构造抽象为一个几何图形，那它将是怎么样的一个图形昵？有什么特点?抽象为：两直线相交。特点：有一个公共点。当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点.ABCD1234三、讨论与探索

两条直线相交成几个角？每两个角的位置有怎样的关系？如何将这几个角进行分类？---这就是本节课我们要探究的主要内容1、了解邻补角、对顶角的概念。2、能找出图中的一个角的邻补角和对顶角。3、理解对顶角性质(对顶角相等)，并能运用它解决问题。重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角性质与应用。难点：理解对顶角相等的性质的探索。重点和难点学习内容讨论：1每对角中两个角的位置有怎样的关系？2、

这两条直线相交得到哪几对角？2按照它们的位置和度数的关系将这几对角进行分类BACDO12343分别用量角器量一量4个交角的度数，各类角的度数有什么关系？观察1、两条直线相交组成几个角？四、走进数学ABCDO五、思考数学问题2:两条相交直线形成的小于平角的角有几个?1342∠1与∠3∠1与∠4∠2与∠3∠2与∠4∠3与∠4∠1和∠231ACBDC1ACBD2ACBD42B1ACD43ACBD234ABD3442321431123、根据它们的位置和度数的关系将这几对角进行分类探究（1）1ACB23CBD234ABD1ACD4OOOO问题：观察发现下列四对角之间的位置关系?一条公共边一个公共顶点∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4∠1与∠4∠2与∠3∠3与∠4∠1和∠2注意！红色的顶点？注意！蓝色的线？注意！黄色的线？另一边互为反向延长线∠1与∠4∠2与∠3∠3与∠4探究（2）∠1和∠21ACB2O1ACD4O3CBD2O34ABDO

∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4问题：通过度量或观察发现下列四对角之间的数量关系?∠1+∠2=180°;∠1+∠4=180°;∠2+∠3=180°;∠3+∠4=180°.数量关系:OABCD）（1342）（

两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边另一边互为反向延长线的两个角叫邻补角.如∠1与∠2有公共顶点O,有一条公共边OC,所以∠1和∠2是互为邻补角.邻补角（2）：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线所组成的两个角。也称为邻补角。如∠1与∠2邻补角的概念：探究成果邻补角（1）：邻补角的数量关系：互为邻补角的两角之和等于180度。邻补角的判断方法：关键是看这两个角的两边，其中一边是否为公共边，而另一边是否互为反向延长线。1、下列图中的∠1与∠2是邻补角吗？为什么？１２２１（1）（2）否是邻补角的特点：1、前提条件是，必须是两直线相交。2、有一个公共的顶点。（顶点相同）3、有一条公共边，另一边互为反向延长线，4、是成对出现的。做一做注意：互为邻补角与补角的区别：1.下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）121212ABCDD练一练122.请同学们画出∠1的邻补角.CBA1图123练一练

回忆：

1.两条直线CD和EF相交能形成具有什么关系的角213234141342具有邻补角关系的角梳理(学到了什么?)数量关系位置关系12ACBO（1）邻补角互补∠1+∠2=180°一个公共顶点;一条公共边;另一边互为反相延长线;31ACBD42ACBD∠1与∠3∠2与∠4一个公共顶点两边互为反向延长线探究（3）问题：观察发现下列两对角之间的位置关系?注意！红色的顶点？注意！黄色的线？1.对顶角的定义：

像∠1与∠3有一个公共顶点，且角的两边都互为反向延长线，把具有这种关系的两个角,称为互为对顶角.31ACBD名称:对顶角

下列图中∠1、∠2是对顶角吗？请说明理由否是否否（1）（2）（3）（4）2.对顶角的特点：1、有一个公共顶点，2、角的两边互为反向延长线，3、是成对出现的。做一做问题：用量角器度量发现两对角之间的数量关系?∠1=∠3;∠2=∠4数量关系:31ACBD42ACBD∠1与∠3∠2与∠4探究（4）ABCD12343.对顶角的性质∵∠1与∠2互补∠3与∠2互补(邻补角定义)(邻补角定义)∴∠1＝∠3(同角的补角相等)对顶角的性质：对顶角相等。验证探究（4）∴___________∴___________13424231回忆：

2.两条直线AB和CD相交能形成具有什么关系的角具有对顶角关系的角数量关系位置关系（2）对顶角相等∠1=∠3一个公共顶点;两边互为反相延长线;31ACBDO梳理(学到了什么?)归纳小结角的名称特征性质相同点不同点对顶角邻补角对顶角相等邻补角互补②有公共顶点;③没有公共边①两条直线相交形成的角；

①两条直线相交而成；②有公共顶点;③有一条公共边①都是两条直线相交而成的角；③都是成对出现的

②都有一个公共顶点；②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对。

①有、无公共边的区别111号、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？21212)((())12号、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？21212)((()（××××√×练一练12121212121232号.下列图形中∠1与∠2是对顶角的有

①②③④⑤⑥①⑥练一练随堂练一1、关于对顶角说法正确的是（）

A、有公共顶点的两个角B、有公共顶点且相等的两个角C、一个角的两边分别是另一个角的两边的延长线D、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线D随堂练一2、邻补角是（）A、和为180°的两个角B、有公共顶点且互补的两个角C、有一条公共边且相等的两个角D、有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角D1.（判断题）下列说法是否正确.（正确填笑脸；错误填哭脸）③有公共顶点并且相等的两个角是对顶角.①对顶角相等.知识应用②相等的两个角是对顶角.

④互为邻补角的两个角之和为180°.3.如图,两直线相交于一点,若则的度数是（）B.C.D.A.1342ADDBCC知识应用4.（解答题）如图，直线AB、CD、EF相交于一点，求∠1+∠2+∠3的度数？解：∵∠3=∠4（对顶角相等）∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4又∵∠1+∠2+∠4=180°∴∠1+∠2+∠3=180°FEDCBA3214知识应用5.

（应用题）在下图中，花坛转角按图纸要求这个角（红色标注的角）为135°；施工结束后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法.123、互为邻补角的两个角可能是（）

A、都是锐角

B、都是钝角

C、两个直角或一个锐角、一个钝角

D、一个是锐角，一个是直角

C4、如图所示，点A、C、D、B；E、C、F；H、C、G；F、D、G；均分别在同一直线上，∠ACE的对顶角是∠CDG的对顶角是邻补角是HCGFEADB∠FCB∠FDB∠FDC和∠BDG达标测试一、判断题

1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（）

2、两条直线相交，有两组对顶角。（）

3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么其余的三个角也是直角。（）×√√达标测试二、选择题1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（）

A、∠AOC和∠BOE是对顶角；

B、∠COE和∠AOD是对顶角；

C、∠BOC和∠AOD是对顶角；

D、∠AOE和∠DOE是对顶角。ABCDOEC达标测试2、如右图中直线AB、CD交于O，

OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，那么∠AOE=（）度（A）80；（B）100；（C）130（D）150。ABCDOEC1、一个角的对顶角有

个，邻补角最多有

个，而补角则可以有

个。一两无数三、填空题2、右图中∠AOC的对顶角是

,

邻补角是

.∠DOB∠AOD和∠COB1ACBDE2)O)三、填空题3、若∠1与∠2是对顶角，∠1=16°，则∠2=______°；若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4=______°4、若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3=

°5、如图1，∠2与∠3互为邻补角，∠1=∠2，则∠1与∠3的关系为

。图116180180互补例１

如图,直线a、b相交。∠

1=40o，求∠2，∠3，∠4的度数。∠2＝180°－∠1＝180°－40°解：由邻补角的定义，可得＝140°由对顶角相等，可得∠3＝∠1＝40°∠4＝∠2＝140°若∠1＋∠３=５０°

，求各角的度数。例题讲解2、如图,若∠1:∠2=2:7，求各角的度数。解:设∠1=2x°,则∠2=7x°根据邻补角的定义,得2x+7x=180x=20则∠1=40°,∠2=140°根据对顶角相等,得∠3=40°,∠4=140°例题讲解×√××练习2、右图是对顶角量角器,你能说出用它测量角的原理吗？答：对顶角相等。练习练习4、如图2，三条直线a，b，c相交于点O，则∠1+∠2+∠3=

.图2图31800612解：∵∠DOB=∠

，（

）

=80°（已知）∴∠DOB=

°（等量代换）又∵∠1=30°（

）∴∠2=∠

-∠

=

-

=

°8、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°∠1=30°；求∠2的度数.ACBDE1AOC∠AOCDOB180°30°50对顶角相等已知802))O练习9、如图1，直线AB、CD交EF于点G、H，∠2=∠3，∠1=70度。求∠4的度数。解：∵∠2=∠

（）∠1=70°（

）∴∠2=

（等量代换）又∵

（已知）∴∠3=

（）∴∠4=180°—∠

=

（

的定义）ACDBEFGH1234图11对顶角相等已知70°∠2=∠370°等量代换3110°邻补角练习解：∵∠AOC=50°（已知）直线AB、CD交于点O，OE是∠AOD的平分线，且∠AOC=50°。求∠DOE的度数。ABCDOE图2∴∠AOD=180°−∠AOC=180°−50°=130°（邻补角的定义）∵OE平分∠AOD（已知）（角平分线的定义）解答题：例2、如图,若∠1:∠2=2:7，求各角的度数。解:设∠1=2x°,则∠2=7x°根据邻补角的定义,得2x+7x=180x=20则∠1=40°,∠2=140°根据对顶角相等,得∠3=