应用数值分析第一章

青岛科技大学数学系应用数值分析

Applied

NumericalAnalysis教材

《应用数值分析》王明辉等编，化学工业出版社参考书目

NumericalAnalysis(SeventhEdition)

数值分析（第七版影印版）

RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）有关新课程的说明一．有关课程本身的几个问题；二．有关教学过程的一些想法。一．有关课程本身的几个问题：

１．开设本课程的目的：使学员学习与掌握数值分析基本理论与方法,建立起科学计算的良好数学基础为后续课程作准备，培养和增强学员用数学知识解决问题的习惯和本领，使学员具备一定的分析问题和解决问题的能力。２．本课程在数学中的位置：它在数学众多分支中，属于计算数学。３．本课程与已学课程的联系：与高等数学、线性代数最紧密。二．教师有关教学过程的一些想法：

教学过程是师生间的一种双边活动，它是一种特殊的认识过程（所讨论的知识对教师而言是已知的,而对学员来说是未知的）。在这过程中，我的想法是：

１．在讨论数值分析基本理论与方法的过程中,学员要向会学习、会思考、会研究、会创造、会应用的目标靠拢。

２．在教学活动中，讲授的重点在思路、方法与培养能力上。

３．希望学员能以积极、主动的姿态参与到教学活动中,将教学过程变成研究、创造与培养能力的过程。

４．不要迷信书本与教师，要敢于怀疑，敢于研究，敢于创造。课程特点及学习要求具有较强的自学能力和一定的应用实践能力考核——平时(30%)和期末笔试(70%)

平时：点名和作业，少一次扣3分，上限30分理论性强、实践性与理论并重、内容广、系统化和综合性、涉及到多方面知识教学方式：课堂讲授与上机实习;学习方法：预习、听课、练习、思考、总结。

提问：数值分析是做什么用的？数学建模

构造算法程序设计上机计算求出结果实际问题近似解

数值分析计算机输入复杂问题或运算第一章科学计算简介Therearethreegreatbranchesofscience:theory,experimentandcomputation.Thefundamentallawofcomputerscience:Asmachinesbecomemorepowerful,theefficiencyofalgorithmsgrowsmoreimportant,notless.—L.N.Trefethen一、研究对象数值分析（NumericalAnalysis），也称数值方法、计算方法或计算机数学，是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现，是用公式表示数学问题以便可以利用算术和逻辑运算解决这些问题的技术。二、学科特点

算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性；

面向计算机，提供切实可行的有效算法；

有可靠理论，对算法进行误差分析，并能达到精度要求；

通过数值实验

证明算法行之有效；§1数值分析简介三、学习理由1数值方法能够极大地覆盖所能解决的问题类型；2学习数值分析可以让用户更加智慧地使用“封装过的”软件；3很多问题不能直接用封装的程序解决，如果熟悉数值方法并擅长计算机编程的话，就可以自己设计程序解决问题；4数值分析是学习使用计算机的有效载体，对于展示计算机的强大和不足是非常理想的；5数值分析提供了一个增强对数学理解的平台.§2误差一.来源与分类

从实际问题中抽象出数学模型——模型误差

通过测量得到模型中参数的值——观测误差

求(数学表达的)近似解——方法误差(截断误差)

模型的准确解与用数值方法求得的准确解之差称为“截断误差”。

机器字长有限——舍入误差简化…实际算法:有限、四则运算化…（理论计算误差）大家一起猜？11/e解：将作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差|

舍入误差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起二、误差的定义

绝对误差其中x为精确值，x*为x的近似值。，例如：上常记为，称为绝对误差限，一般地，的上限记为

由于通常准确值x是不知道的，所以误差e*

的准确值也不可能求出，但根据具体情况，可事先估计出误差的范围——误差绝对值不能超过某个正数，我们把叫做误差绝对值的“上界”，或称“误差限”。≤≤≤工程注：e*理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。e*>0时，x*称为强近似值，e*<0时，x*称为弱近似值e*>0不唯一，当然e*越小越具有参考价值。x的相对误差限常定义为注：从的定义可见，实际上被偷换成了，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是，与是否反映了同一数量级的误差？关于此问题的详细讨论可见教材p5。实际计算中，相对误差通常取为：相对误差三、有效数字

若近似值x*的误差限是某一位的半个单位,该位到x*

的第一位非零数字共有n位,就说x*有n位有效数字.例:问：有几位有效数字？请证明你的结论。43注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效数字。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可随意省去！用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则有n位有效数字，精确到。注：关于有效数字有以下几点说明：1、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必有n位有效数字；2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；3、将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；4、准确值被认为具有无穷位有效数字.有效数字与相对误差的关系

有效数字

相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n

位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取*=3.14159。§3

误差的传播一、误差估计特别地，由上式可得和、差、积、商之误差及相对误差公式注：函数值的绝对误差等于函数的全微分，自变量的微分即为自变量的误差；函数值的相对误差等于函数的对数的全微分。例.)871.030.1(~005.00022.00005.030.1871.0sin005.030.1871.0cos)~(sincos49543.030.1871.0cos)871.030.1(~

22能有二位有效数字，所以而，由于，解：fuuxyyfxyxffu=<»´+´»-=¶¶-=¶¶»==e二、病态问题与条件数三、算法的数值稳定性(NumericalStability)例：蝴蝶效应

——青岛的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的纽约就刮起台风来了？！QFNY以上是一个病态问题关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！例：计算

公式一:注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!发生了什麽?!考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法迅速积累,误差呈递增走势.可见初始的小扰动

公式二:注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取

我们很幸运！考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法。

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。§4数值误差控制1.避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：2.避免小分母:分母小会造成舍入误差增大3.避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数

x3.81574

y0.0001==38157.4

x3.81574

y+y0.0001+0.00001==34688.5算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。再如秦九韶算法补充材料

20世纪十大算法在世纪之交，经过科学家的评选和投票，20世纪的十大算法得到了国际学术界的公认。现在按照时间顺序列于下。本课程将讨论其中一部分。Monte-Ca