统计学 参数估计

第6章参数估计刘廷兰大学生每周上网花多少时间？为了解学生每周上网花费的时间，有同学调查了某校在校本科生的上网情况，调查内容包括上网时间、频率、途径、目的、关心的校园网内容，以及学生对收费的态度，包括收费方式、价格等。问卷调查由调查员在校园内发放并当场回收。对四个年级中每年级各发60份问卷，其中男、女生各30份。共收回有效问卷共200份。其中有关上网时间方面的数据经整理如下表所示大学生每周上网花多少时间？回答类别人数（人）频率（%）3小时以下32163～6小时3517.56～9小时3316.59～12小时2914.512小时以上7135.5合计200100平均上网时间为8.58小时，标准差为0.69小时。全校学生每周的平均上网时间是多少？每周上网时间在12小时以上的学生比例是多少？你做出估计的理论依据是什么？本章主要内容一、参数估计的一般问题二、总体参数的区间估计三、样本容量的确定四Excel在参数估计中的应用本章学习目标1.理解参数估计的概念与特点2.理解参数估计量优劣的评判标准3.掌握参数估计的方法4.重点掌握单一总体均值、比例的区间估计5.掌握估计单一总体的均值、比例时样本容量的确定6.掌握Excel在参数估计中的应用一、参数估计的一般问题（一）参数估计的概念与特点（二）估计量的评价标准（三）参数估计的方法（一）参数估计的概念与特点也叫抽样估计，就是根据样本统计量去估计总体的参数

参数估计特点1、以非全面调查为基础

2、以随机抽样为前提3、以概率估计推断总体参数4、抽样估计存在抽样误差，但可以计算和控制估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是估计量样本均值的估计值（二）估计量的评价标准

点估计从总体中抽取一个随机样本，计算与总体参数相应的样本统计量，然后把该统计量的具体数值视为总体参数的估计值，称为参数的点估计。简单，具体明确优点缺点无法控制误差，仅适用于对推断的准确程度与可靠程度要求不高的情况点估计的抽样分布点估计的最大好处：给出确定的值点估计的最大问题：无法控制误差根据样本估计量以一定的可靠程度推断总体参数所在的区间范围。在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x0.6827包含在范围内的概率为68.27%样本抽样分布曲线原总体分布曲线0.9545

包含在范围内的概率为95.45%样本抽样分布曲线原总体分布曲线0.9973包含在范围内的概率为99.73%样本抽样分布曲线总体分布曲线将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

第一，我们为什么以这一个而不是那一个统计量来估计某个总体参数？

第二，如果有两个以上的统计量可以用来估计某个总体参数，其估计结果是否一致？是否一个统计量要优于另一个？估计量的评价标准：

无偏性、有效性、一致性问题的提出二、一个总体参数的区间估计

（一）总体均值的区间估计（二）总体比例的区间估计无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏无偏性学生ＡＢＣＤ成绩60708090均值＝75方差２＝125从中按重复抽样方式抽取２人，计算样本的均值及方差S２

。方差的抽样分布A60B70C80D90A60606060006070652550608070100200609075225450B707060652550707070007080752550709080100200C808060701002008070752550808080008090852550D90906075225450907080100200908085255090909000无偏性有偏无偏有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB的抽样分布的抽样分布P(

)有效性学生ＡＢＣＤＥＦＧ成绩30405060708090按随机原则抽选出４名学生，并计算平均分数和中位分数。样本均值4547.55052.55557.560出现次数1123445样本均值62.56567.57072.575出现次数443211样本中位数45505560657075出现次数

4385834有效性中位数的抽样分布平均数的抽样分布一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量。结论：估计方法点估计区间估计（三）参数估计的方法

二、总体参数的区间估计

（一）总体均值的区间估计（二）总体比例的区间估计总体均值区间的一般表达式总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差得到的估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表达为样本均值±分位数值×样本均值的标准误差（一）总体均值的区间估计总体分布样本容量（重复抽样）正态总体大样本当样本容量足够大时，采用：小样本非正态总体大样本小样本——【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。

即：该食品平均重量的置信区间在101.44—109.28克之间。【例】某企业生产的灯泡，根据其积累的历史资料，灯泡使用寿命的方差为625小时2。该企业某一天生产灯泡18000只，从中以简单随机抽样方式抽取60只检测，其平均寿命为2000小时。试以95%的置信度估计该天生产的全部灯泡的平均寿命范围。

分析：在总体方差已知的情况下，虽然不知道灯泡寿命是否服从正态分布，但由于抽取的样本容量为60，是一个大样本，根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，即

解：即可以用95%的概率保证该天生产灯泡的平均寿命介于1993.685～2006.315小时之间。总体均值的区间估计

(小样本的估计)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本(n<30)使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(小样本的估计)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3总体均值的区间估计

(小样本的估计)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体方差未知时总体均值的估计1. 假定条件总体服从正态分布如果是非正态分布，可由正态分布来近似(n

30)样本均值服从t分布，如：重复抽样条件下，总体均值在1-置信水平下的置信区间为抽样极限误差【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为即：该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时总体是否接近正态分布N≥30总体是否接近正态分布？N≥30用s代替N≥30yesNoyesNoyesyesNoNoσ是否已知用s代替用s代替总体均值区间估计小结（二）总体比例的区间估计

(传统方法)1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10使用正态分布统计量z3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为样本比例±分位数值×样本比例的标准误差总体比例的区间估计

(例题分析—传统方法)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

一几机构对369名有工作的父母的一项调查表明，他们当中有200名承认由于工作有约而使得与其子女相处时间过少。

A.求总体中由于工作有约而使得与其子女相处时间过少父母所占的比率的点估计。B.当置信水平为95％时，边界误差为多大？C.求总体中由于工作有约而使得与其子女相处时间过少父母所占比率的95％置信区间估计。样本容量调查误差调查费用小样本容量节省费用但调查误差大大样本容量调查精度高但费用较大找出在规定误差范围内的最小样本容量找出在限定费用范围内的最大样本容量确定样本容量的意义三、样本容量的确定

确定方法1.重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信水平，查找相应的临界值z或t,然后限定边际误差，又称极限误差。

①2未知时，一般采用过去的经验数据；②如果经验数据未知，则应考虑s2代替2来计算。但s2通常也是个未知数，解决方法有：第一，利用历史的样本资料进行计算；第二，利用同类型的调查资料计算求得；第三，组织试验性调查取得数据；第四，若有多个不同的值，则取其最大值。

计算结果通常向上进位估计总体均值时样本容量的确定

2.不重复抽样条件下：确定方法注意2未知，用s2代替时，应根据置信度确定t临界值【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？解:

已知=2000，

=400,1-=95%，z/2=1.96即应抽取97人作为样本【例】某药厂为了检查瓶装药品数量，从成品库随机抽检100瓶，结果平均每瓶101.5片，标准差为3片。是以99.73%的把握程度推断成品库该种药平均每瓶数量的置信区间，如果允许误差减少到原来1／2，其他条件不变，问需要抽取多少瓶？总体方差的大小；允许误差（边际误差）的大小；置信度（概率保证程度）；抽样方法；抽样的组织方式。重复抽样条件下：不重复抽样条件下：影响样本容量的因素

EXCEL中与参数估计有关的常用函数1.COUNT(number1,number2,……)函数——计算样本容量2.AVERAGE(number1,number2,……)函数