经典函数的三种表示法

考点一考点二考点三理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章知识点一知识点二知识点三第一课时1.21.2.2某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．问题1：函数的定义域是什么？提示：{1,2,3,4,5}．问题2：y与x的关系是什么？提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．提示：铅笔数x/支12345钱数y/元0.511.522.5问题4：试用图象表示x与y之间的关系．提示：函数的表示法表示法定义解析法用

表示两个变量之间的对应关系图象法用

表示两个变量之间的对应关系列表法

来表示两个变量之间的对应关系数学表达式图象列出表格某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：

(1)5千米以内，票价2元；

(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）有函数关系吗？提示：有函数关系．问题2：函数的表达式是什么？问题3：x与y之间有何特点？提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的

，这样的函数通常叫做分段函数．对应关系

A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}.对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？提示：不能．问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．映射的定义设A，B是两个

的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的

元素x，在集合B中都有

的元素y与之对应，那么就称对应

为从集合A到集合B的一个映射．非空任意一个唯一确定f：A→B1．函数的表示法有三种，即解析法、图象法和列表法，三种方法各有优缺点．

2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．

3．函数中的两个集合是数集，而映射中的两个集合不一定是数集．

4．映射中的两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中，f表示具体的对应法则，可以用文字叙述．

[例1]

(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．

[思路点拨]

分别设出反比例函数和一次函数的一般形式，然后根据题设条件求待定系数即可．

[一点通]

1．求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系．

2．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．1．已知f(x)是一次函数，且f（f(x)）＝4x＋3，求f(x)．2．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．3．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．解：设x＋1＝t，则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.(2分)图象如图．(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．图象是抛物线y＝x2＋2x在［－2，2］上的部分，如图所示．(10分)由图，可得函数的值域是[－1,8]．(12分)[一点通]作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象，并标注一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点、最低点等．5．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是 (

)A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)解析：由图象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：C解：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5.所画图象如图1所示．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.当x＝－1时，y＝3.当x＝0时，y＝0.当x＝1时，y＝－1.当x＝2时，y＝0.所画图象如图2所示．(3)当x＝2时，y＝1，其图象如图3所示．1．函数的三种表示法的优缺点比较：优点缺点联系解析法变量关系特明显，给定任意自变量，代入式子值好求不形象来不直观，变化趋势难判断，有些函数无法用解析列表和图象，三法各有优缺点.面对实际问题时，根据需要恰当选优点缺点联系列表法不用计算只需看，任意给定变量值，表中查找很容易变量增多好麻烦，此时难表无限多，只限数量不多时解析列表和图象，三法各有优缺点.面对实际问题时，根据需要恰当选图象法很形象来很直观，变化趋势很明显近似表达对应值，误