第8章 渐近法及其它算法简述

基本要求：熟练掌握用力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架；了解无剪力分配法计算符合条件的有侧移刚架；了解近似法计算多层多跨刚架的基本假定及步骤；了解连续梁影响线。

教学内容：﹡力矩分配法的概念

﹡多结点力矩分配法

﹡无剪力分配法

﹡近似法

﹡连续梁的影响线

第8章

渐近法及其它算法简述§8.1

力矩分配法的基本概念理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；适用范围：连续梁和无侧移刚架。一、基本概念1.转动刚度SAB：使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0ABBABAABSAB与杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。SAB=4i12.传递系数CAB：远端弯矩与近端弯矩的比值。4i——近端弯矩其中：2i——远端弯矩传递系数：ABMAB=4iMBA=2iABMAB=3iMBA=0传递系数：MAB=iMBA=-iAB传递系数：分配系数计算公式的推导用位移法求解该结构。未知量：杆端弯矩：建立方程：……①MM12M14M133.分配系数：某杆的转动刚度与该结点所有杆件转动刚度之和的比值。每个杆端的转动刚度围绕“1”结点每个杆端的转动刚度之和分母是围绕“1”结点每个杆端的转动刚度之和分子是每个杆端的转动刚度解方程，得：回代，得：●

求各杆的分配系数计算公式：

显然●

求近端弯矩M=分配系数×结点力矩●

求远端弯矩M=传递系数×近端弯矩二、单结点的力矩分配例1.用力矩分配法计算图示连续梁。由∑MB=0求得附加刚臂中的约束力矩：解：(1)先在结点B加一附加刚臂(图(b))使结点B不能转动，此步骤常称为“固定结点”。此时各杆端产生的固端弯矩：MFB=180-100=80kN.m(2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB(图(c))，在约束力矩被消除的过程中，结点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为“放松结点”。将图(b)和图(c)相叠加就得到图(a)中的结果。对于图(c)，可用上述力矩分配法的基本运算求出各杆端弯矩。计算各杆端分配系数：

SBA=3iBA=3×2EI/12=EI/2

SBC=4iBC=4×EI/8=EI/2

μBA=SBA/(SBA+SBC)=0.5

μBC=SBC/(SBA+SBC)=0.5(3)最后将各杆端的固端弯矩(图(b))与分配弯矩、传递弯矩(图(c))相加，即得各杆端的最后弯矩值。三、计算步骤1.在刚结点上增加阻止转动的附加刚臂，把连续梁分解为具有固定端的单跨梁；2.计算结点处各杆件的弯矩分配系数；3.计算各杆的固端弯矩和结点处附加刚臂中的约束力矩；4.把结点处的约束力矩取反加在结点处，计算分配弯矩与传递弯矩；5.计算实际的各杆端弯矩。近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩例2.用力矩分配法计算图示刚架,画M图。解：1）求分配系数μ2）计算固端弯矩ABCD2m3m2m4mi=1i=1i=240kN/m100kN15kN.mM=15MA结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩-5050-80101510-10最后弯矩-4070-6510-10M图（kN.m)40701001080ABCD4547.565例3.用力矩分配法作图(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。解：(1)计算固端弯矩(2)计算分配系数分配系数：

转动刚度：(3)进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。(4)作弯矩图。一、原理与方法（轮流放松、逐次分配）

§8.2

多结点力矩分配法多结点力矩分配法的思路是，首先把所有结点锁住，然后依次逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。二、计算步骤1.计算各结点的分配系数；2.将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩；3.将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力矩，直到传递弯矩小到可忽略为止；4.把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。结点B：SBA=3iBA=3×4EI/2=6EI

SBC=4iBC=4×9EI/3=12EI

μBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3

μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3例1.试用力矩分配法作图(a)所示连续梁的弯矩图。解：(1)计算分配系数结点C：SCB=SBC=12EI

SCD=4iCD=4×4EI/2=8EI

μCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5

μCD=2/5(2)计算固端弯矩MFBA=3Pl/16=18.75kN·mMFBC=-ql2/12=-15kN·mMFCB=ql2/12=15kN·m例2.用力矩分配法计算图示连续梁。0.4290.5710.50.54.0-2.00.00.00.00.0-4.00.861.140.570.700.940.47-3.29-1.65-3.28-1.64-0.12-0.23-0.24-0.12

0.070.05-1.780.39-3.54-2.46-0.39-4.04.0分配系数固端弯矩分配与传递最终弯矩iii4m4m2m2m2m6kN.m2kN2kN/mMF=-ql2/8+M/2=-4+2=-2kN·m解法一：-0.01-0.02-0.020.04解法二：2.67-2.670.00.00.00.0-4.0-1.67-1.67-0.09-0.09分配系数固端弯矩1.341.33-3.33-3.340.670.67-0.17-0.17

0.130.13分配与传递最终弯矩0.50.50.50.5100.670.670.340.340.660.33-0.34-0.17-1.780.37-3.53-2.47-0.37-4.04.00.070.07-0.04-0.03-0.07-0.02例3.试用力矩分配法作图(a)所示连续梁的弯矩图。例4.试用力矩分配法作图(a)所示刚架的内力图。4I4I5I3I3I5m4m4m4m2mCABDEF20kN/m33432i=1110.750.5例5.求图示刚架的内力图。解：1）求分配系数结点B:μBA=3/10=0.3μBC=4/10=0.4μBE=3/10=0.3μCB=4/9=0.445μCD=3/9=0.333μCF=2/9=0.222结点C：2）求固端弯矩BABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.2220.33340－41.741.7－18.5－9.3－13.9－9.33.33.34.440-41.7-9.3=-112.2－1.0－0.5－0.7－0.50.150.150.243.43.5－46.5

24.4－9.8－14.8

EB1.60.11.7FC－4.7－0.2－4.9

EABCDF43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)CABDEFQ图(kN)29.150.954.545.53.71.32.5N图(kN)49.2105.42.51.2CABDEFCABDEF例6.利用对称性求图示刚架的弯矩图。解：（1）利用对称性取半边结构进行计算（2）计算分配系数结点C：

（3）计算固端弯矩

（4）进行力矩分配与传递（5）利用对称性绘制弯矩图例7.图示等截面连续梁，EI=36000kN.m2,在荷载作用下，要使梁中间跨的最大正弯矩和支座负弯矩绝对值相等，B、C支座应升降多少？解：（1）利用对称取半边结构计算（2）设B、C下沉位移为△（3）用力矩分配法求解①求固端弯矩

分配系数固端弯矩分配与传递

最后弯矩②求分配系数

③进行力矩分配与传递，求最后弯矩

小结

1）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。

2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静定梁的杆端内力表求得）。

3）对于对称结构，可取半边结构简化计算。4）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。一、应用条件

§8.3

无剪力分配法无剪力分配法——用来求解某些特殊的有侧移刚架（有侧移杆件均为剪力静定杆），是力矩分配法的特殊形式。刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，有侧移杆件均为剪力静定杆。力矩分配法——求解连续梁和无侧移刚架的渐近法；PPPABCDP2P3P柱剪力图·各梁的两端结点没有相对线位移（即无垂直杆轴的相对位移），这种杆件称为两端无相对线位移的杆件。·各柱的两端有相对线位移，但剪力是静定的（剪力可由静力平衡条件直接求出），这种杆件称为剪力静定杆件。ABB’CC’A’（a）原结构2FP2FP（b）正对称FPFPFPFP=+可取半刚架计算。（d）半刚架FPFP分解为正、反对称问题弯矩等于零，不必计算FPFPFPFP（c）反对称有侧移的柱剪力是静定的，可用无剪力分配法计算。取例：

FPFPFPADCB（a）ADCBFP2FP3FP（b）无剪力分配法可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与柱平行的问题。也可以推广到单跨多层对称刚架等问题。对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。ABDCEFP二、单跨单层刚架BACBACSAB=iAB

SAC=3iAC只阻止转动放松单元分析：ABABMAB-MABQ=0等效ABMABSAB=iAB

CAB=-1上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点:（2）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数C=-1。（3）AC杆的计算与以前一样。

（1）求剪力静定杆的固端弯矩时，先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。例1.已知EI=常数，用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。解：（1）求力矩分配系数

（2）求固端弯矩（3）力矩分配与传递，绘制弯矩图。例2.作图示结构弯矩图。2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3解：（1）求固端弯矩（2）求分配系数0.20.8-2.67-3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M图(kN·m)三、单跨多层刚架P1P2ABCDEP1P2ABP1MABMABBCMBCMCBP1+P21.求固端弯矩AB、BC杆是剪力静定杆1）由静力平衡条件求出杆端剪力；2）将杆端剪力作为荷载求固端弯矩。BCDEASBA=iABSBE=3iBESBC=iBCBCiBCQ=0iABAB2.分配与传递

在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。CBC=-1CBA=-1例2.试求作图示刚架在水平力作用下的弯矩图1）固端弯矩（柱侧移端修正为滑动）（下柱）（上柱）＝4＋8.5注意！(仅梁有轴力)

2）分配系数（柱远端修正为滑动）汇交A结点：（B滑动）

汇交B结点：（A、C滑动）

3）力矩分配法计算图表半刚架图（梁长度减半加倍）§8-5力矩分配法与位移法的联合应用*

求解一般有结点线位移的刚架;用力矩分配法考虑角位移的影响;用位移法考虑线位移的影响（只取线位移为基本未知量）。一、解题思路基本结构1）位移法方程荷载引起侧移引起2）用力矩分配法作

图，求作

图，求3）代入位移法方程求解4）求内力荷载作用侧移作用[例]

试求作图示刚架的弯矩图。由杆端弯矩可求出柱底剪力再由整个刚架的平衡，求得解：1）位移法方程2）力矩分配法作

图，求作

图，求先作

图，求再作

图求3）由位移法方程求Δ1§8.5

近似法●

分层法——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩●

反弯点法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩（ib/ic≥3）●

D值法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩（ib/ic＜3）刚架在竖向荷载作用下，为简化计算作如下假设：1）结点的位移主要是转角，侧移很小可忽略不计；2）作用在本层梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响，对其它层杆件的影响很小可忽略不计。一、分层法在上述假设前提下，把多层刚架分解成一层一层单独计算，然后把每层弯矩图叠加。根据以上假设，计算可作如下简化：1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩分配法计算。2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因此计算简图只需取相关部分即可。例：取例：++++q取q56781234q5678123491011125678910111213141516101112181920141516q917132）计算分配系数时，除底层柱以外其余各层柱的线刚度要乘折减系数0.9，传递系数取1/3。一层柱子的线刚度不需折减，传递系数取1/2。1）按上述4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算。3）对4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱端内力应是两部分之和。4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需要在结点处再进行一次分配，称为“弯矩调幅”，但不需再传递。计算时要注意以下问题：以“1”结点为例：计算简图1，力矩分配法的计算结果。两者叠加后“1”结点的结果。计算简图2，力矩分配法的计算结果。“1”结点的一次分配结果。10.40.6103-1.211.8-10-1.8-11.8BAMABBAMABMBA

1.侧移刚度系数k（表示杆端抵抗侧移的能力）二、剪力分配法k——使杆端产生单位侧移时，在杆端所施加的力。1FQ（1）两端固定梁的侧移刚度1（2）一端固定一端铰支梁的侧移刚度FQ（反弯点）受拉方向改变的临界点称反弯点的M=0——计算刚架在水平结点荷载作用下的弯矩

IIEI1=h由截面上部平衡∑X＝0得：解：PP反弯点在中点,柱端弯矩为：

（反弯点）

两柱侧移刚度相等

2.刚架简例（横梁抗弯刚度∞）

Fp

3.柱顶剪力分配公式

回忆力矩分配法的弯矩分配系数公式，对照加深理解。IIEI1=hI剪力分配系数：分子为第j根柱子的侧移刚度分母为所有柱子侧移刚度之和123EI1=hFp

II[例]用剪力分配法求解。解：EI1=hFp

II两边柱侧移刚度相等，均为中柱侧移刚度为两边柱剪力相等，均为中柱的剪力为根据反弯点求作M图I（反弯点在柱中）（反弯点在柱顶铰）三、反弯点法——实质上是剪力分配法刚架在水平荷载作用下弯矩计算的近似方法。刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点：1）弯矩图全是直线组成；2）柱子的剪力沿杆长是常数；3）柱子的弯矩图全有反弯点；4）结点位移主要是侧移，转角很小。FPFPFPFP为了简化计算，作如下假设：

1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零；2）柱子反弯点的高度在柱高的1/2处，多层刚架（三层以上）底层柱在柱高的2/3处。解释一下，第2个假设：反弯点在中间

两端固定单元一端固定一端铰结反弯点在柱顶

一层以上柱，由于假设转角为零，因此全是两端固定单元，因此反弯点在柱中。一层柱由于底部是真正的固定端，而上部刚结点与固定端有一定的误差，因此反弯点上移取2/3柱高。

反弯点向支撑弱的一端移动

对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的话，其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了，梁的弯矩就可利用结点平衡求出。1）求柱的剪力例如求第三层柱的剪力取n—n截面：FPFPFQ34FQ33FQ31FQ32FPFPFPFP12341234nn……①本层以上的水平力之和其中任意根柱的剪力：把②代入①式，得：……②把△3代入②式，得：其中“3”表示第3层。FPFPFQ34FQ33FQ31FQ32由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式：其中：第r层第i根柱子的剪力分配系数。分子为第r层第i根柱子的线刚度，分母为第r层所有柱子线刚度之和。第r层以上所有外荷载之和。2）梁的弯矩在结点处按梁的线刚度分配柱子的弯矩。为I结点处第i根梁的线刚度。其中：为I结点处所有梁的线刚度之和。ML2ML1MZ例.用反弯点法计算图示刚架的弯矩，所有杆件的i均相同。解：1）求柱的剪力2）求柱的弯矩1010101234567891011123.03.03.03）求梁的弯矩155525105515104M图●当梁的线刚度时，为精确解；●当（强梁弱柱）时，误差可接受。一、用静力法绘制超静定梁影响线的原理1.在静定梁中，用静力法绘制某量值Z影响线时，只需利用静力平衡条件，建立某量值与移动荷载P＝1位置的函数关系，就可以绘制出影响线。2.在超静定梁中，用静力法绘制某量值Z影响线时，则需用超静定某量值的解法（如力法或位移法等），求出某量值与移动荷载P＝1的关系，从而绘制出影响线。静力法绘制超静定梁影响线，计算比较复杂，本章不做介绍。

§8.6超静定力的影响线则:

Z1(x)

=δP1(x)/δ11=δP1(x)

Z1（x）①(b)δ11=1δP1（x）②(c)（2）沿Z1正方向虚设单位位移如图

（c）（为位移状态2）W12=Z1（x）×δ11－P×δP1（x）由功的互等得：W12=W21（1）去掉约束以未知力Z1代替如图（b）（为力状态1）

所得虚位移图即量值Z的影响线，虚位移图形状即量值Z的影响线的轮廓线。例：虚位移原理计算(a)图中B支座反力

Z1=1P=1xB(a)P=1x二、用机动法作超静定力的影响线由虚功原理得：W21=0令δ11=11.撤去与所求约束力Z1相应的约束，用Z1来代替。2.使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图δP1

图，所得位移图的形状即为Z1的影响线的轮廓线。3.将δP1图除以常数δ11，便确定了影响线的竖标。4.横坐标以上图形为正，横坐标以下图形为负。静定结构影响线与超静定结构影响线的区别：1.静定结构是几何不变，无多余约束体系，撤去约束后，体系为几何可变体系。几何可变体系的位移是刚体位移图，是折线图形。2.超静定结构是几何不变，有多余约束体系，撤去约束后，体系仍为几何不变体系。其位移图是曲线图形。三、机动法作超静定力影响线的步骤MCδ11MKδ11RCRCQC右P=1xABCDEFABCDEFMCABCDEFMKKABCDEFABCDEF例1.绘制超静定梁MC、MK、RC、QC右的影响线的形状。例2.求图示连续梁支座弯矩MB的影响线。10.50.256m6m6mABCDxP=1MB=1梁在Z1作用下的M1图MB=1梁在Z1作用下的位移图解：（1）绘制连续梁支座弯矩MB的影响线的形状（2）绘制连续梁在支座弯矩MB=1作用下的弯矩图，求出δ116m6m6mABCDAB：BC：x1P=1x2P=1x3P=1CD：10.50.25MB=1（3）计算每跨的挠度方程ABCD-0.123m-0.346m-0.389m-0.497m-0.520m-0.281m0.151m0.175m0.108mAB：BC：CD：支座B处弯矩MB影响线*例3.用机动法绘制图示连续梁支座B的弯矩影响线。5m