2019届江苏省高考数学二轮专题复习与策略训练第1部分专题5第16讲高考中的圆(含解析)

第16讲高考取的圆题型一|直线与圆及圆与圆(2019·江苏高考)如图16－1，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．图16－1(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M订交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；→→→＋TP＝TQ，务实数t(3)设点T(t,0)知足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA的取值范围．圆N与圆M外切0―→写出圆N的方程0――→求出y[解题指导](1)设圆心N(6，y)圆N与x轴相切l∥OA―→设l的方程―→弦心距、半弦长、半径间的关系―→求l的方程(3)设

P，Q的坐标

成立

P，Q坐标间的关系

等价转变――→圆与圆的地点关系[解]圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，进而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.3分所以，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.4分(2)因为直线l∥OA，4－0所以直线l的斜率为＝2.5分2－0设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝|2×6－7＋m||m＋5|＝.7分55因为BC＝OA＝22＋42＝25，2BC2而MC＝d＋2，m＋52所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.9分2故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.10分(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．→→→因为A(2,4)，T(t,0)，TA＋TP＝TQ，x2＝x1＋2－t，所以①11分y＝y＋4.21因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②12分将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.13分于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，进而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤[t＋4－6]2＋3－72≤5＋5，14分解得2－221≤t≤2＋221.所以，实数t的取值范围是[2－221，2＋221].16分【名师评论】此题波及知识面较广，既考察了直线与直线的地点关系，也考查了直线与圆及圆与圆的地点关系，求解的重点是充分利用上述关系成立数目关系，注意等价转变思想的应用．1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．(1)求圆M的方程；→→(2)若直线l：mx－2y－(2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且MP·MQ＝0，务实数m的值．[解](1)法一：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D＋F＋1＝0，则3D＋F＋9＝0，5分E＋F＋1＝0，D＝－4，解得E＝－4，F＝3.所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.8分法二：线段AC的垂直均分线的方程为y＝x，线段AB的垂直均分线的方程为x＝2，y＝x，由解得M(2,2).5分x＝2，所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.8分→→π(2)因为MP·MQ＝0，所以∠PMQ＝2.10又由(1)得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝2.14分|2m－4－2m－1|10由点到直线的距离公式可知，2＝2，解得m＝±6.16分m＋42．(2019·江苏高考)如图16－2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．图16－2(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．[解](1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.3分|3k＋1|＝1，解得k＝0或k＝－3由题意，得24，k＋1故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.6分(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，10分所以x2＋y－32＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则－≤≤＋，即1≤2－32≤3.|21|CD21a＋2a整理，得－8≤5a2－12a≤0.14分由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；212由5a－12a≤0，得0≤a≤5.12所以点C的横坐标a的取值范围为0，5.16分题型二|与圆相关的函数建模问题(2019·江苏高考)如图16－3，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时建立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的界限为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两头O和A到该圆上随意一点的距离均许多于80m．经丈量，点A位于点O正北方向60m处，点C4位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝3.图16－3(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？[解题指导](1)成立平面直角坐标系―→求AB，BC的斜率―→求点B及BC的长设OM＝d，圆的半径为r―→用d表示r―→成立对于d的不等式组―→求d的范围[解]法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，成立平面直角坐标系xOy.(1)由条件知A(0,60)，C(170,0)，4直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－3.3又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝4.4分设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝b－0＝－4，①a－1703b－603kAB＝＝.②a－04联立①②解得a＝80，b＝120.6分所以BC＝170－802＋0－1202＝150.所以新桥BC的长是150m．8分(2)设保护区的界限圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60)．4由条件知，直线BC的方程为y＝－3(x－170)，即4x＋3y－680＝0.10分|3d－680|因为圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝42＋32680－3d＝.12分5因为O和A到圆M上随意一点的距离均许多于80m，680－3dr－d≥80，5－d≥80，所以即r－60－d≥80，680－3d5－60－d≥80.解得10≤d≤35.14分680－3d故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．5所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大.16分法二：(2)(1)如图(2)，延伸OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝4，3所以sin∠FCO＝4，53cos∠FCO＝5.2分因为OA＝60，OC＝170，680OC850500所以OF＝OCtan∠FCO＝3，CF＝cos∠FCO＝3，进而AF＝OF－OA＝3.分4因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝5.又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4003，进而BC＝CF－BF＝150.所以新桥BC的长是150m．8分(2)设保护区的界限圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝MD＝MD＝r＝3，MFOF－OM68053－d所以r＝680－3d5.12分因为O和A到圆M上随意一点的距离均许多于80m，r－d≥80，680－3d－d≥80，5所以即r－60－d≥80，680－3d－60－d≥80，5解得10≤d≤35.14分故当d＝10时，r＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大.16分【名师评论】此题以直线、圆的知识为载体，与实质生活问题相联合，重在考察成立数学模型及运用已知的数学知识解决实质问题的能力，求解的重点是如何把实质问题数学模型化．1．一条形如斜L型的铁路线MON在经过某城市O时转弯而改变方向，测得tan∠MON＝－3，因市内禁止建站，故考虑在郊区A，B处罚别建设东车站与北车站，此中东车站A建于铁路OM上，且OA＝6km，北车站B建于铁路ON上，同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB经过货物中转站Q，已知Q站与铁路线OM，ON的垂直距离分别为2km，710km.5现以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，成立如图16－4所示的直角坐标系．图16－4(1)若一货运汽车以362km/h的速度从车站A开往车站B，不计途中装卸货物时间，则需多长时间？(2)若在中转站Q的正北方向6km有一个工厂P，为了节俭开销，产品不经中转站而运至公路上C处，让货车直接运走，试确立点C的最正确地点．[解](1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y＝－3x，|3x0＋2|710设Q(x0,2)(x0>0)，由10＝5及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，y＝－3x，x＝－3，即B(－3,9)，由得x＋y－6＝0，y＝9，∴AB＝－3－62＋92＝92，进而t＝92＝1h.3624即货运汽车需要15分钟时间.8分(2)点P到直线AB的垂直距离近来，则垂足为C.由(1)知直线AB的方程为x＋y－6＝0，12分∵P(4,8)，则直线PC的方程为x－y＋4＝0，x＝1，联立上述两式得即点C的坐标为(1,5).16分y＝5，2．(2019·南京盐城二模)如图16－5，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且相互垂直的道路．最先规划在拐角处(图中暗影部分)只有一块绿化地，以后有众多市民建议在绿化地上建一条小道，便于市民快捷地来回两条道路．规划部门采用了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.图16－5问：A，B两点应选在哪处可使得小道AB最短？[解]如图，分别由两条道路所在直线成立直角坐标系xOy.设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，xy则直线AB的方程为a＋b＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为

AB与圆

C相切，所以

|b＋a－ab|＝1.b2＋a2化简得

ab－2(a＋b)＋2＝0，即

ab＝2(a＋b)－2.

5分所以

AB＝

a2＋b2＝

a＋b

2－2ab＝a