第四章-凝固和熔化时的导热

高等传热学内容第一章导热理论和导热微分方程第二章稳态导热 第三章非稳态导热

第四章凝固和熔化时的导热

第五章导热问题的数值解第六章对流换热基本方程第七章层流边界层的流动与换热第八章槽道内层流流动与换热第九章湍流流动与换热第十章自然对流

第十一章热辐射基础第十二章辐射换热计算第十三章复合换热

第四章凝固和熔化时的导热

发生熔化或凝固时的瞬态传热问题，通常属于“相变”或“移动边界”问题。这些问题在许多工业领域都有重要的应用，如冰的制造、土壤的冻融、金属铸件的凝固等。近年来，蓄冷空调技术由于其在调节电力负荷中的重要作用已受到广泛重视，合理控制冰或其他相变介质的冻融已成为提高设备性能的重要因数。在利用相变蓄热的太阳能系统中，存在着同样的相变传热问题。在纯物质的凝固过程中，相变发生在一个确定的温度下，而且液相和固相被一个明确的移动界面隔开。但对另一些情况，如混合物、合金及非纯材料的凝固过程，凝固现象发生在一个相当宽的温度范围内，此时液相和固相被一个移动的两相区域所分离。

第四章凝固和熔化时的导热

本书仅介绍纯物质的相变，而且只限于一维问题。这样的系统的特点是有着一个分界面以分隔热物理特性不同的两个区域，这个分界面是作为时间的函数而移动的。此外，热量在分界面上被吸收或放出。因为在传热过程中，固-液界面是移动的，因而确定其位置是求解此类问题的一个主要的目标。除了少数简单的情况能得到精确的分析解之外，这类问题一般需要采用数值求解。以下主要介绍几个经典的分析解。虽然它们的适用条件比较苛刻，但通过对分析解的讨论，可以了解凝固(或熔化)导热过程的物理模型，以及影响这一过程的主要因素。

4-1半无限大区域中的相变问题

首先考虑一维半无限大区域中液体凝固问题。参见图4-1，x=0处是固相的一个边界，在τ时刻两相的分界面在X(τ)处，远离分界面的液体的整体温度为t∞。热量自液相经固相传到固相的外边界，同时在分界面上系统释放出相变潜热。假定液相区的热量传递也是单纯的导热方式，并且液、固两个区域的温度和物性分别用下标l和s表示，则两个区域的温度分布应分别满足以下导热微分方程：

(4-l-la)(4-l-lb)4-1半无限大区域中的相变问题

图4-1半无限大区域中液体凝固和固体熔化时的导热在移动界面上温度是相变温度tm。另一个边界条件可由界面上的热量平衡导得(参见图4-1)：

(4-1-2)其中：qs和ql分别表示固相和液相中朝x正方向的热流密度，负号表示热流指向x

的负方向；等式的最后一项表示由于界面的移动而在单位时间里释放的潜热；L

是介质的熔化(凝固)潜热(单位为J/kg)。考虑固相与液相的密度不同时，凝固过程中的质量平衡会引起液相在x

方向的整体推移，但这一过程并不影响导热，而单位分界面面积上在dτ时间内凝固的质量总是为ρs

dX

。根据傅里叶定律，上式可改写为

(4-l-3)4-1半无限大区域中的相变问题

4-1-1半无限大空间内的凝固过程一种液体具有高于凝固温度tm

的均匀温度t∞，它被限制在x＞0的半无限大空间内。在τ=0时，x=0的边界面温度突然降到t0<tm，并一直保持这一温度不变。由此固-液两相的分界面开始向x正方向移动。需要确定两相中的温度分布和分界面的位置。这一问题的完整的数学描述为在固相区内

(4-1-4a)(4-1-4b)4-1半无限大区域中的相变问题

在液相区内

(4-l-4c)(4-l-4d)(4-l-4e)分界面x=X(τ)处的藕合条件为

(4-1-4f)(4-1-4g)4-1半无限大区域中的相变问题

诺伊曼(F.Neumann)首先给出了这一问题的精确解形式：设解ts具有以下的形式：

(4-l-5)它满足固相的导热微分方程(4-1-4a)及边界条件式(4-1-4b)。设解tl具有以下的形式：

(4-l-6)它满足液相的导热微分方程(4-1-4c)、边界条件式(4-1-4b)和初始条件式(4-1-4e)。A、B待定。将式(4-l-5)、(4-1-6)代入界面条件式(4-1-4f)，可得

(4-1-7)式中，是一个待定的常数。若求得η，则有

(4-l-8)上式表明凝固层的厚度与成正比。4-1半无限大区域中的相变问题

由式(4-l-7)，系数A、B可表示为把系数A、B代入式(4-l-5)、(4-l-6)，可得固相和液相区域的温度分布

(4-1-9a)(4-1-9b)把式(4-1-8)、(4-l-9a)、(4-l-9b)代入界面热平衡方程(4-l4g)，可得到计算参数η的关系式：

(4-1-10)4-1半无限大区域中的相变问题

其中c0是固相的比热容。这是一个关于参数η的超越方程。根据给定的物性参数和温度条件，解出参数η，即得到确定的温度分布和分界面的位置。η是凝固(熔化)问题中一个重要的无量纲变量。从和可以看出，它决定了到某一时刻相变界面的位置(因面相变的总量)以及相变的速率。把方程(4-1-10)表示成无量纲的形式，有其中：是无量纲温差，表征了相变问题的温度边界条件；和分别是固相和液相的物性比；称为斯蒂芬数，表征显热与相变潜热之比。4-1半无限大区域中的相变问题

半无限大固体的熔化问题，见图4-lb中的配置。固体的初始温度t∞<tm，液相的边界温度t0>tm且保持不变。这一问题的数学描述与液体凝固问题完全相同，只是固、液两相交换了位置，热流也改变了方向。因此解的形式也相同，只是式中各物性参数的下标s和l

互换。现在来讨论以上问题的一个特例：液相区域的初始温度等于相变温度，即t∞=tm，而固相的边界温度t0<tm。此时的温度分布如图4-2a所示。由于液相区不存在温差，因此不再需要求解液相区的微分方程，这样的相变问题变为单区域问题。此时式(4-1-10)简化为

(4-1-10)或

4-1半无限大区域中的相变问题

4-1半无限大区域中的相变问题

图4-2单区域相变导热4-1半无限大区域中的相变问题

上式表明，在单区域相变问题中相变速率仅取决于斯蒂芬数。由式(4-1-11)确定的函数关系标绘在图4-3中。对于半无限大固体熔化的问题，如果固体的初始温度等于相变温度，问题同样简化为单区域问题。图4-3边界温度恒定的半无限大固体的单区域熔化导热4-1-2单区域问题的积分方程解第三章中讨论的积分方程解的近似方法同样可应用于解决移动边界的相变导热问题。积分方程(3-3-12)是普遍成立的。这里的相变界面与3-3节中定义的“热渗透层”的边界相类似，亦即这里的X(τ)相当于热渗透层的δ(τ)。以单区域的凝固问题为例来介绍积分方程近似解。由于是单区域问题，以下略去下标s。定义过余温度θ

＝t-tm。问题的边界条件为：在固相的外边界温度保持不变，即θ＝θ0＝t-tm

，x=0,τ>0(4-l-12)在相变界面上温度保持为凝固温度并遵循热流平衡，即θ＝0,x＝X(τ),τ>0(4-l-13a)(4-1-13b)4-1半无限大区域中的相变问题

4-1半无限大区域中的相变问题

此时，对固相区写出积分方程为

(4-1-14)或把式(4-l-13b)代入式(4-1-14)，得另一个形式的方程：

(4-1-15)用二次多项式来近似固相区中的温度分布，设

(4-1-16)该温度分布函数已满足x=X

处的温度边界条件式(4-1-13a)，还需要两个条件来确定系数A

和B。由条件式(4-1-12)可得

(4-1-17)4-1半无限大区域中的相变问题另一个边界条件式(4-1-13b)不便直接应用于式(4-1-16)，为此需要作一些变换。对式(4-l-13a)微分可得把式(4-l-l)和式(4-1-13b)代入上式，整理可得

(4-1-18)把式(4-1-16)代入上式，整理得

(4-l-19)联立式(4-1-17)、(4-1-19)求解，得，(4-l-20)4-1半无限大区域中的相变问题其中。由于应该大于零，因此以上关于A的二次方程的两个根中取正根。由A、B就确定了温度分布。把温度分布代入积分方程，可以确定相变界面的位置X。如果采用积分方程(4-1-15)，则得解以上常微分方程，并由条件τ＝0，X＝0可得

(4-l-21)4-1半无限大区域中的相变问题即

(4-1-22)还可以找到其他的条件，如把式(4-1-16)直接代入相变界面的热平衡条件式(4-1-13b)，可得则得

(4-1-23)以上单区域问题的两个近似解与精确解式(4-1-11)的图线分别表示在图4-3中。可以看到，由相变界面的热平衡条件得到的式(4-1-23)较接近精确解。4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热

在线性坐标系中相变问题存在解析解的必要条件是导热方程存在相似性解，即导热方程的解可以表示为的函数。由此可以推断，如果柱坐标系或球坐标系中导热方程的解也可以表示为的函数，则可能找到相应相变问题的解析解。容易证明分别满足柱坐标系和球坐标系中的导热微分方程。这些解可以用来得到特定条件下柱坐标系和球坐标系中相变问题的解析解。尽管柱坐标系中的相变问题在工程上有相当的重要性，但只有无限大区域中的恒热流线热源问题可以得到解析解。对球坐标系中相变问题的解析解有兴趣的读者可参阅文献[1]。4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热

下面介绍柱坐标系中相变导热的精确解。一条强度恒定为Q(单位为W/m)的线热汇置于均匀温度为t∞>tm的液体中。从τ＝0的时刻开始热汇不断地吸收热量，引起液体的凝固。这是一个轴对称问题。选择热汇的坐标为r=0，固、液两相的界面向r的正方向移动。坐标与固、液两个区域的温度分布示于图4-4中。固相区的导热微分方程为

(4-2-la)4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热

图4-4无限大物体中由热线汇引起的凝固过程4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热

液相区内导热的数学描述为

(4-2-1b)(4-2-1c)(4-2-1d)两相界面上的藕合条件为

(4-2-1e)(4-2-1f)4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热

取固相区与液相区的温度分布为如下的形式：

(4-2-2a)(4-2-2b)其中,是指数积分函数，已在3-4节关于线热源的讨论中涉及。因此可知这一形式的温度分布函数已自动满足柱坐标系中的导热微分方程(4-2-la)、(4-2-1b)，以及无穷远处的边界条件式(4-2-1c)和初始条件式(4-2-ld)。系数A、B、C由其余的条件确定。4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热

对温度分布式(4-2-2a)、(4-2-2b)求导得