第四章4.2异方差

4.2异方差异方差的概念及形式异方差的来源与后果异方差的检验异方差的修正方法案例分析消费模型

Ci=1+2Yi+ui同方差假设：Var（ui）＝σ2i＝1,2,…,n无论家庭处于哪一种可支配收入水平，其消费水平的分散程度或波动程度都是相同的。实际上，与可支配收入低的家庭相比，收入高的家庭消费的波动程度显然更大一些。因而，在研究消费问题时，需要假定：

Var（ui）＝σi2即对于不同收入水平的家庭，其消费水平的波动程度也不相同，这就是所谓的异方差（heteroscedasticity）。一个例子更为接近真实的结论是什么？四川省2000年21个地市医疗机构数与人口数对应的模型估计结果如下：如果是正确的，上述结论：每增加1万人口，平均增加5.373个医疗机构？可靠吗？同方差假定不满足时，即存在异方差：

Var(ui)＝σi2(

i＝1,2,…,n)

异方差的概念对于多元线性回归模型：同方差的假定：

Var(ui)＝σ2(i＝1,2,…,n)解释变量Xi是确定的，扰动项的异方差性等同于：

Var(Yi)＝σi2(

i＝1,2,…,n)

更为具体的形式：

σi2＝σ2f(X1i,X2i,…,Xki)

同方差的假定即：

Var(ui)＝σ2i＝1,2,…,n

方差－协方差矩阵为：当假定不满足时：

Var(ui)＝σi2i＝1,2,…,n

方差－协方差矩阵为：

异方差(矩阵形式）

异方差的表现及分类：同方差递增型异方差递减型异方差复杂型异方差放松管制后，纽约股票交易所（NYSE）的经纪人佣金（美分/每股）：

异方差的例子交易量在0~199之间的机构投资者平均每股需付46.5美分，方差为32.22；交易量最大（10000以上）的投资者平均每股付10.1美分，方差为3.18销售量和R&D支出：R&Di=1+2Salesi+ui上证收益率（2004年4月1日——2008年3月31日）：自回归条件异方差（ARCH）—时间序列的异方差

一、模型中省略了某些重要的解释变量

假设正确的计量模型是：但由于总体模型是未知的，建立模型时遗漏了X3i，而采用

此时，ui*=ui+3X3i

当被略去的X3i与X2i有呈同方向或反方向变化的趋势时,X3i随X2i的有规律变化会体现在ui*中。异方差的来源与后果

异方差的来源二、模型的设定误差三、数据的测量误差四、截面数据中总体各单位的差异

异方差的来源1、参数估计量仍具有线性性和无偏性、一致性

异方差的后果2、参数估计量不再是有效估计量假定扰动项的方差为：

Var(ui)＝σ2Xi2

(

i＝1,2,…,n)

估计量方差为：同方差假定时的方差：根据常用的OLS方差估计公式得到的结果是错误的3、变量的显著性检验失去意义4、区间预测失效定性分析异方差Goldfeld-Quandt检验White检验Glejser检验异方差的检验异方差性检验的基本思路：首先利用OLS法估计参数并计算然后通过研究是否随着观测点的变化而变化来推断是否存在异方差性。

定性分析异方差（1）经济变量规模差别很大时容易出现异方差。如:个人收入与支出关系，投入与产出关系。用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家庭纯收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图,其中用表示农村家庭消费支出，表示家庭纯收入。（2）利用散点图做初步判断。（3）利用残差图做初步判断。e2Xi0e2Xi0e2Xie2Xie2Xi

戈德菲而德－夸特（Goldfeld-Quandt）检验

该检验常用于检验递增型的异方差，且在大样本容量的前提下使用。H0：H1：（1）将观测值按递增的方差排列，根据假设，对于递增的异方差，可以从按解释变量X的值按升序排列。（2）略去中间C个值（约为T/4），余下的T-C个分为两组并分别拟合出回归方程

{X1,X2,…,Xi-1,Xi,Xi+1,…,Xn-1,Xn}

(n-c)/2c

=n/4

(n-c)/2

（3）计算两个回归方差的残差平方和RSS1和RSS2。

自由度v1=v2=(n-c)/2-k-1

（4）构造统计量:

（5）给定显著性水平α，查找临界值Fα.

若：F>Fα

，则拒绝H0，认为存在递增型的异方差。

F<Fα

，不能拒绝H0，认为随机误差项是同方差分布的。注：⑴该检验的功效取决于c值，c值越大，则大小方差的差异越大，检验功效越好⑵两个回归所用的观测值的个数是否相等并不重要，因为可以通过改变自由度和统计量的计算公式来调整。⑶该检验只适用于于递增型的异方差，且依赖于观测值是否正确排序。⑷当模型中包含多个解释变量时，应对每一个解释变量都进行检验。销售量和R&D支出（研究了18个行业）：{X1,X2,…,X8,X9,X10,X11,…,X17,X18}

(18-4)/2=7c

=18/44(18-4)/2=7如果中间除去c=3个，如何进行检验（假定前面有8个，后面有7个）？v1=v2=7-2=5R&Di=1+2Salesi+uiv2=5，v1=63、White检验以二元回归线性回归模型为例：H0：上式ui不存在异方差检验步骤：（1）首先对上式进行OLS回归，求残差ei（2）做如下辅助回归（注意包括常数项，计算可决系数R2）：H1：上式ui存在异方差White检验由H.White1980年提出。Goldfeld-Quandt检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。Glejser检验通常要试拟合多个回归式。White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造2统计量进行异方差检验。（3）在原假设下（不存在异方差）计算统计量：（5）根据临界值进行判断若，则不能拒绝H0（ui具有同方差）

若，则拒绝H0（ui具有异方差）(其中p为辅助回归中待估参数的系数，上例中p=6)注意，该检验可以用于检验各种类型的异方差，其检验的准确性依赖于模型是否被正确设定。由于辅助回归方程中可能有太多的解释变量，从而使自由度减少，有时可以去掉交叉项。婴儿死亡率（Y）、人均GDP（X1）和初等教育占人口比重（X2）的关系（n=20）：Yi=196.979-0.0033X2i-1.401X3i+eis.e=(16.12)(0.001)(0.2205)

R2=0.8024F=34.52D.W.=2.47与理论预期一致吗？这里使用了20个国家的数据，其中5个低收入国家，5个中等偏下收入国家，5个中等偏上收入国家，5个高收入国家。由于样本来自经济条件差异很大的国家，因而先验的预期存在异方差。

戈里瑟（Glejser）检验

检验是否与解释变量Xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则说明不存在异方差。基本思想：假设方差与解释变量直接存在某种幂函数的关系。

步骤：（1）首先用OLS估计经济计量模型的回归系数，求出随机误差项ut的估计值et。（2）用|ei|与解释变量Xi的不同幂次进行回归。常用形式有：ei=a0+a1

Xiei=a0+a1Xi2ei=a0+a1,….

利用样本可决系数R2，t统计量进行显著性检验，若有通过检验的模型，则说明原计量模型存在该种形式的异方差。特点：（1）既可以检验递增型的异方差，也可以检验递减型的异方差；（2）一旦发现异方差，同时也发行了异方差的具体表现形式；（3）该检验是探测性的，如果试验模型选择的不好，则不易检测出是否存在异方差。

方差2已知时，加权最小二乘法（WLS）方差2未知时，模型变换。

White异方差一致估计。取对数消除异方差。异方差的修正方差已知的加权最小二乘法（WLS）对于多元回归模型：为修正异方差,可做一下变换:变换后的模型为（注意没有截距项）：j＝1,2,…,k令：现在我们来看对加权模型的最小二乘估计（OLS）的残差平方和

——加权残差平方和

从这里可以看出，变化后的残差平方和给原来的残差进行了加权，权数为随机误差项方差的倒数，来自较大方差的观测值得到了较小的加权，而来自较小方差的观测值得到了较大的加权。即：

误差项方差随一个自变量变化时的加权最小二乘法

有一种可能性是回归模型误差项的方差与一个解释变量取值直接存在某种关系，特别地，假设：其中，X2i是多元线性模型中某个解释变量：我们将模型两侧同时除以：

变换后的模型为（注意没有截距项）：j＝1,2,…,k令：可以看出，变换后的误差项具有相同的方差，因为：思考：为什么模型两侧不同时除以i，即，而是除以？

原来的常数项变成了偏回归系数，而变量X2的斜率变成了新的常数项。变换后的模型具有相同的方差，OLS估计量是一个BLUE。

注意，最终给出估计模型，并对这些参数进行经济解释时，要将这些参数的值代入原始的模型之中。例如，2所反映的依然是，其他条件不变的情况下，变量X2对被解释变量Y的边际影响。

考虑两种特殊情况：即：

变换后的模型增加了一个解释变量，但没有常数项，因而，利用

Eviews进行回归时，注意，不要输入代表常数项的c。XeXe销售量和R&D支出（研究了18个行业）：R&Di=-235.61+0.036Salesi+eis.e=(383.63)(0.007)

R2=0.3549D.W.=2.89估计结果为：模型写作：

White异方差一致估计即便存在异方差，OLS估计量依然是无偏的。但常用的方差估计公式是错误的，因为此时OLS估计量的方差协方差矩阵为：

如果能够估计出矩阵2，就可以代入上面的公式，从而正确地估计出OLS估计量的方差和标准差，相应的t检验和F检验就可以有效进行。

中未知数有n个，怎么估计？

White发现，其实不需要估计矩阵，而通过估计矩阵