单个构件的承载能力-稳定性

第四章单个构件的承载能力

——稳定性4.1稳定问题的一般特点

回顾4.2轴心受压构件的整体稳定性

回顾4.3实腹式柱和格构式柱的截面选择计算回顾4.4受弯构件的弯扭失稳

回顾4.5压弯构件的面内和面外稳定性及截面选择计算

回顾4.6板件的稳定和屈曲后强度的利用稳定的平衡结构的平衡不稳定的平衡因失稳而导致结构丧失承载能力的事件：加拿大一大桥，苏联一锻压车间，美国一体育馆，等等上海某大型厂房施工时倒塌山东某厂房施工时倒塌1、欧拉屈曲特点：在临界状态前结构保持初始平衡位置，达到临界状态时，结构从初始平衡位置过渡到无限临近的新平衡位置，此后变形进一步的加大，要求荷载增加。结构平衡形式的转移，平衡状态出现分岔，因此称为平衡分枝。这类稳定称为第一类失稳或者欧拉屈曲。相应的荷载称为屈曲荷载、平衡分枝荷载或者欧拉临界荷载。（举例：直杆轴心受压屈曲）一、失稳的类别2、极值型失稳特点：没有平衡分岔现象，随着荷载增加，结构变形增加，而且越来越快，直到结构不能承受增加的外荷载。此时荷载达到极限值，这类稳定问题称为第二类稳定或压溃，相应的荷载称为失稳极限荷载或压溃荷载。（举例：压弯构件受压失稳）3、屈曲后极值型失稳特点：在开始时有平衡分岔现象，即结构屈曲后并不立即破坏，还有比较显著的屈曲后强度，因此能继续承受荷载增加，直到出现极值型失稳。（举例：薄壁钢构件中受压翼缘板和腹板的失稳）4、有限干扰型屈曲特点：结构屈曲后承载能力迅速下降，因此，结构如果有初始缺陷，在受载过程中就会不出现屈曲现象而直接进入承载力较低的极值型失稳。这类失稳也称为不稳定分岔屈曲，具有这类失稳类型的结构也称为缺陷敏感型结构。（举例：承受轴向荷载的圆柱壳的失稳）5、跃越型失稳特点：结构由初始平衡位置突然跳跃到另一个平衡位置，在跳跃过程中出现很大位移，结构平衡位型出现巨大变化。（举例：承受横向均布压力的圆球扁壳的失稳）扁壳失稳后跳跃到图中的虚线位置，并能继续承受大于失稳时的荷载值，但这点在实际工程中并无意义。杆的屈曲板的屈曲不稳定分岔屈曲圆管压杆跃越屈曲铰接坦拱屈曲的形式又可以分为三种：弯曲屈曲扭转屈曲弯扭曲屈二、稳定的一阶、二阶分析由经典的欧拉梁理论可知：由于则，大挠度理论小挠度理论二、稳定的一阶、二阶分析一阶弯矩：二阶弯矩：将上式积分，并利用边界条件和分别得到和其中，且。由得到欧拉临界荷载欧拉临界荷载当时，二阶位移。达到临界荷载时，构件的刚度退化为零，无法保持稳定平衡。失稳的本质是，压力使构件弯曲刚度减小，直至消失的过程。失稳是构件的整体行为，它的性质和个别截面强度破坏完全不同。三、稳定极限承载能力几何缺点（杆件的初弯曲、初偏心、初始不平度）缺陷力学缺陷

（初应力和力学参数的不均匀性）残余应力：①自相平衡，不影响截面的强度；

②截面的一部分提前屈服，刚度提前消失，降低稳定承载能力。几何缺陷附加应力刚度提前消失降低稳定承载能力三、稳定极限承载能力

由于实际结构的失稳一般都呈弹塑性状态，截面的应力应变关系也是非线性的，所以求解结构的临界力比较困难。（数值积分法或有限单元法）历史上曾出现过两种方法来解决——切线模量理论和折算模量理论（双模量理论）。四、稳定问题的多样性、整体性和相关性多样性：

1、失稳形式的多样性：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳

2、失稳构件的多样性：轴心受压、受弯、压弯、受压板件

整体性：不能孤立的去分析稳定问题，应考虑构件之间以及围护结构与承重结构之间的相互约束作用。相关性：不同失稳模式之间的耦合作用

1、轴心受压构件的面外失稳表现为弯曲和扭转的相关屈曲

2、局部屈曲和整体屈曲的相关性前面介绍的轴心压杆屈曲都是针对理想的直杆，并承受绝对沿轴心的压力，又毫无初始应力的前提下进行分析的。实际的压杆和理想的压杆不一样，不可避免的存在初始缺陷。这些缺陷有力学缺陷和几何缺陷两种：力学缺陷：残余应力、截面各部分屈服点不一致几何缺陷：初弯曲、加载初偏心其中对压杆弯曲失稳影响最大的是残余应力、初弯曲、初偏心。钢材小试件的应力应变曲线（理想的弹塑性曲线）压杆临界应力与长细比的关系曲线（柱子曲线）当时，为欧拉曲线；当时，则由屈服条件控制，为一水平线。残余应力的影响残余应力产生的原因：①焊接时的不均匀加热和不均匀冷却②型钢热轧后的不均匀冷却③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩④板件经冷校正产生的塑性变形残余应力的分类：纵向残余应力、横向残余应力（绝对值很小，对杆件的承载力甚微）残余应力使构件的刚度降低，但不同的残余应力分布，影响程度也不同。从短柱段看残余应力对压杆的影响：截面的平均应力大于时，柱处于弹塑性阶段，只能由截面的弹性区来抵抗弯矩此时，全截面惯性矩应该用弹性区截面的惯性矩来代替。这时临界应力为：相应的临界应力为：引入：,需要注意的是,残余应力对两个主轴的临界应力影响并不相同。对y-y轴屈曲时，对x-x轴屈曲时，可见，残余应力对弱轴的影响比对强轴的影响严重的多!由截面的平衡条件可得：由三角形相似关系得则，，再有，因此，由平衡条件有：联合求解可得到长细比或相对应的或。可以画成下面的无量纲曲线。正则化长细比，可以用于不同钢号的构件结论：残余应力使得构件的刚度降低，从而降低了构件的整体稳定性！2、初弯曲对整体稳定的影响：制造和安装距离杆端x处，具有初弯曲为

在压力作用下，杆的平衡微分方程为：解方程得杆的挠度曲线方程为：

其中，，杆的中央挠度为：可见，当压力达到杆的欧拉值时，对于有不同初弯曲的压杆，均无限大，即杆发生屈曲。（见课本图4－11）两端铰支的具有初弯曲的弹性轴心压杆具有上述初弯曲的压杆的截面开始屈服的条件是：该式可以作为确定格构式轴心压杆和冷弯薄壁型钢轴心压杆的承载能力的计算公式。（以截面受压最大纤维屈服为标志）我国钢结构规范规定，压杆初弯曲的取值为杆长的1/1000，冷弯薄壁型钢技术规范规定为1/750。引进符号则有：其中，为相对初弯曲，是截面的核心距。将代入，得杆件越细长，值大而小，初弯曲的不利影响越大。值越大，初弯曲不利影响越大。结论：杆件的初弯曲使得杆件的整体稳定承载能力下降！3、初偏心对整体稳定性的影响：杆件尺寸偏差和安装误差弹性工作状态下的微分方程为：引入得，解此方程得杆长中点的挠度表达式为：画出压力－挠度曲线，可见初偏心影响与初弯曲类似，初弯曲对中等长细比的杆件影响较大，初偏心的数值一般较小，除了对短杆有明显的影响以外，杆件越长，影响越小。两端均有最不利相同初偏心距e0的铰支柱4、杆端约束对整体稳定性的影响：根据杆端的约束条件，用等效的计算长度来代替杆的几何长度，取从而把它简化为两端铰接的杆。其中称为计算长度系数，相应的杆件临界力是：4、杆端约束对整体稳定性的影响：约束越强，越小。在弹塑性阶段失稳的轴心压杆，杆端约束对承载能力的影响主要取决于杆的连接条件、杆的长度、残余应力的分布和数值，以及杆的初弯曲，约束程度越高，杆的承载能力越高。如何在设计中考虑约束的有利影响是当前国内外正在研究的课题。5、轴心受力构件的整体稳定计算（弯曲屈曲）：

中央截面边缘纤维开始屈服极限承载能力极值点屈曲分岔屈曲为保证轴压构件不会发生整体失稳应满足：即：可见稳定计算关键是求，亦即求1、理想轴心压杆的临界应力（只适用于弹性阶段）2、实际轴心压杆的临界应力

实际杆件总有缺陷，如残余应力，初偏心、初弯曲等。实际压杆的工作情况是，压力增大，侧移增加；曲线顶点对应压杆稳定极限承载力Nu

Nu的数值受初弯曲，初偏心，残余应力，材料不均匀程度等因素影响，不再是的唯一函数，而是一个随机变量。1、GB50017-2003规范采用的柱子曲线（）所谓柱子曲线指压杆失稳时的临界应力与长细比间的关系曲线。基本假定：

1)初弯曲v0＝

2)残余应力选用13种形式

3)假定材料为理想弹塑性，残余应力沿杆长各截面分布相同

4)按两端铰接计算从200多条曲线中选出有代表性的96条曲线进行分类，合并（3类）得到实用柱子曲线;厚板为第4类。d2、截面类型的划分实腹式轴心受压柱整体稳定计算的实用公式：——轴心受压构件的稳定系数，根据截面的类型和构件的长细比查表获取，。两个方向比较，取较小值代入公式例题4－2

作业：

P165，4.10思考题1、简述影响轴心受压构件的稳定性的因素及影响的方式。2、简述引入轴心受压柱的计算长度系数的原因。十字形截面：因其没有强、弱轴之分，并且扇性惯性矩零，所以扭转屈曲临界力低于弯曲屈曲临界力。通过公式推导发现，只要局部稳定有保证，就不会出现扭转失稳问题。因此规范规定对于双轴对称十字形截面，其λx或λy不得小于5.07b/t(其中b/t为悬伸板件宽厚比)。工字形和H形截面：无论是热轧或是焊接，都是绕弱轴弯曲屈曲的临界力低于扭转屈曲临界力。4.2.6轴心受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲单轴对称截面绕对称轴失稳时必然呈弯扭屈曲：其原因形心和剪切中心不重合。规范规定：对于单轴对称截面绕对称轴的整体稳定的校核，要采用换算长细比，由换算长细比求得相应的稳定系数φ，再由(4-23)式进行整体稳定性校核。对双板T形和槽形截面（单轴对称截面）进行弯扭分析后，认为绕对称轴（设为x轴）的稳定应取考虑扭转效应的换算长细比来代替原先的长细比。单角钢截面和双角钢组合T形截面绕对称轴的换算长细比的简化计算公式，将在下册结合桁架进行介绍。截面无对称轴的构件（不等边角钢）总是发生弯扭屈曲，其临界荷载总是既低于相应的弯曲屈曲临界荷载，又低于扭转屈曲临界荷载。所以没有对称轴的截面比单轴对称截面的稳定性能更差，一般不宜用作轴心压杆。轴心受压构件的稳定承载力与那些因素有关？构件的几何形状与尺寸：影响屈曲形式，而屈曲形式对构件的稳定承载力有直接关系。杆端约束程度：约束程度愈高，则承载力愈高。钢材的强度：构件在弹性阶段屈曲时与强度无关，而在弹塑性阶段屈曲时，强度高的构件比强度低的构件临界力要高。残余应力、初弯曲、初偏心：残余应力的分布位置和大小对轴心受压构件的稳定承载力影响很大。初弯曲和初偏心对轴心受压构件的稳定承载力影响本质是相同的。截面选择原则：1、截面面积的分布应尽量开展，以增加截面的惯性矩和回转半径，提高它的整体稳定性和刚度；2、等稳定性：使两个主轴方向的稳定系数（长细比）大致相等；3、便于与其他构件进行连接；4、尽可能构造简单，制造省工，取材方便。常用的截面形式及特点：角钢：单角钢截面适用于塔架、桅杆结构、起重机臂杆以及轻型桁架中受力较小的腹杆。双角钢能满足等稳定性的要求，常用于由节点板连接杆件的平面桁架。热轧普通工字钢：制造省工，但两个主轴方向的回转半径差别较大，适用于两个主轴方向计算长度相差较大的情况，如：工作平台柱；轧制H型钢：面积分布较合理，制造简单，生产量少。轴压构件宜采用宽翼缘。焊接工字形：在工厂制造，利用自动焊焊接所需的尺寸，其腹板按局部稳定的要求作得很薄以节省钢材，应用十分广泛。常用的截面形式及特点：十字形截面：在两个主轴方向的回转半径是相同的，对于重型中心受压柱，当两个方向的计算长度相同时，这种截面较为有利。在高层钢结构中应用广泛，但要保证不发生抗扭屈曲。圆管截面轴心压杆的承载能力较高，但是轧制钢管取材不易，应用不多。焊接圆管压杆用于海洋平台结构，因其腐蚀面小又可作成封闭构件，比较经济合理。方管或由钢板焊成的箱形截面：因其承载能力和刚度都较大，虽然和其他构件连接构造相对复杂些，但可用作轻型或高大的承重支柱。二、设计步骤已知条件：钢材强度f、轴力N、计算长度l0、截面类型1.确定截面形式，假定长细比：2.按假定的，根据截面分类和钢号可查表得稳定系数3.计算所需面积：4.求所需截面回转半径：若算得的以及，相对较小，可以在热轧型钢截面选择表中直接查找相应的型号。反之，则要通过下面的方法，通过计算，设计所需的焊接组合截面尺寸。5.由回转半径与截面尺寸的关系：(见附表14,P339)确定所需截面轮廓尺寸：6.由求出的A，h，b再考虑构造要求、局部稳定和钢材规格等初选截面尺寸，由A=2bt+（h-2t）tw令

tw＝(0.4～1.0)t

可求出t和tw

7.对所选截面进行验算：1）强度：2）刚度：3）整体稳定：4）局部稳定：翼缘宽厚比：

腹板高厚比：4.3.1实腹式柱的截面选择计算例题4－4，4－54.3.2格构式柱的截面选择计算

工程上许多柱子压力不大，但很高，为取得较大的稳定承载力，尽可能使截面向外扩展些，这时候就要采用格构柱。1、常见的格构式截面形式：由肢件和缀材（缀条和缀板）组成2、格构式柱的形式实轴(y-y)虚轴(x-x)3、轴心受压格构柱设计的主要内容选择截面整体稳定实轴虚轴单肢验算(分肢稳定和强度)

缀条、缀板及连接计算4、整体稳定设计(1)绕实轴的稳定同实腹式轴压构件。（2）、绕虚轴稳定：绕虚轴的整体稳定临界力比相同长细比的实腹式构件低。

轴心受压构件弯曲时，截面上存在弯矩和剪力。实腹式构件抗剪刚度比较大，产生的剪切变形较小，可以忽略。格构式构件绕实轴弯曲的情况与实腹式相同，但是绕虚轴弯曲时，剪力由比较柔弱的缀材承担，剪切变形较大，构件的附加侧向变形对临界应力的降低是不能忽略的。在实际设计中，对虚轴失稳的计算，常以加大长细比的方法来考虑剪切变形的影响。钢结构设计规范对缀条柱和缀板柱采用不同的换算长细比计算公式：缀条构件——整个构件的横截面毛面积——构件截面中垂直于x轴各

斜缀条毛面截面面积之和——整个柱对虚轴的长细比缀板构件——整个柱对虚轴的长细比——单肢对平行于虚轴的形心轴的长细比——单肢的计算长度，当缀板用焊接连接时，取缀板间净距；当缀板用螺栓连接时，取缀板边缘螺栓中心线之间的距离。3、杆件的截面选择：按实轴稳定要求选定两分肢截面尺寸。（1）假定长细比（2）由计算所需截面面积A（3）求所需绕实轴截面回转半径（4）根据A，初选分肢的型钢规格，验算实轴整体稳定和刚度（5）按虚轴与实轴等稳原则确定肢间距c和截面高度h

求缀条式：缀板式：（6）由求（7）由，求两分肢尺寸c和h（c为两肢形心间距）实际计算时，可采用简化的方法：通过算得的，近似查附表14，找出截面尺寸和回转半径之间的关系，从而求得截面的尺寸。4、格构式压杆的剪力：跨中最大挠度为，则任意一点挠度为任一点的弯矩为任一点的剪力为截面边缘纤维达到屈服强度时有即令，并取得，又有在常用长细比范围内，值与长细比的关系不大。对Q235钢，可取为常数，k＝85。因此轴心受压

格构式柱平行与缀材面的剪力为：

——为按虚轴换算的长细比确定的整体稳定系数

令，即得《规范》规定的最大剪力计算公式：设计中剪力沿长度方向取定值。

1）缀条设计n——承受Vb的斜缀条数有了即可按轴压构件设计缀条。注意：缀条一般为单角钢，可能产生偏心，应对强度设计值f折减。2）缀板设计首先，由单肢长细比以及回转半径确定缀板间的净距；其次，缀板宽度约为肢间距的，同时定出缀板轴线间距离；再次，缀板厚度约为肢间距的；最后，要求验算缀板的线刚度之和不得小于柱分肢线刚度的6倍。缀板焊缝设计：相当于多层刚架

验算角焊缝是否满足。单肢稳定验算：

N1——单肢压力

A1——单肢截面面积

——单肢计算长度

——分肢最小截面回转半径当满足下列条件时，不用验算分肢稳定。对缀条柱：对缀板柱：且40例题4－6

作业：

P166，4.13一、梁整体稳定的设计原理当梁上荷载不大时，仅在垂直方向有位移，当荷载加到一定值时，梁有侧向位移产生并伴随扭转，梁从平面弯曲状态转变为弯曲扭转屈曲状态的现象称为整体失稳，也称弯扭失稳。1、临界弯矩的计算根据弹性稳定理论，纯弯条件下的双轴对称工字形截面简支梁的Mcr的计算公式为：根据弹性稳定理论，在最大刚度平面内受弯的单轴对称截面简支梁在不同荷载作用下的Mcr普通式为：2、影响梁整体稳定的主要因素1）截面刚度侧向抗弯刚度EIy，抗扭刚度GIt越大，则Mcr越大；2）计算长度减少受压翼缘的自由长度l1，可提高Mcr；3）荷载性质梁受纯弯曲时，弯矩图为矩形，跨中截面M达Mcr，附近截面对它的约束减小，Mcr最小；当跨中点受集中荷载作用，梁弯矩变化大，约束作用大，Mcr最大。4）荷载位置荷载作用于上翼缘，梁发生扭转，作用荷载会加剧扭转发展，而作用于下翼缘时，则有减缓截面扭转作用；5）加强受压上翼缘刚度，对梁的整体稳定有利6）支承情况梁支承对位移的约束程度越大，则临界弯矩越大。3、整体稳定系数的计算（1）双轴对称焊接工字形截面简支梁纯弯状态下：（4-47）式可以改写为：为了简化计算，引入并取，代入上式则有：由前面的分析，，取代入得：为了应用于不同牌号的钢材，公式修正为：单轴对称焊接工字形截面简支梁的一般情况：1、凡符合下列情况之一，可不计算梁的整体稳定1）有铺板（砼板、钢板）密铺在梁的受压翼缘上并与其牢固相连，能阻止梁受压翼缘侧向位移；2）H型钢或工字形截面简支梁受压翼缘自由长度l1与宽度b1之比不超过表4-7规定数值；3）箱形截面简支梁满足下列要求，可不计算其整体稳定性：

且需要说明的是，工程设计中，梁的整体稳定一般通过铺板或支撑来保证，需要验算的情况并不多。上述的公式主要用于压弯构件弯矩作用平面外的稳定性计算。3、规范稳定计算公式例题4－7：一、压弯构件在弯矩作用平面内的失稳现象对构件侧向有足够支承的压弯构件，在轴线压力N和弯矩M的共同作用下，可能在弯矩作用平面内发生整体的弯曲失稳。二、压弯构件在弯矩作用平面内的弹性性能平衡方程为：等弯矩作用的压弯构件对于弹性压杆，以边缘纤维屈服为准则，考虑构件缺陷后，截面的最大应力应该满足：弯矩作用平面内的稳定当M＝0时，代入上式，有：用来考虑构件初始缺陷的等效偏心距可以直接用于计算冷弯薄壁型钢压弯构件或格构式柱绕虚轴弯曲的面内整体稳定。三、实腹式压弯构件在弯矩作用平面内稳定计算的实用公式考虑截面的塑性发展，对公式（4-75）修正得上式适用于截面受压区屈服的情况。四、规范关于取值规定1、弯矩作用平面内有侧移的框架柱及悬臂构件2、弯矩作用平面内无侧移构件（框架柱及两端支承构件）（1）无横向荷载作用时构件无反弯点时取同号，有反弯点时取异号。（2）有端弯矩和横向荷载作用时（3）无端弯矩，但有横向荷载五、单轴对称截面，加强受压翼缘时

除按式（4-85）计算平面内整体稳定外，尚应对较小翼缘进行下列计算：弯矩效应比较大时弯矩作用平面内的稳定例题4.8绕y轴的弯曲平衡绕z轴的扭矩平衡弯矩作用平面外的稳定例题4-9，4-10，例题4-11作业：P1674.20格构式压弯构件的设计不作要求！4.6板件的稳定一、均匀受压板件的屈曲现象局部失稳：在一定的压应力、剪应力作用下，板件（腹板或受压翼缘）有可能偏离其正常位置而形成波形屈曲。二、薄板的临界荷载1.单向均匀受压板件的临界应力由薄板弹性稳定理论：（1）——板件屈曲后任一点的挠度其解可用双重三角级数表示（2)

m,n分别为x向，y向屈曲半波数。边界条件：x=0，x=a，y=0，y=b时

w=0（挠度）

Mx=0My=0把（2）代入（1）式，并注意n=1时，N为最小临界力Ncr令（稳定系数）则，把代入得板的弹性屈曲应力板稳定系数k与板长宽比a/b有关，与x向半波数有关

可见：当a/b<时，出现一个半波

<a/b<时，出现两个半波当a/b＝m时，有最小屈曲系数kmin=42.不同情况的临界应力：以上均为弹性分析结果。实际板件应考虑支承条件变化和板的弹塑性性能等。实际使用时,这些因素往往采用近似法考虑。（1）非弹性性能，以代替上式中的E。（2）支承条件以 考虑弹性嵌固作用如：当腹板受纯弯时，＝1.6

当腹板受剪时，＝1.23（3）为计算方便，通常采用三个准则得到一些强度条件或板宽厚比限值：强度准则I：（k1为调整系数）

强度准则II：（为板实际应力）

等稳定准则：整体稳定局部稳定

二、梁腹板局部稳定计算和加劲肋设计腹板的局部稳定可由两种措施保证：a)增加腹板厚度twb)设必要加劲肋三、板件的宽厚比1.工字型截面腹板为四边弹性嵌固的均匀受压板，其非弹性临界屈曲时的临界应力为：

取