单自由度系统的自由振动A

第一章单自由度系统的自由振动

单自由度系统 最简单、最基本的振动系统 线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程非线性系统:动力学方程为非线性微分方程自由振动 自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠系统自身恢复力维持的振动。无阻尼自由振动有阻尼自由振动或ch1单自由度系统的自由振动—讨论的内容单自由度系统自由振动的运动方程单自由度系统自由振动运动方程的解 解的一般形式自由振动的频率 影响自由振动参数的因素单自由度系统自由振动的运动规律对初始条件的响应求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法

无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T与势能V之和保持不变。 动能为零时势能达到最大值。将动能取最大值时的势能取作零，则有

简谐振动及其表示方法三角函数表示法旋转矢量表示法旋转矢量投影法

复数表示法三角函数表示法物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数

或周期：振动一次所需的时间T,单位：秒（s

）角频率（圆频率）ω:振动矢量每秒转过的角度（弧度），单位:弧度／秒（rad/s）

频率：每秒振动的次数f，单位：赫兹（Hz）（s-1）三角函数表示法（续）简谐振动的速度

简谐振动的加速度

作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度均为同频率简谐函数；

相位角：速度超前位移π/2

；加速度超前位移π，超前速度π/2

简谐振动的三要素：频率、振幅、初始相位

旋转矢量表示法—旋转矢量投影法

长度为A的矢量以匀角速度ω在平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。

频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐标轴的夹角。

1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。

OxyAφω旋转矢量表示法—旋转矢量投影法

1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。OxyAφωωAωA2复数表示法

长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处复数z的实部和虚部相对应。复数z的实部及虚部均可表示简谐运动。

特点：利用复数（求导）运算的特点可方便地表示速度和加速度。

无阻尼自由振动

单自由度系统自由振动方程单自由度系统自由振动方程的解无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动

振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关固有频率及固有周期说明什么？固有频率ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为

rad/s固有频率及固有周期固有频率和周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性。

质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。

单自由度系统对初始条件的响应初始条件对初始条件的响应能量法保守系统 无阻尼系统在自由振动中任一时刻的机械能保持常值—机械能守恒计算单自由度保守系统固有频率的能量法

保守系统振动中动能与势能之和为常数动能为零时势能达到最大值，将动能取最大值（平衡位置）时的势能取作零，则有

能量法（续1）无阻尼单度系统系统动能系统最大动能系统势能系统最大势能能量守恒→能量法（续2）瑞利法—计算固有频率的近似计算方法（计算系统的最低固有频率）先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式

（假设振型：通常按静变形曲线假设）根据无阻尼自由振动的简谐规律计算系统动能和势能写为标准形式利用得到系统的（最低阶）固有频率ω0能量法（等效参数法）所有单自由度黏性阻尼系统都可简化为质量-弹簧-阻尼系统选取x为广义坐标线性系统的动能可表示为线性系统的势能可表示为任意两个位置x1和x2间由粘性阻尼力所作的功可表示为系统的固有频率能量法练习题扭转振动用角位移作为独立座标来表达振动状态的角振动问题

转动方程式

式中J是转动物体对于转动轴的转动惯量，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正

扭振运动方程及其振动解课堂练习习题1.8不计质量的等截面悬臂梁长为L，抗弯刚度为EI，自由端有集中质量m1和m2。梁静止时突然释放质量m1。试求m2的自由振动。课堂练习单度系统无阻尼自由振动练习题单度系统无阻尼自由振动练习题参考解答作业题单自由度系统对初始条件的响应单自由度系统振动方程的解为满足初始条件或自由振动的振幅初相角

单自由度系统对初始条件的响应设在初始时刻，质点的位移和速度分别为

代入得〓单自由度系统自由振动方程质量—弹簧系统

由一个可视为质点的物体和弹簧组成。设质点的质量为m，弹簧的质量不计，无扰动时弹簧不变形，质点处于平衡状态。以平衡位置O为原点建立坐标轴x，当质点因初始扰动而偏离平衡位置时，弹簧产生与位移x成正比，方向与位移相反的恢复力F=-kx作用于质点，比例系数k称作弹簧的刚度系数，单位为N/m。单自由度系统自由振动方程(广义)坐标选取x坐标原点：静平衡位置

根据牛顿定律列写质点的自由振动方程

引入参数单自由度系统自由振动方程标准形式〓单自由度系统自由振动方程的解运动微分方程令代入上面方程

本征方程（特征方程）

相应的本征值

线性无关特解

方程的通解为

单自由度系统自由振动方程的解（续）欧拉公式单自由度系统自由振动方程的通解为

其中C1、C2（或A、θ）为待定常数，由初始条件决定。

〓或等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-2以质量块m的水平位移为坐标，试计算弹簧的等效质量。假定弹簧的变形与离固定点的距离ξ成正比，弹簧端点的位移为x。微元长度dξ的质量弹簧距端点ξ截面的变形（位移）弹簧距端点ξ截面的速度解设弹簧的长度为l，单位长度的质量为ρl，微元长度dξ的动能等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动微元长度dξ的动能将微元长度dξ的动能在整个弹簧范围内积分，计算弹簧的动能T1为弹簧质量令弹簧质量的1/3为弹簧的等效质量，则考虑弹簧质量的系统总动能为

弹簧的势能与弹簧质量无关仍利用能量守恒公式导出考虑弹簧质量的系统固有频率为等效参数法法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-3以梁端横向位移为坐标，试计算悬臂梁的等效质量

解设悬臂梁的长度为l

，单位长度的质量为ρl

，抗弯刚度为EI其中E和I分别为梁的弹性模量和截面二次矩。自由端集中质量m相对平衡位置的位移为x。利用材料力学知识，当自由端有静挠度x时，距固定端距离为ξ的截面处的静挠度为将梁的静挠度曲线作为近似振型，计算梁的动能T1为梁的质量梁质量的33/140为梁的等效质量。系统的固有频率为刚度系数为悬臂梁端点的抗弯刚度等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-4试计算串联和并联弹簧的等效刚度。

解讨论弹簧刚度为k1，k2

的串联弹簧。设A点的位移x，两弹簧的伸长分别为x1和x2，则有

根据B点的静力平衡条件列出可以解出弹性势能为串联弹簧的等效刚度系数等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动对于并联弹簧，两弹簧的伸长均等于A点的位移x

并联弹簧的等效刚度系数为如果A点处固定物体m，则动能为

不计弹簧的质量时，系统的固有频率为等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动图示系统为一内燃机排气阀系统简图。已知摇杆AB对支点O的转动惯量为I0，气阀BC的质量为Mv，阀簧质量为Ms，计算时可近似地将ms/3集中于B点，挺杆AD的质量为mt，求此系统简化到阀门C点的等效质量。等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动内燃机排气阀系统等效质量广义坐标：阀门C点的垂直位移xc系统动能：将系统动能表示为广义坐标一阶导数的二次函数等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动内燃机排气阀系统等效质量广义坐标：阀门C点的垂直位移xc系统动能：此系统简化到阀门C点的等效质量如果阀簧刚度系数为k此系统简化到阀门C点的等效刚度为k此系统的固有频率扭转振动讨论需要用角位移作为独立座标来表达振动状态的角振动问题。在这种情况下，运用牛顿运动定律得到转动方程式

式中J是转动物体对于转动轴的转动惯量，是角加速度，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正。

以扭转振动和复摆两种情况为例扭转振动

如图所示的一根垂直轴，下端固定着一个水平圆盘，圆盘的转动惯量为J。轴的扭转刚度为K。其含义是使轴转动一单位转角所需施加的力矩，单位是N·m/rad。对于一根长度为，直径为d的圆轴，根据材料力学，它的扭转刚度为

G为材料的剪切弹性模量。轴本身质量忽略不计。

当系统受到某种干扰，如在圆盘平面上加一力偶，然后突然除去，系统便作扭转自由振动。如果没有阻尼，振动将永远继续下去。设为圆盘上任一半径从它的静平衡位置量起的角位移，按图示方向为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与方向相反的弹性恢复力矩

扭转振动扭转振动得系统扭振的微分方程或式中与弹簧质量系统的运动微分方程相比较具有完全相似的微分方程式，可以直接写出其通解

式中A与同样是两个待定常数，决定于扭转振动的初始条件：

一个单自由度系统的扭振也是简谐振动。它的固有频率为扭转振动复摆

一个刚体由于本身重力作用而绕某一轴作微摆动，称为复摆（或称物理摆）。转动轴称为摆的悬挂轴（或称悬点）。设刚体质量为m，对悬点O的转动惯量为I0，重心C至悬点O距离为a。

以表示摆在任意瞬时偏离垂直平衡位置的角位移，此时重心C作圆弧运动，重力的切向分