非平稳时间序列

第五章非平稳序列的随机分析本章结构单位根过程差分运算单位根检验ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型

单位根过程(unitRootProcess)平稳随机过程的特点

1.不同时刻均值相同,围绕常数均值波动,称为均值回复(meanreversion).2.方差有界并且不随时间变化,是常数.

称为方差齐性平稳ARMA模型,可表示为此类模型的特点3.长期预测趋于无条件均值4.预测误差的方差有界

序列分解预测误差预测值5.t时刻的扰动带来的影响随着时间的增加趋于0.

假设t时刻改变一个单位,那么未来时刻t+s

时,改变多少?

非平稳过程多数经济变量的时间序列都有随着时间增加而增长的趋势,不具有均值回复的特点.两种刻画:带趋势的平稳随机过程(前面已讲)单位根过程随机趋势过程有一类随机过程,如果再t时刻扰动项发生变化,那么它的影响会一直存在下去,不会随着时间t增大会立刻衰减到0.这样过程成为随机趋势过程。随机游动(走)带常数项的随机游动单位根过程随机游走带常数项的随机游走单位根过程满足下面表达式的过程成为单位根过程其中单位根过程对时间序列的增量进行刻画，增量平稳，但水平变量不平稳。单整序列差分一次变为平稳过程，记为I(1)平稳过程记为I(0)如果差分n-1次不平稳，差分n次平稳，称为n阶单整的，记为I(n)趋势平稳过程和单位根过程比较预测比较

零假设成立时,对立假设成立时,预测均方误差的影响带趋势的平稳过程单位根过程动态乘子的比较趋势平稳过程

动态乘子:

趋势平稳过程满足,所以平稳化比较对趋势平稳过程进行差分,得到不可逆的MA模型,无法平稳化单位根去掉趋势项仍然不平稳,随机趋势仍然存在两种随机过程比较带趋势的平稳过程只有确定趋势;单位根过程具有随机趋势,有时也有确定趋势趋势平稳过程去掉趋势项平稳;单位根过程差分后平稳趋势平稳过程方差是常数,均值为时间函数;单位根过程方差是时间函数趋势平稳过程对冲击的反应是暂时的;而单位根过程对冲击的反应是长久的5.2差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

差分的方式小结

对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息，命令为D(X)；对曲线趋势的序列，低阶差分即可提取序列的确定性信息，命令为D(X,a)；对具有周期性特点的序列，k步差分即可提取序列的周期性信息，命令为D(X,0,k)。对既有长期趋势又有周期性波动的序列，可以采用低阶——k步差分的操作提取确定性信息，操作方法为D(X,a，k)。非平稳序列如果经过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序列，差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合。单位根检验对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大，其均值概念变得毫无意义；对于趋势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。对退势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。235.3单位根检验定义通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平稳性方法DF检验ADF检验PP检验DF检验模型中不包含常数和趋势项模型中包括常数项模型中包含常数和趋势项

DF检验(Dickey-Fullertest)假设条件原假设：序列非平稳备择假设：序列平稳检验统计量时时DF统计量时时，为区分传统的t分布，记DF检验的等价表达等价假设检验统计量

的临界值零假设下,不服从t分布,需要使用蒙特卡罗法估计临界值.例如随机产生100个随机数,在零假设

下可以计算

估计模型,得到一个估计值.重复很多次,例如5000次,得到5000个的值.如果这5000个值,有95%的值大于-1.95,则临界值为-1.95.小于此值,拒绝三种情况的的临界值是不一样的进行单位根检验必须选择合适的回归模型.一个简单的原则,如果数据没有明显的趋势,则在回归模型中包括常数项;如果有明显的趋势,则在回归模型中既要包含常数项和时间趋势项四个问题数据生成过程未知,有可能包括滑动平均部分可能包括不止一个滞后项,如果实际数据生成过程是AR(p)模型,估计量和标准差是错误的DF检验只考虑了一个单位根,可以考虑多与一个单位根的情况很难判断合适包括常数项,何时包括时间趋势用（1）式检验单位根等价于先验认定被检验过程

xt

是一个零均值、无趋势项的AR(1)过程。因为只有当一个含有单位根的随机过程中不含有确定性变量，那么该过程的均值完全由初始值决定，所以x0=0。可见，只有在一个过程的均值为零时，使用（1）式检验单位根才是正确的。32如果被检验的过程的均值非零，就应该首先减去这个均值，然后再用（1）式检验单位根。但实际中，被检验过程的均值一般是不知道的。所以，当不知被检验过程的均值是否为零，或不知其初始值x0是否为零时，应该用(2)式检验单位根33估计（2）式得到的

和DF的分布都不受

x0取值的影响。这一点太重要了。否则必须先知道x0的值和DF分布才能进行单位根检验。34当真实的随机过程如（2）式时，就不能用（2）式检验单位根了。因为当

=0时，xt是一个随机趋势非平稳过程。根据

c的符号（正或负）分别呈向上或向下的固定趋势变化。当

0时，xt是一个以c

/(-

)为均值的平稳过程，不含有趋势分量。所以这种条件下，用（2）式检验单位根就没有办法包括零假设和备择假设所有可能结果,即不能包括退势平稳过程,就考虑(3)式35数据由=1的（1）式生成，而DF检验式是（1）、（2）、（3）的DF分布的蒙特卡罗模拟结果见下图36可以看出检验式中随着和t项的加入，相应的DF分布或临界值逐渐向左移，即临界值相应变小。（3）式中的

和DF的分布不受x0和c值的影响37针对第四个问题,Perron提出1.如果拒绝零假设,那么检验过程停止,该过程是平稳过程.不能拒绝,说明存在单位根,过程非平稳,那么回归模型中的时间趋势项是不是多余的参数呢?如果是,会导致检验的势降低,进入步骤2.2.

使用统计量,检验零假设.F统计量

对于检验式（3），若

=0不能被拒绝，但F检验的零假设=

=0被拒绝，这意味着

0，则xt是一个确定趋势加单位根过程。这时随机单位根过程完全被确定性趋势

t所主导，对应于的DF统计量渐近服从标准正态分布。这时应该查t分布或标准正态分布临界值表。40上述两种F检验的结论是拒绝零假设H0：c=

=0（对应（2）式），

=

=0（对应（3）式）时，分别为c

0，

=0；

0，

=0。被检验的真实过程和检验式具有了相同的形式（非平稳过程且含有确定性成分）。此时称检验为准确检验（exacttest），而利用DF统计量临界值的检验称作近似检验（similartest，含义是可以用t统计量检验）。41如果拒绝零假设,这时检验,临界值用t统计量,拒绝得出结论平稳,否则非平稳.检验过程停止.如果不能拒绝零假设,说明时间趋势项是多余的,进入第三步3.如果拒绝零假设,检验过程停止.该过程是个平稳随机过程.如果不能拒绝,说明存在单位根,过程非平稳,那么回归模型常数项是否是多余参数呢.进入步骤4.4.使用统计量,如果不能拒绝,说明常数项是多余的,去掉采用情况1,进入步骤5;如果拒绝零假设,检验,采用t分布.拒绝表示平稳,不能拒绝表示非平稳.过程停止对于（2）式也可能发生类似情形。当

=0被接受，F检验的零假设c=

=0被拒绝，这意味着

c0，于是非平稳单位根过程被随机趋势主导。对应于的DF统计量渐近服从t分布。45上述两种F检验的结论是拒绝零假设H0：c=

=0（对应（2）式），=

=0（对应（3）式）时，分别为c

0，

=0；

0，

=0。被检验的真实过程和检验式具有了相同的形式（非平稳过程且含有确定性成分）。此时称检验为准确检验（exacttest），而利用DF统计量临界值的检验称作近似检验（similartest，含义是可以用t统计量检验）。465.不能拒绝,得出结论为非平稳,否则平稳.注意1.只有当待检验d.g.p.中有非零漂移项（或趋势项），而相应DF（ADF）检验式中也含有漂移项（或趋势项）时，DF（ADF）统计量才渐近服从t分布。比如d.g.p.中不含有趋势项，而相应DF（ADF）检验式中含有趋势项，这意味着应该使用DF分布的临界值。因为一般不敢保证对DF（ADF）检验式的设定完全与d.g.p.形式吻合，所以在实际中使用DF分布的临界值更安全些。482.Banerjee等认为，尽管当DF（ADF）检验式中含有漂移项或（和）趋势项，样本容量T→∞时，使用t分布临界值要好些，但在有限样本条件下，还是使用DF分布的临界值做单位根检验更好些。493.当在检验式中不适当地多加一些确定项（如漂移项，趋势项t等），尽管真实的过程是平稳的，DF检验仍将以更大的概率接受原假设（非平稳），导致DF检验功效降低。4.对于检验式（1）、（2）、（3），DF检验临界值越来越向左移，说明检验式中增加确定项，使临界值变得越来越小（绝对值变得越来越大）。尽管d.g.p.是平稳的，但检验结果却很难拒绝原假设（非平稳）。505.尽管增加多余参数会降低检出平稳序列的功效，当被检验过程的真实形式未知时，仍建议用（3）式（尽量多含确定性项）检验单位根。因为如果检验式中确定项（漂移项或趋势项）不足，将不能把原假设和备择假设的所有情形都包括在假设中。51

DF单位根检验式统计量说明1yt=+t+yt-1+utH0：

=0DF若拒绝H0，yt为平稳过程。检验止。若接受H0，进入下一步，做F检验。2yt=+t+yt-1+utH0：=

=0F若拒绝H0，意味着

0，yt含时间趋势。继续做3a式检验。若接受H0，进一步做3b式检验。3ayt=+t+yt-1+utH0：

=0t若拒绝H0，yt为退势平稳过程。检验止。若接受H0，yt为趋势非平稳过程。检验止。3byt=+yt-1+utH0：

=0DF若拒绝H0，yt为均值为的平稳过程。检验止。若接受H0：

=0，进入下一步检验。4yt=+yt-1+utH0：=

=0F若拒绝H0，意味着

0，yt为随机趋势非平稳过程。继续做5a式检验。若接受H0：=

=0，进一步做5b式检验。5ayt=+yt-1+utH0：

=0t若拒绝H0，yt为平稳过程。检验止。若接受H0，yt为随机趋势非平稳过程。检验止。5byt=yt-1+utH0：

=0DF若拒绝H0，yt为平稳过程。检验止。若接受H0，yt为随机游走过程。检验止。例6.2对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列和生活消费支出对数序列进行检验

例6.2时序图例6.2输入序列的DF检验例6.2输出序列的DF检验ADF检验DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检验。为了使检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，人们对检验进行了一定的修正，得到增广检验（AugmentedDickey－Fuller），简记为ADF检验ADF检验的原理若AR(p)序列有单位根存在，则自回归系数之和恰好等于1ADF检验等价假设检验统计量ADF检验的三种类型第一种类型第二种类型第三种类型依情况1为例,另一种写法ADF检验例6.2续对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数差分后序列和生活消费支出对数差分后序列进行检验

例6.2序列的ADF检验例6.2序列的ADF检验PP检验ADF检验主要适用于方差齐性场合，它对于异方差序列的平稳性检验效果不佳Phillips和Perron于1988年对ADF检验进行了非参数修正，提出了PP检验统计量。PP检验统计量适用于异方差场合的平稳性检验，且服从相应的ADF检验统计量的极限分布

PP检验统计量其中：例6.2续对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数差分后序列和生活消费支出对数差分后序列进行PP检验

例6.2序列的pp检验例6.2序列的PP检验例6.2二阶差分后序列的PP检验5.3

ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

预测值等价形式计算预测值计算置信区间Green函数值方差95％置信区间例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测

疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为

为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为

为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为季节模型简单季节模型乘