半导体中载流子的统计分布

第三章Statisticdistributionofcarrierinsemiconductor半导体中载流子的统计分布●状态密度●费米能级和载流子的统计分布●本征半导体载流子浓度的计算●杂质半导体载流子浓度的计算●简并半导体载流子浓度的计算中心问题：半导体中载流子浓度随温度变化的规律；计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。主要内容：§3.1状态密度一、热平衡状态：产生载流子过程—电子从价带或杂质能级向导带跃迁；载流子复合过程—电子从导带回到价带或杂质能级上。同时有：在一定的温度下，在半导体材料中存在：●●○○产生复合EcEDEv在一定的温度下，产生数=复合数热平衡状态热平衡时载流子浓度决定于两个因素：允许电子存在的量子态是如何按能量分布的，或者说每一个能量E有多少允许电子存在的量子态？→状态密度电子是按什么规律分布在这些能量状态的？→分布函数二、状态密度状态密度:能带中能量E--E+dE之间有dZ个量子态。即状态密度是能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数目半导体的导带和价带中，有很多能级存在，间隔很小，约10-22eV，可以认为是准连续的。波矢k～电子态的关系能量E～电子态的关系能量E～波矢k态密度的计算方法状态密度的计算：通过状态空间即k空间1、理想晶体的k空间的状态密度（1）：一维晶体（一维单原子链）设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶体的长为L=aN，起点在x处axL=a×N

x+L在x和x+L处，电子的波函数分别为φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)满足周期性边界条件:∴∵∴∴（2）.三维晶体小立方的体积为：一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积∴单位k空间允许的状态数为：即：单位k空间体积内所含的允许状态数正比于晶体体积V—k空间的量子态（状态）密度如考虑自旋后，k空间的电子态密度为：任意k空间体积V中所包含的电子态数为：2、半导体导带底附近和价带顶附近的状态密度（1）、极值点k0=0，E(k)为球形等能面(a)导带底球形等能面的半径k：球所占的k空间的体积为：设这个球内所包含的电子态数为Z(E)：能量由E增加到E+dE，k空间体积增加：电子态变化dZ(E)：导带底附近单位能量间隔的电子态数—量子态（状态）密度为：(b)价带顶部EEc1Ev2gc(E)gv(E)状态密度与能量的关系图对Si、Ge、GaAs材料,价带顶有重空穴和轻空穴：称mdp为价带空穴状态密度有效质量令：则：(2)极值点ko≠0,(旋转椭球等能面情况)导带底附近：导带底（不止有一个状态）附近的状态密度为：式中S为导带极小值的个数,即导带底的状态共有S个如，由于对称性，Si：S=6，Ge：S=4令：称mdn导带电子状态密度有效质量如考虑晶体的对称性，取旋转椭球等能面，则存在纵的和横的有效质量：同理，价带顶状态密度：由此可知：状态密度gc(E)和gv(E)与能量成正比，还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。为空穴态密度有效质量gv(E)与gc(E)有相同的形式§3.2费米能级和载流子统计分布1、假设已知导带（价带）中单位能量间隔含有的状态数为gc(E)—导带（价带）的状态密度。2、还有对于多粒子系统应考虑粒子的统计分布：能量为E的每个状态被电子占有的几率为f(E)，即要考虑电子在不同能量的量子态的统计分布。一、载流子浓度的求解思路：在热平衡时，统计分布的概率是一定的。所以，在能量dE内的状态具有的电子数为：f(E)gc(E)dE。整个导带的电子数N为：f(E)?二、费米（Fermi）分布函数与费米能级1、费米分布函数：

电子遵循费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计分布规律。能量为E的一个独立的电子态被一个电子占据的几率为：没有被电子占有的几率为：也就是量子态被空穴占据的几率只要知道EF，在一定温度下，电子在各个量子态上的统计分布就能完全确定！2、费米能级EF的特点：它和温度、导电类型、杂质含量以及能量零点的选取有关。可以由归一化条件决定。即能带内所有量子态被电子占据的量子数应等于电子总数。就是处于热平衡状态下，增加一个电子所引起系统的自由能的增加。在平衡时电子系统有统一的费米能级。EF就是系统的化学势(1)、f(E)与体系所处的温度T直接相关

f(E)EF1/21T＞0k若E＜EF,f(E)＞1/2若E＝EF,f(E)＝1/2若E＞EF,f(E)＜1/2当T=0k时，若E＜EF,f(E)=1若E＞EF,f(E)=0电子占据的界限例子：当量子态的能量比费米能级高或低5kT时：所以，温度高于0k时，能量比费米能级高5kT的量子态被占据的概率为0.7%;量子态几乎是空的；而比费米能级低5kT的量子态被电子占据的概率是99.3%,概率很大，量子态几乎总有电子。一般认为，在温度不高时，能量大于费米能EF的能级基本没有被电子占据；小于费米能EF的能级的量子态基本被电子所占据。费米能级标志了电子填充能级的水平，费米能级位置高说明有较多高能量的量子态有电子。(2)、f(E)与体系费米能EF相关性EFEFEA强p型（a）EFEFEi（b）（c）（d）（e）p型本征n型强n型EFEDEF↑，f(E)↑，高能带中的电子占有几率增加。费米能级的位置标志着电子填充水平的高低三、波尔兹曼（Boltzmann）分布函数1.电子的玻氏分布玻尔兹曼分布可见，此时费米分布几率和波尔兹曼分布几率基本相等。当E－EF＞＞kT时，量子态被电子占据的概率很小，泡利不相容原理失去作用，两种统计结果一样。例如：E－EF=5kT时，对于本征Si:在室温时，kT=0.026ev，0.56/0.026=21.6＞5EcEvEF=EiEg所以，导带中的电子可以用玻氏分布来计算2.空穴的玻氏分布当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的几率很小，即这些量子态几乎都被电子占据。E↑，空穴占有几率增加；EF↑，空穴占有几率下降，即电子填充水平增高。空穴的玻氏分布服从Boltzmann分布的电子系统为非简并系统，相应的半导体是非简并半导体服从Fermi分布的电子系统是简并系统，相应的半导体为简并半导体半导体中一般情况，费米能级在禁带之中，并且与导带底或价带顶底距离远大于kT,所以导带的电子可用玻耳兹曼分布函数。称为非简并半导体满足：四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度本征激发－本征载流子的产生：空穴电子成对产生如何算出两种载流子的浓度?1、导带电子浓度no和价带空穴浓度po（1）.电子浓度no

在能量E→E+dE间隔内的电子数dN为：dN=fB(E)gc(E)dE所以，整个导带的电子数N为：分布函数态密度引入：利用积分公式：

简化计算一般，导带宽度为1到2eV，当T=500K,kT=0.043eV,1/0.043=23,在积分的被积函数随x增大而迅速减小。积分上限取不影响结果。物理上讲，导电电子主要集中在导带的底部。电子占据导带底Ec

的几率令：——

导带有效状态密度所以：导带电子浓度（2）.空穴浓度po价带中的空穴浓度为：其中——

价带的有效状态密度在室温时,常用半导体的导带、价带有效状态密度为：Nc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019

Ge 1.04×1019

6.1×1018

GaAs 4.7×10177×1018

2、影响no和po

的主要因素：（1）mdn和mdp的影响－－材料本征的影响电子空穴三个因素：m,T,EF（2）温度T的影响NC、NV～Tf(EC)

～T①

有效状态密度Nc、Nv～TT↑，NC、NV↑no、po↑②占据EC、EV的几率f函数与T有关T升高，几率增大

温度升高，本征激发加剧，有更多的电子和空穴产生（3）费米能级EF位置的影响●EF→EC，EC-EF↓，no↑－－EF越高，电子的填充水平越高。●EF→EV，EF-EV↓，po↑－－EF越低，电子的填充水平越低。费米能级的高低取决于材料，温度与杂质3、载流子浓度积（1）对于一定材料，n0p0只决定于温度T，和杂质及费米能级无关；（2）当温度T一定时，不同材料因禁带宽度Eg不同，不同的有效质量，

n0p0不同。与杂质无关⑵影响因素（1）对于一定材料，n0p0只决定于温度T，和杂质及费米能级无关；（2）当温度T一定时，不同材料因禁带宽度Eg不同，不同的有效质量，

n0p0也不同。§3.3本征半导体的载流子浓度在T≠0,热平衡态下，电子和空穴成对产生，半导体是电中性的，即：n0=p0两式相等一、本征半导体的费米能级EFn0和p0?即得到：Ei为禁带的中心能级将NC、NV代入上式：Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo例如：室温时，kT=0.026evEF－Ei=－0.008eV（和带隙Eg相比很小）所以，一般温度下，Si、Ge、GaAs等本征半导体的EF近似在禁带中央Ei，只有温度较高时，EF才会偏离Ei。(Eg)Ge=0.67ev∴EF≈Ei对Si、GaAs一样，EF≈Ei特例：对InSb，Eg=0.17ev,mdp/mdn

约为32，EF≠Ei，费米能级远在禁带中线之上。二、本征载流子浓度及影响因素可以见到：（1）、温度一定时，Eg大的材料，ni小；（2）、对同种材料，ni随温度T按指数关系上升。1、本征载流子浓度ni代入h和k0的数值，引入电子惯性质量m0通过实验测量很宽温度范围的本征载流子浓度，可以得到Ge、Si、GaAs的Eg(0)为0.78ev、1.21eV、1.53eV，和光学方法测定数值吻合。2、一般半导体载流子浓度积与ni关系实际上，半导体中总是存在一定的杂质和缺陷的。但两种载流子的浓度积关系还成立。Note:ni是半导体材料的本征载流子浓度，是温度的函数，和杂质类型、浓度无关！3、本征半导体在应用上的限制⑴纯度达不到如果要求本征激发是载流子的主要来源，在室温下杂质原子全部电离。即：杂质原子/总原子＜＜本征载流子/总原子Si：原子密度1023/cm3，在表中可查到：室温时，ni=1010/cm3本征载流子/总原子=1010/1023=10-13大于杂质原子/总原子Si的纯度必须高于99.9999999999999%不可能！⑵本征载流子浓度随温度变化很大，随温度升高而迅速增加，强烈的温度相关性在室温附近：Si:T↑，8Kni↑

一倍Ge:T↑，12Kni↑

一倍有意掺杂的半导体才是材料的主体例题1、已知硅在常温下的NC=2.8×1019cm-3,Nv=1.2×1019cm-3,Eg=1.12ev,试计算si半导体在常温下本征载流子浓度2、若两块Si样品中常温下的电子浓度分别为2.25×1010cm-3和6.8×1016cm-3，试分别求出其中的空穴的浓度，并判断样品的导电类型§3.4杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴杂质能级

最多只能容纳一个某个自旋方向的电子。在杂质半导体的未电离的施主杂质或已电离的受主杂质的杂质能级上被电子所占据。但杂质能级上的电子占据几率不能用费米分布函数来分析研究，能带中的能级可以容纳自旋相反的两个电子，而对于杂质能级有：可以严格证明，杂质能级上电子占据的几率为：电子占据施主能级ED的几率:空穴占据受主能级EA的几率:对于Si、Ge中掺入Ⅴ

族杂质，四个价电子束缚在共价键上，第五个价电子可以取任意一方向的自旋，即二度自旋简并，故gD=2。但对于价带，gA=4，同时，实验已证明，Ge中Ⅲ族杂质所引起的受主能级情况的确取gA=4。在本课程中，为了便于讨论，简度取2，即简并因子为1/2.若施主浓度和受主浓度分别为ND、NA(杂质的量子态密度），所以施主能级上的电子浓度nD为：—

即未电离的施主浓度所以，电离的施主浓度nD+为：同理，没有电离的受主浓度pA为：电离的受主浓度pA-为：

结论分析：杂质能级和费米能级的相对位置反映了电子和空穴占据杂质能级的情况。●ED－EF＞＞kTnD→0，nD+→ND，施主几乎全电离费米能级远在杂质能级之下EcEvEFEDN型杂质半导体●EF=ED费米能级和杂质能级重合施主杂质有1/3电离●EF－ED＞＞kTnD→ND，nD+

→0，施主几乎都未电离费米能级远在杂质能级之上EcEvEFEDN型杂质半导体所以，相对于杂质能级ED

，费米能级EF低时，施主全电离；EF高时，施主未电离.受主相反，EF低时，受主未电离；EF高时，受主全电离。EF→杂质的电离→导带电子或价带空穴内在联系如何定量计算杂质半导体的载流子浓度？二、杂质半导体载流子浓度和费米能级在杂质半导体中的带电粒子四种，即：电子、空穴、电离的施主和电离的受主在半导体体内应保持电中性，由此可得：no+pA-=po+nD+→（6）假设只含一种施主杂质。在热平衡条件下，半导体是电中性的：1、n型半导体的载流子浓度n0=p0+nD+（7）关键是求费米能EF

上式解析求费米能是困难的。当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化。Note:

杂质电离在低温下就不可忽略，在室温时，几乎全部电离达到饱和；而本征激发在室温下，一般还比较弱，但随温度升高而迅速增大！1、杂质电离区，多子几乎完全是由杂质电离提供；2、过渡区，本征激发不可忽视，数量级上与杂质相当；3、本征激发区，本征激发所产生的载流子至少比杂质电离要高一个数量级。推导定量公式根据温度变化，把温度分为三个区域：（1）、杂质电离区特征：本征激发可以忽略，p0≌0,

导带电子主要由电离杂质提供。三个温区（a）低温弱电离区：很少量施主杂质电离，本征激发可以忽略，即导带中的电子全部由电离施主杂质提供。所以根据电中性条件（9）式得到：电中性条件

n0=p0+nD+

可近似为

n0=nD+（9）本征激发提供

特征：nD+《ND，弱电离，少量施主杂质电离ED在EF

上，但很接近低温弱电离区的费米能级，与温度、杂质浓度以及杂质原子的种类有关。所以，低温时，费米能级位于导带底和施主能级的中线处。EcEiETNc=0.11ND把费米能公式（12）对温度求微商：N型半导体在低温电离时，费米能级随温度变化。在Nc=0.11ND，有一个极大值。杂质含量越高，费米能达到极大值的温度也越高！得到低温弱电离区的载流子浓度为：电离能结果分析:2、由于，所以在温度很低时，载流子浓度随温度升高，no

呈指数上升。1、在温度很低时，3、为一条直线，可求出杂质电离能△ED

。实际的应用杂质能级位置(b)中间弱电离区：本征激发仍略去，随着温度T的增加，nD+已足够大，故直接求解方程（8）求费米能很繁琐，用得不多！在中间电离区，温度继续升高时，但2NC＞ND结果定性讨论：式（12）的第二项为负值，这时EF

下降到(EC+ED)/2以下，但温度升高到，使得EF=ED则：施主杂质有1/3电离由式（8）得：EcEvEFEDN型杂质半导体中间电离区特征：杂质基本全电离

nD+≌ND

电中性条件简化为

n0=ND

（18）（c）强电离区（饱和电离）：这时，在一般的掺杂浓度下，NC＞ND上式第二项为负值温度一定时，

ND越大，EF

就越向导带方向靠近。ND一定时，温度越高，费米能级减低，向本征费米能级Ei

方向靠近。注：强电离与弱电离的区分：把求得的费米能式EF（19）代入上式得：求出未电离浓度：定义：所以：：为（1－离化率）是10％可认为施主杂质全部电离①当温度升高时、D-小，电离程度增强②当ND当减小，D-小，电离程度增强③当△ED减小，D-小，电离程度增强Eg.

掺P的n型硅，室温时：可由式：全部电离时杂质浓度上限等于：硅的本征载流子浓度为：所以，室温时，P的掺杂范围1、对于某n型半导体，试证明其费米能级在其本征半导体的费米能级之上。即EFn>EFi证明：设nn为n型半导体的电子浓度，ni为本征半导体的电子浓度。显然

nn>ni2、两块半导体Si室温下电子浓度分布为，（NC=3*1019cm-3，NV=1*1019cm-3，ni=1010cm-3，ln3000＝8,）则（1）、计算半导体的空穴浓度（2）、画出半导体的能带图（3）、计算出半导体的费米能级的位置（要求n型半导体求EC－EF）

(2)、过渡区：特征：（1）杂质全电离

nD+=ND

（2）本征激发不能忽略电中性条件：

n0=ND+p0处于饱和区和完全本征激发之间，导带的电子有本征激发的贡献，同时价带中有一定量的空穴。∴

本征激发时：∵

no

＝po＝ni

及EF=Ei

，∴

同理可得：∴

代入由电中性条件式（22）可得：所以，T一定时，材料的本征载流子浓度ni和杂质浓度ND

已知，可算得（EF-Ei

）。当ND/(2ni)很小时，EF接近Ei

半导体接近本征激发。当ND/(2ni)增大，向饱和电离区接近。解上面方程（22）和（23），消去其中，的有一根无用结果