计算方法-数值积分b

5.3复合求积

/*CompositeQuadrature*/高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

复合求积公式。复合梯形公式在每个上用梯形公式：=

Tm将[a,b]区间m等分，步长h=(b-a)/m，分点xk=a+kh,k=0,1,…,m。用低阶牛顿—柯特斯公式求子区间[xk,xk+1]上的积分值，再累加得到积分的近似值。思路复合公式的余项？5.3CompositeQuadrature复化Simpson公式44444=

Sm复化Cotes公式Cm

若f(x)在积分区间[a,b]上分别具有二阶、四阶和六阶连续导数，则复化积分公式的余项分别是

定理其中，ξ∈[a,b]，且当h充分小时，又有5.3CompositeQuadrature证这里考察复化梯形公式的余项公式，其余由同学们自己完成。因此中值定理

由余项公式可以看出，只要相关的各阶导数在积分区间上连续，则当m→∞(即h→0)时，Tm，Sm，Cm都收敛于积分真值，而且收敛速度一个比一个快。另有由于在[a,b]上连续，故每个小区间上的积分使用梯形公式时，有误差为5.3CompositeQuadrature收敛速度与误差估计：若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p

阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同定义5.3CompositeQuadratureQ:给定精度，如何取m?例如：要求，如何判断m=？上例中若要求，则即：取m=409通常采取将区间不断二分的方法，即取m=2k需计算导数不实用重复计算函数值不经济5.3CompositeQuadrature5.4龙贝格积分

/*RombergIntegration*/梯形法的递推化积分区间[a,b]m等分的复化梯形公式是

如果把区间2m等分，即在原来的小区间[xk,xk+1]上增加分点xk+1/2=(xk

+xk+1)/2，变为两个小区间。于是有

把(T2m-Tm)/3作为误差的修正值加到T2m上去，得到龙贝格算法5.4RombergIntegration

上式的精度完全有可能比T2m好。考察例：计算，检验上述论断。

mhTmTmSm113.1—3.133333320.53.13117653.13333333.141568640.253.13898853.14156863.141592580.1253.14094163.1415925306253.14142993.14159265—Sm

T2m=?T2m证明Tm=Sm同理，考察=Cm因此还有Romberg公式5.4RombergIntegration

Romberg

算法：………………

R4

T1

T8

T4

T2

S1

S2

C1

R1

C2

S411

T1614

R213

C412

S8梯形递推化公式Romberg公式5.4RombergIntegration

5.5高斯型积分

/*GaussianQuadrature*/用n+1个节点构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn

以及系数A0…An

都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。例：求的2点求积公式有

次代数精度。解：限定求积节点x0=-1,x1=1，得到插值型求积公式

1用解非线性方程组求高斯点的方法很困难！如果设，我们对式中的系数A0,A1和节点x0,x1不事先加以限制，而是适当地选其值，可使所得的公式有3

次代数精度。+1-11100)()()(xfAxfAdxxf代入f(x)=1,x,x2,x3,要求准确成立，得到5.5GaussianQuadrature从而有称之为2点Gauss公式，具有3次代数精度。

构造具有2n+1次代数精度的n+1点Gauss公式?如果式中x0…xn

为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。对任意次数不大于n

的多项式P(x)，P(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0

x0…xn

为Gauss点的充要条件是

与任意次数不大于n

的多项式P(x)正交，即成立定理利用区间[a,b]上的n+1次正交多项式确定Gauss点；然后利用代数精度确定求积系数。作一个n+1次的多项式

求Gauss点

求w(x)5.5GaussianQuadrature高斯—勒让德求积公式/*Gauss-Legendre

公式Legendre多项式族：定义在[1,1]上递推公式

Legendre多项式Pn(x)对于任意n-1次的多项式在[-1,1]上正交。

定理5.5GaussianQuadrature

Legendre多项式Pn(x)对于任意n-1次的多项式在[-1,1]上正交。

定理证明：令有00=0k次勒让德多项式的k个零点就是k个高斯点，用来构造k点高斯—勒让德求积公式。详见教材P.140表5.1若Q(x)是次数小于n的多项式，则恒有Q(n)(x)=05.5GaussianQuadrature高斯—勒让德求积公式n=0:一点公式中矩形公式?解：作变量替换x=1/2+t/2本题可以不作变量替换:例用四点高斯—