第七讲：平面立体的投影及其截切

第五章平面立体平面立体的投影；平面立体的表面定点和取线。平面立体的截切2/1/202315.1平面立体的投影及面上取点、取线基本立体组合体底面为多边形棱柱棱锥锥顶平行四边形由一个底面和几个棱面组成。由两个底面和几个棱面组成。2/1/20232平面立体的放置同一物体因其摆放位置的不同，可绘制出不同的投影图。2/1/20233直棱柱的投影特性:

一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。绘制平面立体中所有轮廓线（棱线及边）的投影,不可见的线用虚线表示。长对正宽相等高平齐VHW——物体的投影规律每一个投影图中，均包含立体的所有几何元素。2/1/20234棱锥的投影特性:

一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。2/1/20235点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点、取线与在平面上取点、取线的方法相同。一、棱柱1、棱柱的三面投影图的绘制2、棱柱面上取点、取线

aa

a

(b)b

b在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在水平投影中反映实形。前后两棱面是正平面，其余四个棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。2/1/20236(

)

s

s二、棱锥1、棱锥的三面正投影图的绘制2、在棱锥面上取点、取线

kk

k

b

a

cabc

a(c)bsn

n

n同样采用平面上取点法。棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在水平投影上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。SABC2/1/202371、由点的已知投影及其可见性确定点所在位置;2、利用积聚性或平面上取点的方法求另一投影;3、根据两已知投影求第三投影，并判断可见性。棱柱或棱锥面上取点的步骤:2/1/20238三、棱台特点：底面——多边形，且对应边互相平行；棱线——互不平行，但延长后交于一点；棱面——梯形。2/1/20239四棱台的投影如下图示2/1/202310基本概念截切：是指用一个或多个平面与立体相交。截平面

——用以截切立体的平面。截交线

——截平面与立体表面的交线。截（断）面——由截交线围成的平面图形。5.2平面立体的截切截平面截交线截面截交线截交线的性质：截交线是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与立体表面（棱面或底面）的交线，其边数是截平面截到的表面的个数。其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。2/1/2023111.单一平面截切平面立体,截交线在一个截平面内；2.多个平面截切平面立体,截交线在多个截平面内，这时相邻截平面之间还有交线，应准确求出。一、平面截切的基本形式截交线的每条边是截平面与立体表面的交线。求截交线的实质是求两平面的交线重点讨论的问题：截交线的分析和投影作图

。2/1/202312确定截交线的形状二、平面截切体的画图⒈

求截交线的方法：关键是正确地画出截交线的投影。⒉求截交线的作图步骤：☆截平面与立体的相对位置☆截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性★空间及投影分析★画出截交线的投影分别求出各棱线与截平面的交点，并连接成多边形。或分别求出截平面与棱面的交线。★求各棱线与截平面的交点→棱线法。★求各棱面与截平面的交线→棱面法。2/1/202313例1:求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空间分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影★检查尤其注意检查截交线投影的类似性。截平面与体的几个棱面相交？截交线水平、侧面投影上的形状？单一平面截切平面立体2/1/202314我们采用的是哪种解题方法？棱线法！例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。2/1/202315

注意：1、要逐个截平面分析和绘制截交线。2、当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。例2：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。121(2)2●1●Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。三面共点：补画棱线两个平面截切平面立体2/1/202316例2：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。我们采用的是哪种解题方法？棱面法！2/1/202317练习

求立体切割后的投影。23

541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）两个平面截切平面立体2/1/202318类似形类似形ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ23

541166543262（3）4（5）练习

求立体切割后的投影。2/1/202319例3:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。Pv截交线的形状？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ15432876截交线的投影特性？2≡3≡6≡71≡84≡5求截交线154763281、补画棱柱未截切时的水平投影；2、求棱线与截平面的交点；3、判断可见性，顺序连接各点。分析棱线的投影检查截交线的投影单一平面截切平面立体加深图线。2/1/202320例3:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。作图步骤:1、画出棱柱未截切时的投影；2、求棱线与截平面的交点；3、判断可见性,顺序连接各点；4、确定截切后各棱线的长度；5、用投影的对应关系检查截交线的投影；6、加深图线。2/1/202321多个平面截切平面立体空间分析

1、三个平面截切棱台，分别为水平面和两侧平面。2、多个平面截切立体时，截平面之间在立体内部产生交线。作图1、先假想水平面将棱台完全截开，求得水平投影，再在其上确定真正截到的部分。(c")d"(b")a"2、补出侧面投影，求出侧面投影的截交线。3、补全并加深所有棱线。abdc例4：补全水平投影，作出侧面投影。2/1/202322(c")d"(b")a"abdc多个平面截切平面立体空间分析

1、三个平面截切棱台，分别为水平面和两侧平面。2、多个平面截切立体时，截平面之间在立体内部产生交线。作图1、先假想水平面将棱台完全截开，求得水平投影，再在其上确定真正截到的部分。2、补出侧面投影，求出侧面投影的截交线。3、补全并加深所有棱线。例4：补全水平投影，作出侧面投影。2/1/202323

例:求立体截割后的投影。87

111"2"10"5"96

1（3）

2（4）

10

5ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ7"11"8"

4"3"6"9"三个截平面截切平面立体

1'（2'）8'3'（4'）

10'（5'）9'

11'（6'）（7'）2/1/202324例：求立体截割后的投影。2/1/202325平面立体的投影图画法及面上找点、取线的方法。（画平面立体的投影图就是画平面立体中所有棱线的投影,不可见的棱线用虚线表示.平面立体表面找点，利用平面上找点的方法。）棱柱的投影特性、投影图画法及其面上取点、取线的方法；棱锥的投影特性、投影图画法及其面上取点、取线的方法。本讲小结:重点掌握以下内容2/1/202326注意分析平面体的棱线的投影。⑵分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性。⒉求截交线求截交线的解题方法与步骤⒈空间及投影分析⑴分析截平面与被截立体的相对位置，以

确定截交线的形状。注意:当立体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。当只有局部被截切时，先按整体被截切求出截交线，然后再取局部。

最后分析、整理平面体的棱线的投影。截交线的有关概念、性质等。（截交线是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线，其边数是截平面截到的棱面的个数。）求截交线的方法：棱线法、棱面法2/1/202327例5:求立体切割后的投影。431265ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ114565234（6）（2）（3）单一平面截切平面立体2/1/202328例5:求立体切割后的投影。4312114565234（6）（2）（3）ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ类似形类似形652/1/202329例: