第三讲 定点、定值、最值问题

第三讲定点、定值、最值问题【主干知识】1.几个重要问题(1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题.(2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.(3)最值问题的两大求解策略:解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法:用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法:将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.2.重要结论(1)直线与圆锥曲线相交的问题,牢记“联立方程,把要求的量转化为根与系数的关系”.(2)有关弦长问题,牢记弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要牢记圆锥曲线定义的运用,以简化运算.(3)涉及弦中点的问题,牢记“点差法”是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法.(4)求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量”.不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等.(5)牢记曲线f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ为参数)过曲线f1(x,y)=0与f2(x,y)=0的交点.3.易错提醒(1)忽略判别式致误:在解决直线和曲线的相交问题时,要考虑Δ≥0,否则易出现错误.(2)不能正确区分变量:在处理定点、定值问题时,要分清变量与常量,选择正确的消元方向.【考题回顾】1.(2013·重庆高考)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(

)【解析】选A.由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，所以渐近线斜率满足,解得<e≤2.故选A.2.(2014·潮州模拟)已知P(x,y)为椭圆C：上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足=1且=0，则的最小值为（）【解析】选A.由椭圆上一点P（x,y）满足=0知PF2=PM2+FM2，要求的最小值，又|FM|=1，即需求PF的最小值，由题意可知椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c，即为2.所以的最小值为.故选A.3.(2014·茂名模拟)动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点

.【解析】抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x+2=0,故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离,所以F在圆上,所以动圆必过点(2,0).答案:(2,0)4.(2014·安徽高考)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2.(2)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.【解析】(1)由题意设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x（k1,k2≠0），则由由同理可得所以(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，所以△A1B1C1相似于△A2B2C2，因此,又由(1)中的知故热点考向一定点的探究与证明问题【考情快报】难度:中、高档命题指数:★★☆题型:以解答题为主考查方式:常以直线、圆锥曲线为载体,结合其他条件,探究直线或曲线过定点,试题的设计一般含有一个或两个参数,考查转化与化归思想的应用【典题1】(1)(2014·中山模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=4x上的两个动点,O是坐标原点,=0,则直线AB过定点

.(2)已知椭圆C的焦点为且椭圆C的下顶点到直线x+y-2=0的距离为①求椭圆C的方程;②若一直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B(A，B不是椭圆C的顶点)两点,以AB为直径的圆过椭圆C的上顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.【信息联想】(1)看到=0及A（x1,y1）,B（x2,y2）,想到__________.(2)看到下顶点到直线x+y-2=0的距离为，想到____________________.x1x2+y1y2=0点到直线的距离公式【规范解答】(1)因为=0,所以x1x2+y1y2=0，y1y2=-16，当x1≠x2时，kAB=AB方程为当x1=x2时，x1=x2=4,即直线AB方程为x=4，过点（4，0）.答案：（4，0）(2)①因为椭圆C的焦点为故设椭圆C的方程为由题意得,解得b=1.所以a=,所以椭圆C的方程为②设椭圆C的上顶点为Q（0,1）,由消去y得即因为直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点,所以即3k2-m2+1＞0.设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则所以因为以AB为直径的圆过椭圆C的上顶点Q（0,1）,所以AQ⊥BQ,所以x1x2+（y1-1）（y2-1）=0,即x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0,所以化简得2m2-m-1=0,所以m=1或m=-.当m=1时,直线l:y=kx+1过定点Q（0,1）,与已知矛盾;当m=-时,满足3k2-m2+1＞0,此时直线l:y=kx-过定点（0,-）,所以直线l过定点（0,-）.【互动探究】若本例(1)中抛物线方程为y2=2px（p>0），且弦AB的中点到直线x-2y=0的距离的最小值为且=0，求抛物线的方程.【解析】设AB中点C（x,y）,则若中点C到直线x-2y=0的距离为d,则所以当y1+y2=2p时，d有最小值,由题设得所以p=2,此时抛物线方程为y2=4x.【规律方法】动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线C过定点问题,解法:引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.【变式训练】(2014·威海模拟)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的焦距为2，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ=．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．(1)求椭圆E的方程.(2)设点A是椭圆E的左顶点，P,Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP,AQ的斜率之积为-，问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．【解析】(1)由双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的焦距为，可得：c=，由tanθ=可得：，结合a2+b2=c2，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆E的标准方程为(2)在(1)的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，又A（-2,0），由题意知则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠-2.则x1x2+2(x1+x2)+4+4(kx1+m)(kx2+m)=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4则m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(m+k)=0,所以m=2k或m=-k.当m=2k时,直线PQ的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2).此时直线PQ过定点(-2,0),显然不适合题意.当m=-k时，直线PQ的方程为y=kx-k,即y=k(x-1),此时直线PQ过定点(1，0).当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1，0)，P，Q点的坐标分别为，满足综上，直线PQ过定点(1，0).【加固训练】已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,其左、右焦点分别为F1，F2,点P是椭圆上一点,且=0,|OP|=1(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程.(2)过点S(0,-)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.【解析】(1)因为,所以,即a=c.因为=0,所以PF1⊥PF2,所以|OP|=|F1F2|=c；又因为|OP|=1,所以c=1,所以a=,b=1.因此所求椭圆的方程为(2)动直线l的方程为y=kx-,由得设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则假设在y轴上存在定点M（0,m）满足题设,则由假设得对于任意的k∈R,=0恒成立,即解得m=1.因此,在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点,点M的坐标为（0,1）.热点考向二定值的探究与证明问题【考情快报】难度:中、高档题命题指数:★☆☆题型:以解答题为主考查方式:主要考查圆锥曲线的定义及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,常与一元二次方程、函数等知识形成交汇问题.考查数形结合思想、转化与化归思想.【典题2】(2014·江西高考)如图，已知双曲线C:=1(a＞0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程.(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，证明点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.【信息联想】(1)看到双曲线=1(a>0),想到_____________________.(2)看到AB⊥OB，想到_______________________________________________________________________.(3)看到BF∥OA，想到_________________________________________.双曲线的焦点在x轴上直线AB，OB的斜率互为负倒数或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在直线BF，OA的斜率相等且在y轴上的截距不等【规范解答】(1)设F（c,0），因为b=1，所以c=，直线OB的方程为y=-，直线BF的方程为解得又直线OA的方程为y=x，则又因为AB⊥OB,所以解得a2=3,故双曲线C的方程为(2)由(1)知a=,则直线l的方程为即因为直线AF的方程为x=2，所以直线l与AF的交点直线l与直线的交点为则因为P(x0,y0)是C上一点，则代入上式得则所求定值为【规律方法】求解定值问题的两大途径(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.【变式训练】(2014·深圳模拟)已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点，且kOAkOB=-试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解析】(1)由题意得：，所以即，又因为所以a2=4，b2=3，故椭圆的方程为(2)设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，Δ=（8mk）2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即3+4k2-m2＞0.【加固训练】(2014·武威模拟)已知圆心为F1的圆的方程为(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圆F1上的动点,F2C的垂直平分线交F1C于M.(1)求动点M的轨迹方程.(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交M的轨迹于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得：|MF2|=|MC|.由，所以，所以.所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点，以为长轴长的椭圆.由c=2，a=，得b=2.故动点M的轨迹方程为(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），由得：（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l的斜率不存在时，得此时k1+k2=4.综上可知：k1+k2=4.热点考向三与圆锥曲线有关的范围与最值问题【考情快报】高频考向多维探究难度:中、高档题命题指数:★★★题型:以解答题为主考查方式:主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质,考查转化与化归思想的应用,常常与函数、导数、不等式交汇命题.命题角度一

与圆锥曲线有关的范围问题【典题3】(2014·肇庆模拟)已知椭圆C的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C上任意一点,且|PF1|·|PF2|的最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于两点A,B，满足

(O为坐标原点)，当时，求实数t的取值范围．【现场答案】【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出正确答案.提示:以上解题过程中出错之处是第(1)问没有指出等号成立的条件;第(2)问中忽略了判别式大于零这一条件导致结果出错.【规范解答】(1)由抛物线y2=4x的准线是x=-1,得椭圆C的一个焦点是F1(-1,0),即c=1.由椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|=a时取等号.所以a2=2,b2=a2-c2=1,因此椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知：直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则其方程为y=k（x-2）.由消去y得Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0,解得：k2＜.设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x,y），则因为，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x,y）.所以因为点P在椭圆上，所以整理得：16k2=t2（1+2k2）,又因为所以所以所以化简得：56k4+38k2-13＞0，即（4k2-1）（14k2+13）＞0，所以，又因为16k2=t2（1+2k2）,所以因为

，所以故所求实数t的取值范围是或命题角度二

与圆锥曲线有关的最值问题【典题4】(2014·汕头模拟)已知椭圆C的方程为

=1(m>0),如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,0),B(0,1),C(2,1).(1)求椭圆C的离心率.(2)若椭圆C与△ABC无公共点,求m的取值范围.(3)若椭圆C与△ABC交于不同两点,分别为M,N,求△OMN面积S的最大值.【信息联想】(1)看到离心率,想到___________.(2)看到椭圆C与△ABC无公共点,想到______________________________________.(3)看到椭圆C与△ABC交于不同两点,想到_________________________________________________________.离心率公式椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内可能椭圆恰好过A,B,或M,N在线段AB上或M,N分别在线段BC,AC上【规范解答】(1)由已知可得，a2=4m2,b2=m2，所以即椭圆C的离心率为

.(2)由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点.①当椭圆C在直线AB的左下方时，将AB：x+2y-2=0即x=2-2y代入方程整理得8y2-8y+4-4m2=0,由Δ<0即64-32（4-4m2）<0解得0<m<,所以由椭圆的几何性质可知当0<m<时，椭圆C在直线AB的左下方.②当△ABC在椭圆内时，当且仅当点C（2，1）在椭圆内,所以可得<1,又因为m>0，所以m>,综上所述，当0<m<或m>时，椭圆C与△ABC无公共点.(3)由(2)知当时，椭圆C与△ABC交于不同的两点M,N,又因为当m=1时，椭圆C的方程为=1，此时椭圆恰好过点A，B.所以①当<m≤1时，M,N在线段AB上，显然，此时S≤S△OAB=1,当且仅当M,N分别与A,B重合时等号成立.②当1<m<时，点M，N分别在线段BC，AC上，易得所以S=S矩形OACB-S△OBM-S△OAN-S△MNC令t=,则0<t<1,所以S=-t2+1<1，综上可得面积S的最大值为1.【规律方法】1.与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法(1)数形结合法:根据待求值的几何意义,充分利用平面图形的几何性质求解.(2)构建函数法:先引入变量,构建以待求量为因变量的函数,再求其最值,常用基本不等式或导数法求最值(注意:有时需先换元再求最值).2.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求解.(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.【变式训练】(2014·广州模拟)已知椭圆C：

(a>b>0)，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点(3，1).(1)求椭圆C的标准方程.(2)若A1,A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且k∈，求直线A2Q斜率的取值范围.(3)若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值.【解析】(1)故椭圆C的方程为(2)设A2Q的斜率为k′,设点Q（x0,y0）,则所以及则所以<k′<1，故A2Q斜率的取值范围为(3)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,则有由椭圆定义，有|QF1|+|QF2|=2a=4,所以cos∠F1QF2的最小值为-.(当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2取得最小值)【加固训练】(2014·福州模拟)已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2),以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1),记M,N为圆C2与x轴的两个交点.(1)求抛物线C1的方程.(2)当圆心C2在抛物线上运动时,试判断|MN|是否为一定值?请证明你的结论.(3)当圆心C2在抛物线上运动时,记|AM|=m,|AN|=n,求

的最大值.【解析】(1)由已知，设抛物线方程为x2=2py,由抛物线C1经过点P（2，2）得22=2p×2,解得p=1.所求抛物线C1的方程为x2=2y.(2)方法一：设圆心圆C2的半径圆C2的方程为令y=0,得x2-2ax+a2-1=0,得x1=a-1,x2=a+1.|MN|=|x1-x2|=2（定值）.方法二：设圆心C2（a,b），因为圆过A（0，1），所以半径因为圆心C2在抛物线上，a2=2b,且圆被x轴截得的弦长(3)由(2)知，不妨设M（a-1,0）,N（a+1,0）,当且仅当a=±时等号成立，故的最大值为.