第4节 空间曲线及其方程

第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程301学习指导教学目的：了解空间曲线及其方程的概念，了解空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影等概念。基本练习：能绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形。会求交线在坐标面上的投影。注意事项：绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础，从本节开始到本章第六节都应注意进行这方面的练习。302一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线.设曲线C是曲面S1与S2的交线,

因此,曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫做空间曲线C的一般方程.则点P在曲线C上当且仅当点P的坐标满足方程组S1

F(x,y,z)=0,

S2

G(x,y,z)=0,

而曲面的方程分别为303

例1

方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy

面上的圆,圆心在原点O,半径为1.方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面,由于它的准线是zOx面上的直线,因此它是一个平面.方程组所表示的是上述平面与圆柱面的交线.解304例2

方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.305二、空间曲线的参数方程

当给定时,就得到C上的一个点

随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组叫做空间曲线的参数方程.

将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.306都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立例3如果空间一点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中其参数方程.解

取时间t为参数.设当时,处.经过时间t,动点由A运动到

动点位于x轴上的一点

h307记M在xOy面上的投影为

,

的坐标为

由于动点在圆柱面上以角速度

绕z轴旋转,所以经过时间t,从而由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,所以308因此螺旋线的参数方程为也可以用其他变量作参数;例如令,则螺旋线的参数方程可写为

这里

,而参数为

309螺旋线是实践中常用的曲线.例如,平头螺丝钉的外缘曲线就是螺旋线.当我们拧紧平头螺丝钉时,它的外缘曲线上的任一点M,一方面绕螺丝钉的轴旋转,另一方面又沿平行于轴线的方向前进,点M就走出一段螺旋线.螺旋线有一个重要性质:当从

变到时,z由

变到

特别是当转过一周,即

时,M点就上升固定的高度.这个高度在工程技术上叫做螺距.

这说明当转过角

时,M点沿螺旋线上升了高度

即上升的高度与

转过的角度成正比.

,3010三、空间曲线在坐标面上的投影投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线,

或简称投影.类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影.投影柱面与投影(曲线)

以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面投影曲线3011投影(曲线)的确定

设空间曲线C的一般方程为方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x,y的方程

H(x,y)=0,

曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为

这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.投影柱面投影曲线3012

例4

已知两球面的方程为x2+y2+z2=1和x2+(y-1)2+(z-1)2=1,求它们的交线C在xOy面上的投影方程.

解

x2+y2+z2-2y-2z-1,

将x2+y2+z2=1代入得

1-2y-2z-1,即y+z=1.将z=1-y代入方程x2+y2+z2=1,得

x2+y2+(1-y)2=1,即x2+2y2-2y=0.方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化为两球面的交线C在xOy面上的投影方程为这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程.

3013由两个方程消去z得到

解

x2+y2=1.这是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面.

因此,交线C在xOy面上的投影曲线为所求立体在xOy面上的投影就是xOy面上圆x2+y2=1所围的部分:

x2+y21.x2+y21成立体在xOy面上的投影.

例5

3014又如,所围的立体在xoy

面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy

面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy

面上的投影曲线所围之域.3015以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：3016如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面3017类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线3018例4

求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在面上的投影为3019所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面上，3020截线方程为解如图,30213022补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面30231、空间曲线的一般方程、参数方程：四、小结2、空间曲线在坐标面上的投影：3024作业P37：