第三章-二维随机变量及其概率分布

第三章二维随机变量及其概率分布二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量及其分布律二维连续型随机变量二维随机变量的边缘分布与条件分布从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.3.1二维随机变量及其分布函数

3.1.1多维随机变量到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.一般地,如果向量的值由随机试叫做维随机向量或维随机变量.

以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.验结果而定，则称X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的联合分布函数。定义1设是二维随机变量,3.1.2二维随机变量的联合分布函数将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释随机点落在矩形域内的概率为4.k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律k=1,2,…定义2的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的联合分布律。3.2二维离散型随机变量也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.二维离散型随机变量的联合分布律具有性质解例1：一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，无放回取球两次，以X、Y分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，写出(X,Y)的联合概率分布。所以(X,Y)的联合概率分布律为：设X及Y

分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，则有联合概率函数：2

i+j

4.

解:其中i=

0、1、2、3；j=

0、1、2、3、4；10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。从例2：中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：000300200100043210XY

例3设事件A，B满足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2，P(B|A)=1/2.记X，Y分别为一次试验中A，B发生的次数，求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P{X=0,Y=0}P{X=0,Y=1}

=1/8P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8P{X=1,Y=0}P{X=1,Y=1}=1/8故联合分布律为：函数称为二维一维连续型随机变量XX的概率密度函数定义3对于二维随机变量的分布函数则称是连续型的二维随机变量,（X,Y)的联合密度函数,随机变量3.3二维连续型随机变量存在非负的函数如果任意有使对于或联合概率密度.（X,Y）的联合概率密度的性质:在f(x,y)的连续点,常见两种分布：1.均匀分布：设A是xoy平面上的区域，其面积为若（X，Y）的联合概率密度为：则称(X,Y)服从A上的均匀分布。2.二维正态分布：若(X,Y)的联合密度函数为：则称(X,Y)服从二维正态分布。记为二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于

X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机一、边缘分布函数3.4二维随机变量的边缘分布与条件分布一般地，对离散型

r.v(X,Y)，则

(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为二、二维离散型随机变量的边缘分布同理，(X,Y)关于Y的边缘分布律为随机变量X和Y的联合分布律与边缘分布.例2将两封信随机的往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四个邮筒内投。解：试验共有16种可能结果，且R.V.的可能取值为0，1，2，于是可得：

对连续型

r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为三、连续型随机变量的边缘分布则

(X,Y)关于X的边缘分布函数和密度函数分别为

同理，

(X,Y)关于Y的边缘分布函数和密度函数分别为

在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量

设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.四、条件分布例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布现在若限制1.7<Y<1.8(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.1、离散型随机变量的条件分布实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.

定义1

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj

}>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P{X=xi|Y=yj

}=，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i=1,2,…解依题意，{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.首次击中目标时射击了m次.n次射击击中2nn-11……………….m击中

例1

一射手进行射击，击中目标的概率射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.{X=m}表(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的联合分布律为不论m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都应等于n次射击击中2nn-11……………….m击中每次击中目标的概率为pP{X=m,Y=n}=？为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘分布律是：(m=1,2,…)Y的边缘分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1联合分布边缘分布n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，2、连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.

设X和Y的联合概率密度为关于的边缘概率密度为,

则称为在的条件下的条件概率密度.记为称为在的条件下,的条件分布函数.记为定义2若对于固定的,即类似地,可以定义例2