第七次无理数的近似计算

本学期数学实验教学安排周次理论课时间上机时间第3周周五1、2节周日下午2:00-6:00第5周周五1、2节周日下午2:00-6：00第7周周五1、2节周日下午2:00-6:00第9周周五1、2节周日下午2:00-6:00第11周周五1、2节周日晚上6:00-10:00第13周周五1、2节周日晚上6:00-10:002:00-4:00上机：电气21,22,234:00-6:00上机：电气24，材料硕交三次作业：一次小作业：一人一组，独立完成两次大作业：三人一组上机考勤：事假请辅导员签字，病假有医生证明上机考勤：一次0.5分实验报告占7分，数学实验总成绩占期末成绩的10%怎样计算和的值？的计算历史1.1609年，德国LudolphVanCeulen,35位.2.1761年，Lambert,证明了圆周率是无理数.1.1609年，德国LudolphVanCeulen,35位3.1874年，WilliamShanks,707位.4.1999年，日本人,利用高速计算机，206158430000位.无论用什么样的软件得到的圆周率的近似值，后台程序都对应了一个较为有效的计算圆周率的算法，我们的目的不是为了获得小数点后面更多的精确位数，而是了解一些相关的近似计算的方法.圆周率用matlab容易求出到几百位.>>digits(100)>>vpa(pi)ans=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068但你会计算π的值吗？你又能用几种方法计算？控制精度运算的两个函数digits和vpadigits是控制精度的，vpa是显示精度的>>vpa(pi,100)方法一：刘徽割圆法从正六边形开始，逐步求边长与面积递推法设边数为的正多边形边长为刘徽小数点后面3位祖冲之小数点后面7位a=1;fori=1:10a=sqrt(2-sqrt(4-a^2));endpai=3*2^10*vpa(a,19)symsa;fori=1:10a=sqrt(2-sqrt(4-a^2));enda=subs(a,1);pai=3*2^10*vpa(a,19)SUBS(S,NEW)replacesthefreesymbolicvariableinSwithNEW.pai=

3.14159251658815488

pai=

3.14159251658815488

方法二：利用幂级数计算1.Taylor展开taylor(f,n)%求函数f的n-1阶Maclaurin展开式taylor(f,n,a)%求函数f在x=a处的n-1阶Maclaurin展开式例1求函数在x=1处的7阶taylor展开式.ans=-1/4+3/4*x+1/8*(x-1)^2-1/16*(x-1)^3+1/32*(x-1)^4-1/64*(x-1)^5+1/128*(x-1)^6-1/256*(x-1)^7symsxy=x^2/(1+x)taylor(y,8,1)symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)subs(y1,1)symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)subs(y1,[-1:1])ans=0.5000ans=2.0000-0.00390.5000symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)x=-1:0.1:1y2=subs(y1,x)plot(y2,x)symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)y2=[];forx=-1:0.1:1y=[y2,eval(y1)]endx=-1:0.1:1plot(x,y)symsxy1=sin(x);y2=taylor(y1,3);y3=taylor(y1,5);y4=taylor(y1,7);y5=taylor(y1,9);x=-pi:0.1:pi;y1=subs(y1,x)y2=subs(y2,x)y3=subs(y3,x)y4=subs(y4,x)y5=subs(y5,x)plot(x,y1,'bo',x,y2,'g+',x,y3,'r:',x,y4,'c-',x,y5,'m+')例2求函数y=sinx的Maclaurin展开式，画图观察分别用不同次数的泰勒多项式近似代替函数y=sinx的近似程度，并计算的近似值.P83例3完成下面的实验任务：（1）用matlab软件计算函数arctanx的Maclaurin展开式，计算的近似值；（2）利用下面的等式计算的近似值，并与（1）比较.方法三：利用数值积分计算1.矩形公式2.梯形公式3.抛物线形公式例4利用定积分计算圆周率的近似值.formatlongn=1000;s=0;fork=1:ns=s+(1/n)*(1/(1+((k-1)/n)^2)+1/(1+(k/n)^2))/2;end4*sans=3.14159248692313方法四：利用繁分数计算方法五：利用蒙特卡罗模拟方法1/4圆的面积是考虑：在单位正方形区域内等概率地随意各处取点，所取点落入1/4单位圆的概率应该是1/4单位圆的面积与正方形的面积之比，即在正方形区域内随机取点，对满足的点进行计数，则落在1/4圆内的点数m与落在正方形区域内的点数n的比值就是从而有formatshortcs=0;n=500;fori=1:na=rand(1,2);ifa(1)^2+a(2)^2<=1cs=cs+1;endend4*cs/n

n=500,ans=3.1200n=5000ans=3.1760n=10000ans=3.1492n=500000ans=3.1435蒙特卡罗模拟方法收敛速度很慢，实验次数较少时，误差很大；但该方法简单易行，在精度要求不高的情况下，具有一定的实用价值.无理数e的发现无理数e和欧拉常数的发现者——欧拉欧拉（1707-1783），瑞士自然科学家，是数学史上最多产的数学家，不但为数学界做出重大贡献，而且把数学推至整个物理领域.无理数e的有趣事例假设人在银行存款1000元，银行的利率是一年100%.期间可以按实存时间计算，仍然保持年利率不变.请你帮忙替储户计算，分别按年存取、按月存取、按天存取按小时存取、按分钟存取，一年后，储户应得本息是多少？若按年存取若按月存取若按天存取若按小时存取若按分钟存取digits(28)accout_y=vpa(1000*(1+1),20)accout_hy=vpa(1000*(1+1/2)^2,20)accout_m=vpa(1000*(1+1/12)^12,20)accout_d=vpa(1000*(1+1/(12*365))^(12*365),20)accout_h=vpa(1000*(1+1/(12*365*24))^(12*365*24),20)accout_min=vpa(1000*(1+1/(12*365*24*60))^(12*365*24*60),20)>>accout_y=2000.accout_hy=2250.accout_m=2613.0352902246759186accout_d=2717.9715872424990266accout_h=2718.2688991729828558accout_min=2718.2816136905216808假设本金为x,一年内存取时间段数为n,则一年后本金和为一年后，储户存款不会超过3000元。无理数e和欧拉常数的近似计算无理数e和欧拉常数c的发现有界，且单调增，故收敛.欧拉常数c无理数e1.无理数e的幂级数计算方法哪种收敛快呢？2.无理数e的繁分数计算方法a=[];b=[];n=4;fork=1:3*n;%每三次运算出现重复a=[a,2*k]%2,4,6,8…..a=[a,1];a=[a,1];%和1拼成[2,1,1,4,1,1,6,1,1….]endi=length(a);b=a(i-2:-1:1);%倒序排成[…,6,1,1,4,1,1,2]b=[b,1];b=[b,1];%拼接成[…,6,1,1,4,1,1,2,1,1]length(b)x=2*3*n;%估计初始值fori=1:length(b)x=b(i)+1/x;%矩阵b的每一个元素与1/x相