第4章 动能和势能gai

第三章基本知识小结⒈牛顿运动定律惯性系、质点

牛顿第二定律适用范围：核心：分量式：矢量式：2.

非惯性系中的牛顿第二定律矢量式：真实力惯性力物体相对于非惯性系的加速度在直线加速参考系中：在转动参考系中：3.动量定理

惯性系、质点、质点系

适用范围：积分形式：导数形式：微分形式：4.动量守恒定律

惯性系、质点、质点系

适用范围：若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即注意分量式5.

质心和质心运动定理质心质心运动定理质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参考系平行.*质点系相对于质心系的动量质点系相对质心坐标系的动量（质心系中质心位置矢量）即质点系相对质心坐标系的动量总为零.而第四章动能和势能§1能量(自阅)能量概念发展史简介(1)伽利略对摆的论证——为认识机械能守恒开辟一途径.(2)莱布尼兹提出的物体运动的量与物体速度平方成正比被科里奥利称为“活力”.(3)英国物理学家杨将mv2/2称作能量.(4)热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之间的普遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立.(5)能量守恒定律的发现最重要的贡献者当推迈耶、焦耳、亥姆霍兹三位伟大的科学家.(6)能量守恒是自然界的基本规律.自然界的一切过程都必须满足能量守恒，反之，不一定成立。(7)经典物理认为物体的能量是连续值.量子物理中物体的能量是不连续的.(8)在相对论中,能量和质量是等价的，E=mc2

称质能关系.§2功的表示1.1恒力的功功——力对空间的积累作用，力在受力质点位移上的投影与位移的乘积1功的一般表示1.2变力的功ba

物体在变力的作用下从a运动到b。怎样计算这个力的功呢？采用微元分割法第i段近似功：总功近似：第2段近似功：第1段近似功：ba

当时,可用表示,称为元位移;用表示,称为元功。微分形式：积分形式：总功精确值：

在数学形式上，力的功等于力沿路径L从a到b的线积分。在SI中功的单位为焦耳质点受n个力共同作用时合力(1)功是标量,但有正负,与力和位移的夹角有关.(2)功是力对空间的积累,是过程量,一般与路径有关.说明注意：※功率平均功率瞬时功率功率——力在单位时间内所做的功.额定功率——最大输出功率若质点沿x轴运动，且力仅仅是x的函数，则力所做的功为：2.1平面直角坐标系（重点掌握）2功在不坐标系中的表示dxdy

xyr0r1ab（L指从a沿曲线到b）2.2平面自然坐标（理解）Os0s1abOA(r,)

2.3平面极坐标（了解）极轴xOx[例题1]弹簧一端固定，另一端与质点相连.弹簧劲度系数为k，求质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功.弹性力x0

x1为任意起始位置，与路径无关.[解]

弹簧原长时质点所在位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向.[例题2]马拉雪橇水平前进，自起点

A

沿某一长为L

的曲线路径拉至终点B.雪橇与雪地间的正压力为FN

，摩擦因数为

.求摩擦力的功.[解]沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标增加的方向摩擦力的功摩擦力的功与路径有关.[例题3]

从10m深的井中把10kg的水匀速上提,若每升高1m漏去0.2kg的水.(1)画出示意图,设置坐标轴后,写出力所做元功的表达式.(2)计算把水从井下匀速提到井口外力所做的功.[解](1)建立坐标并作示意图如右,(2)ab§3质点和质点系动能定理1质点的动能定理物体在合力作用下,由ab定义单位与功同.——物体的动能即：合力对质点所做的功等于质点动能的增量.——动能定理则：(2)Ek是状态量Ek,A>0;Ek,A<0，

动能是状态量，

与过程无关.而功与过程有关.(3)动能定理只适用于惯性系.(1)质点的动能定理中的功永远是合力的功.几点说明:

动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛顿运动定律少.(1)选取研究对象，明确它的运动过程.(2)建立坐标系或规定正方向.(3)分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做正功还是负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和.(4)明确物体在过程始末状态的动能EK1和EK2.(5)列出动能定理方程A=EK2-EK1及其他的解题方程，进行求解.质点的动能定理解题的一般步骤[例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现将物块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放.求物块击墙的速度.物块与水平面间的摩擦系数为..[解]建立坐标系如图Oxxabm由动能定理有：(

v0=0)

例题2利用动能定理解

解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为应用动能定理，xxlGB

以两质点系m1

和m2

为例一对内力元功之和：2.1内力的功2质点系的动能定理Oxyz

是质点2相对质点1的元位移(1)内力的总功一般不为零.几点说明（2）内力是成对出现的，即一对作用力和反作用力，它们所作的总功具有与参考系选择无关。（3）我们以后遇到的内力一般是恒力且相互作用的两物体作相对直线运动或者是后面要讲的保守力(计算特别简单)，有时摩擦力也是一个系统的内力，但这个力比较好计算。2.2质点系的动能定理n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理即：所有外力对质点系做的功和内力对质点系作的功代数和等于质点系总动能的增加——质点系动能定理.n个质点省去脚标i,除去求和号

(1)选取一个质点系，明确它们的运动过程.(2)建立坐标系或规定正方向.(3)分析质点系的受力情况和各个力的做功情况：外力和内力做功如何？(4)明确质点系在过程始末状态的动能EK1和EK2.(5)列出动能定理方程A总=EK2-EK1及其它解题方程，进行求解.质点系的动能定理解题的一般步骤[例题1]如图，质量为m0的卡车载一质量为m的木箱，以速率v

沿水平路面行驶.因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l距离.卡车滑行了L距离.求L和l.已知木箱与卡车间的摩擦系数为

1,卡车与地面的动摩擦因数为

2.lL[解]1.用质点动能定理求解受力分析如图，只有力,和做功根据质点动能定理得2.用质点系动能定理求解（中间必有质点的动能定理）视卡车与木箱为一质点系按质点系动能定理和质点的动能定理，有联立上两式得与上法相同结果.§4保守力与非保守力·势能1场力力场均匀力场中场力的分布质点所受到的力仅与质点的位置有关——场力.力场——存在场力的空间.质点所受作用力的作用线总通过某一点的力，它的大小只是质点到该点距离r的函数，该点称力心.一般情况下，质点所受到的外力可表现为：——有心力2保守力与非保守力2.1

几种力的功(1)重力的功在重力作用下,质点m经任一路径由a到b

由此可见，重力作功仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。a（xa,ya）xyb（xb,yb）（2）弹性力的功

弹簧劲度系数为k

，一端固定于墙壁，另一端系一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设两点为弹簧伸长后物体的两个位置，和分别表示物体在两点时距点的距离。设弹簧原长为l。OrbraabXx

Orr0abX弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。（3）万有引力的功两个物体的质量分别为M和m，它们之间有万有引力作用。M静止，以M为原点O建立坐标系，研究m相对M的运动。万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。保守力——做功与路径无关,只与相互作用的相对位置有关的力.2.2保守力与非保守力即：力沿闭合路径的功等于零.非保守力——力所做的功与质点所经路径有关.保守力场——存在保守力的空间.如何判断一个力是保守力？如何判断一个力场是保守力场？

无旋场判断方法:(1)场矢量的旋度为零

(2)力做功与路径无关，仅与物体始末位置有关。1、对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力f=f(X)=-k(X-X0)是X的单值函数，故它是保守力2、对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G=mg，是保守力3、若在空间中存在某个中心O，物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量OP的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力

[例题]质点在力的作用下由位置运动到,经过的路程为s,

如果力函数分别为,其中k为常数,

分别是沿矢径和速度方向的单位矢量(1)分别求两种力在该过程所做的功.(2)说明哪个是保守力.[解]abO保守力非保守力3势能3.1势能定义是物体相对位置的函数.用Ep表示。成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）(1)只有保守力才能引进势能的概念.(2)势能与零点选择有关,势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。但势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。3.2几点说明重力势能弹性势能万有引力势能(3)势能属于保守力相互作用着的整个系统，是一种相互作用能.(4)保守力与势能的微分关系（5）若一个系统中的所有非保守力都不做功，该系统就被称为保守系1质点系功能原理质点系的动能定理§5功能原理和机械能守恒定律机械能系统外力和非保守内力做功的代数和等于体系机械能的增量。——功能原理保非保保非保非保2机械能守恒定律1.当A外=0时，若A内非保

>0，则

E

增加.例如爆炸.是其它形式的能量（化学能、生物能）向机械能的转化.2.当A外=0时，若A内非保

<0，则

E减少,力为耗散力.机械能向其它形式能量转换.4.若A外+A内非保

≡

0

即体系始终只有保守力作功。——机械能守恒定律非保3.若A外+A内非保

=0,系统始末状态的机械能相等。(2)动能与势能可相互转换.动能的增量等于势能的减少量.关于机械能守恒定律的几点说明：(1)守恒条件：A外+A内非保

≡

0或始终只有保守力做功机械能守恒定律：如果一个系统内始终只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功始终为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。(3)机械能守恒定律解题的方法和步骤①明确研究对象，建立坐标系；②分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断系统的机械能是否守恒；③确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；④根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。[例题1]一轻弹簧与质量为和的两个物体相联结，如图所示.至少用多大的力向下压才能在此力撤除后弹簧把下面的物体带离地面？（弹簧质量不计.）m1m2m1m2y2y1Oy

m1m2[解]受力分析如图m2刚能被提起的条件为即(2)将坐标原点视作弹性势能和重力势能的零点(3)联立求得m1m2m1m2y2y1Oy

m1平衡时即(1)[例题2]一粗细均匀的柔软绳子,一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌边下垂,绳全长为l

。开始时,下垂部分长为d，初速为零,求整个绳全部离开桌面时瞬间的速度大小(设绳不可伸长).本题将分别用牛顿定律、动能定理、机械能守恒定律分别求解.解一:用牛顿定律求解；用隔离体法：绳分成两部分,桌上:AB,下垂:BC,t时刻：牛顿第二定律,列方程：AB:yBC:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解方程组可得所以,绳全部离开桌面的速度方向向下,大小y解二:用动能定理求解；

系统:整个绳子,绳分成两部分,桌上：AB,下垂：BC,受力如图.(力与位移方向垂直)系统动能：由动能定理，有：系统:整个绳子和地球.系统机械能守恒.解三:用机械能守恒定律求解；设水平桌面处重力势能.d比较三种方法：①牛顿定律方程两端：均为瞬时值，需对方程两端积分；②动能定理方程两端：功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需对过程量积分；③机械能守恒定律方程两端：功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所以，最简单。物体在运动过程中的受到力变力[例题2]制作半导体时，需向单晶硅或其它晶体中搀入杂质.单晶硅内的原子是规则排列的.在两层原子间有一定间隙，形成沟道.假设注入的杂质是硼的正离子.若硼离子能沿沟道射入晶体内，就叫沟道离子.射入的离子不可能与沟道的纵轴完全平行.若偏离一定角度.例如，如图(a)那样进入沟道时向上偏转，则离子将受到原子层原子核向下的斥力.这时斥力做负功，使离子一部分动能转化为电磁能.一旦离子失去向上运动的速度，便在斥力作用下朝反方向偏离；同样道理，当离子接近下面原子核时，又在斥力作用下向上偏转.于是入射离子在沟道内沿曲线前进.显然，入射角越大，上下摆动的幅度越大.不难判断，对于一定能量的离子，存在一个临界角，一旦入射角大于，入射离子将冲出沟道，不能成为沟道离子.计算时常用下述方法处理：如图(a)在离原子层一定距离处各划一条平行于原子层的虚线，在两条虚线范围内的空间，可以认为电磁场沿沟道轴线方向上的分布是均匀的.已知入射硼离子的能量为，离子接近上下晶面的最大电磁能为，求临界角.(a)(b)Oxy[解]选坐标系如图(b)所示。离子受到的斥力与x轴垂直离子入射总动能不变,将逐步转变为电磁能.得故即临界角为2.4°.即将代入§6对心碰撞碰撞——两个或两个以上物体相遇(相互接近),在极短的时间内发生较强的相互作用.F外<<F内,相碰撞物体可视为系统.可用动量守恒.正碰(对心碰撞)——碰前速度沿两球中心连线，碰后冲力及两球速度也沿这一直线,所以正碰的矢量问题简化为标量问题.接触碰撞——两个物体直接接触.接触前后没有相互作用,接触时相互作用极为强烈,接触时间极短.非接触碰撞——两个物体没有直接接触.接触前、“中”、后均有相互作用如：微观粒子间的散射.1碰撞的几个概念设两球碰前速度v10

，v20,碰后v1

，v2,以球心连线为坐标轴,以v10的正方向为轴的正方向.则2对心碰撞的基本公式碰撞后碰撞前碰撞时定义恢复系数

恢复系数由实验测得.只与两物体质料有关.(在力的作用线上)联立得※非完全弹性碰撞(0<e<1)特点：碰撞前后，动量守恒。小球碰撞后彼此分开，总动能有一定损失的碰撞。※

完全弹性碰撞(e=1)特点：碰撞前后，动量守恒。小球碰撞后彼此分开，碰撞前后系统总动能保持不变。※

完全非弹性碰撞（e=0）特点：碰撞前后，动量守恒。小球碰撞后不分开，总动能损失最大。m1/m2打铁时，要求(-Ek)大.即要求m2>>m1

即铁锤的质量m1

应远小于锻件（包括铁砧）质量m2打桩时,要求Ek0,即m1>>m2.

正碰（对心碰撞）解题核心步骤：或弹性碰撞完全非弹性碰撞非完全弹性碰撞或[例题1]

如图所示，将一种材料制成小球，另一种材料制成平板，并水平放置。令小球从一定高度H自由下落，测得其反跳高度为h。试求这两种材料之间的恢复系数e.[解]质量为m1的小球与平板相撞，可看成是与质量为m2的地球相撞.规定竖直向上为正方向。[例题2]用m1

表示中子质量,m2表示某原子核质量,求：(1)中子与静止的原子核发生对心的完全弹性碰撞后，中子动能损失的比率；(2)铅、碳和氢的原子核质量分别为中子质量的206倍、12倍和1倍，求中子与它们发生对心的完全碰撞后动能损失的比率.[解]把中子及铅、碳和氢的原子核都视作质点.1.用v10

和v1

表示中子碰撞前后的速度，则动能损失的比率为：2.求中子和铅、碳和氢原子核碰撞能量损失的比率对于铅，对于碳，对于氢，即中子与氢碰撞时能量损失最多.[例题3]冲击摆可用于测子弹速率.长度为l的线绳悬挂质量为m的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木块内一定位置，且测得木块摆过角度θ,m>>m0,求子弹射入的速率v.lmm0(a)(c)(b)Ox（1）第一阶段：木块与子弹发生完全非弹性碰撞.在碰撞瞬间绳的拉力在水平方向的分力，远小于子弹与木块相互内力，水平方向动量近似守恒.取Ox为水平轴,用表示木块与子弹共同运动的初速度，有（2）第二阶段：摆动过程机械能守恒.[解]子弹自接触木块至最高点全过程分为二个阶段设小球光滑，碰撞前一个小球处在静止状态，即§7非对心碰撞非对心碰撞(又称斜碰)——两球相碰之前的速度不沿它们的中心连线。斜碰一般为三维问题，较复杂。则这种碰撞是二维问题。1非对心碰撞基本公式令接触面法线方向为y

轴正方向xym1m2分量式xym1m2Oy2非对心碰撞的几种特殊情况的讨论（1）当21,mm<<m2将始终不动v2x

=0e=1Oy[证明]两边平方(1)弹性碰撞，动能守恒,有(2)式(1)与(2)对比得即可见，碰撞后两个小球将成直角地离开。

斜碰（非对心碰撞）解题核心步骤：弹性碰撞完全非弹性碰撞非完全弹性碰撞例题1质量为M的氘核以速率u与静止的质量为2M的α粒子发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成90º角散射。⑴求α粒子的运动方向，⑵用u表示α粒子的末