第4章 平衡方程的应用

第4章

平衡方程的应用

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静定与静不定问题的概念

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考虑摩擦时的平衡问题

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物体系的平衡

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桁架

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结论与讨论§4.1&4.2物体系的平衡·静定和静不定问题●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目●超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFEPAQCBDE解：(1)取整体为研究对象已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，sin=4/5；D,E为中点，

例题1AB＝l，杆重不计，

求：支座A、C的反力。AQCBPDEFAxFAyFCxFCy解得:PABFBxFByFAxFAy解上述方程，得(2)取AB为研究对象代入（3）式得DBPACHLaa45°ra图示构架，各杆及圆盘的重量均不计，试求：A、C的约束反力和DC杆内力。例题2FDCDBHPF1解:(1)取BC和圆盘为研究对象（2）取整体为研究对象DBCH45°APF1FCFAxFAyABCDEGF3mG1m6m6m6m三铰拱桥如图所示，已知每段重G=40kN，重心分别在D，E处，且桥面受一集中荷载F=10kN。试求各铰链中的力。例题3解：1.取AC段为研究对象。ACDFCxGFAxFAyFCyGF’CxFBxFByCEBFF’Cy2.再取BC段为研究对象，受力分析如图。联立求解，得

FAx=-FBx

=

FCx

=9.2kN

FAy=42.5kN，FBy=47.5kN，FCy=2.5kNqABqABCDFByFBxFAyFAxqABCDaaaFDyFDx已知:a=2m，q=3kN/m例题4

求：支座A、D的反力。解：取AB部分为研究对象FAyFAx取ABCD部分为研究对象求：A、C处的反力。练习：图示构架杆重不计分析CM=600N.mBFCFBFAxFAyMAq=25N/mABDP=500Nq=25N/mABCD4m4m3mP=500NM=600N.mEqaaaaaABCD已知如图，构架杆重不计，试求：A、E的约束反力和BC杆内力。例题5FAyFAxFECDqFDxFDy解：(1)取整体为研究对象解得：(2)取曲杆CD为研究对象解得：FC

图示构架自重不计，已知：q=1.5kN/m，P1=10kN，P2=20kN

求：支座A、B处的约束反力。例题6DABCEP2P12m2m4m4m6m2m2m3mq解:(1)取DE部分为研究对象DEP2P1FDFExFEyFDFAyFByFBxFAx(2)取整体为研究对象DABCEP2P12m2m4m4m6m2m2m3mqFDFAyFByFBxFAx(2)取BC部分为研究对象BFByFBxFCxFCyCq1m1mAC1m1mMqB例题7

图示连续梁，自重不计，已知：M=10kN·m,q=2kN/m，试求：支座A、C的反力。BCqMCAqFAxFAyMAFCxFCy

FBFAxFAyMA

FB解：(1)取BC为研究对象解得:(2)取AC为研究对象解得:500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m图示结构，各杆的自重不计，试求：D、E的约束反力。例题8500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFB解：(1)取CDE为研究对象解上述方程，得(2)取整体为研究对象解得:500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFBGEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:代入（3）式得:如果取整体为研究对象时，A支座的反力都要求出来么？qMABCDEH2m2m2m2m1m1m例题9图示构架，各杆自重不计，已知：q=50kN/m,M=80kN·m；试求：A、B的约束反力。BCDqMEDFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE杆为研究对象(2)取BDC杆为研究对象(3)取整体为研究对象解得：qABC2aaaaa①②③PD试求：A处的反力。练习图示构架的杆件的重量不计。CqB②③DFBxFByF1qABC②③PDF1FAxFAyMA练习图示构架各杆的自重不计试求CE杆的内力。30°ABDCEaqqDCqABqFCBFAxFAyFDxFDyFCEFBC§4.3平面简单桁架的内力计算●桁架的杆件都是直的；●杆件用光滑的铰链连接；●荷载均作用在节点上；●重量平均分配在节点上。理想桁架

□桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。★节点法★截面法1.以整体为研究对象，求支座约束力。解方程可得解：ABC2m2m12345FAyFByFBxFD平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点D处受一集中载荷F=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。例题10ABC2m2m12345FDABC2m2m12345FD2.取节点A为研究对象，受力分析如图。F2F1FAyA解方程可得F3F4C3.取节点C为研究对象。解方程可得4.取节点D为研究对象。DF5F如图所示平面桁架，各杆件的长度都等于1m。在节点E上作用载荷FE=10kN，在节点G上作用载荷FG=7kN。试计算杆1，2和3的内力。ABCDEFGFEFG123例题11

1.取桁架整体为研究对象，求桁架的支座约束力。解：ABCDEFG123FByFAxFEFGFAy解方程求得mm2.

求杆1，2和3的内力。用截面m-m将三杆截断，选取左段为研究对象。F1ACDEFAxFAyF2FEF3解方程求得ABCDEFG123FByFAxFEFGFAy1FFFFF6×aABb例题12求1杆的内力mn解：整体为研究对象再以截面m－n左面部分为研究对象FAFBFFAF1F2F3CFAF4(1)两杆相交，节点无外力作用，则两杆都是零杆;(2)三杆相交，其中两杆共线，节点无外力作用，则第三杆为零杆。PPP12345678910PPACBGDE123aaaaaCPPBGDEF3F1F2F4F5FBPPGDEF1F2F6F7mnqr零杆：ABCDEGPnmFDE=0BDGPFDCFDEFDAFGCFB练习已知：等边三角形ABC，其中E、D、G为各边中点。求：CD杆的内力

FMHABCDOEFGαααα思考题已知：各杆的自重不计。HAB平行于EFG,OCD垂直于AB,角度＝30o,除AB,CD外,各杆的长度均为。求AB杆的内力。解：选图(a)为隔离体图，求出BC杆的内力FBC，然后再以B节点为对象，求出FAB。参考受力图(b)，选轴与FOB垂直。BF’BCFABFOB(b)FMCDEFααααFGxFGyFBCFAC(a)1.

接触表面的粗糙性2.

分子间的引力

一.关于摩擦现象摩擦的分类摩擦的机理摩擦的利弊按两物体的相对运动形式分，有滑动摩擦和滚动摩阻。按两物体间是否有良好的润滑，滑动摩擦又可分为干摩擦和湿摩擦。§4.4考虑摩擦时的平衡问题实验室测定摩擦系数的原理有关摩擦角的概念，摩擦锥的形成。几个有意义的实际问题考虑摩擦时的平衡问题几个有意义的实际问题

赛车结构为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？maFwFNF考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题几个有意义的实际问题台式风扇放在光滑的桌面上，风扇工作时将会发生什么现象？落地扇工作时又会发生什么现象？考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题几个有意义的实际问题采用什么办法，可以将左边轴的转动传给右边的轴？

几个有意义的实际问题1.静滑动摩擦力二.摩擦定律FPFNFsPFN两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力——滑动摩擦力★静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比2.最大静滑动摩擦力FNFsFRAAFmaxFNFRAAFRA=FN+FS全约束反力★摩擦角——全约束反力与法线间夹角的最大值FRAAFN摩擦角的正切等于静摩擦系数3.动滑动摩擦力三.考虑摩擦时物体的平衡考虑摩擦时系统平衡问题的特点(1)当0≤F＜Fmax时，F是一个未知量，用平衡方程求出。当为F=Fmax=fsFN的临界平衡时,此时,有摩擦定律可以作为补充方程，其指向必须与运动趋势相反。(3)当运动后,F=fFN一般属于动力学问题。●

检验物体是否平衡；●临界平衡问题；●求平衡范围问题。常见的问题有PQFmaxFN解：取物块为研究对象，先求其最大值。解得：（2）求其最小值。解得：求：平衡时水平力Q的大小。例题13已知：P，，fsPQFmaxFNPQmaxFRPQminFRFRPQmax+PQminFR－例题14用几何法求解前一个例题PPPPFF1243已知：P=10N，书之间fs1

=0.1，手与书fs2

=0.25。问：要提起这四本书需加的最小压力。例题15FsFsPF1FsF12FN1P2解：（1）取整体为研究对象Fs=20N（2）取书1为研究对象（3）取书2为研究对象FN1F12′′FN2F23请大家回去考虑最多能提起多少本书MeaABdbABOFNAFAD解：取推杆为研究对象考虑平衡的临界情况，可得补充方程已知：fs，b。求：a为多大，推杆才不致被卡。例题16FNBFBFCFABObad解:

由图示几何关系得例题17用几何法求解例16即PF30°问题1已知摩擦角=20°，F=P，问物块动不动？为什么？PF30°FR20°15°问题2已知摩擦角均为，问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的，物角应为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBFRAFRBFNAFSAFNBFSB练习已知：P=1000N，fs=0.52若杆重不计。求：系统平衡时的Qmax。例题18ABCQ5cm10cm30°PBFBCQFBAFBA′FNFmaxAOP解:(1)取销钉B为研究对象FBA=2Q(2)取物块A为研究对象①处于滑动的临界平衡状态时FBA′FNFAOP②处于翻倒的临界平衡状态时ABCQ5cm10cm30°P四.滚动摩阻的概念FPFNFsoAFPoAPFoAFRMPFFNFsoAMFPoAFsFN′dCOMCFSCFNCFPCOFP解：以轮为研究对象(1)滚动时(2)滑动时F1=Fmax=f

FNCF=f

P=0.6×2000＝1200N

已知：轮胎的半径R＝40cm,载重P＝2000kN，F作用与轮轴，滑动摩擦系数f＝0.6，滚动摩擦系数δ＝0.24cm，试求推动此轮的力F。例题19思考题1：有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力225N。如每本书的质量为0.95kg，手与书间的摩擦系数为0.45，书与书间的摩擦系数为0.40。求可能执书的最大数目。结论与讨论思考题2：已知如图，B处存在摩擦。就（a）、（b）分别回答下述问题：MFACBBAF(a)(b)(1)能否确定B处的法向反力？(2)能否确定B处的摩擦力？(3)问题是静定，还是静不定的？思考题3：均质杆重P，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的水平力F，试求使杆处于平衡时的Fmax.设杆的高度忽略不计。FqqFmaxABCxl-x思考题4：重量均为P的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为

fs

，一水平力F作用于A球，试求系统平衡时Fmax。30°ABF30°