第3章拉压 材料力学

第3章轴向拉伸和压缩3.2拉伸与压缩时横截面上的内力——轴力

3.1轴向拉伸与压缩的概念3.3轴向拉伸与压缩时横截面上的应力3.5拉伸与压缩时的变形3.7材料的力学性质3.8轴向拉伸与压缩时的强度计算

3.6静定结构节点的位移计算

3.4拉伸与压缩时斜截面上的应力3.9拉（压）杆的超静定问题3.10应力集中的概念3.11轴向拉伸与压缩的变形能受力特点：外力（或其合力）的作用线沿杆轴线变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短

拉杆压杆FFFF3.1轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸和压缩FF3.2.1横截面上的内力——轴力

FIFFIIIFIIFNxSFX=0：+FN-F=0

FN=FxSFX=0：-FN’+F=0

FN’=FFN’单位：N(牛顿)或kN(千牛)轴力规定：轴力拉为正，轴力压为负。轴向拉伸和压缩3.2拉伸与压缩时横截面上的内力——轴力计算图示杆件指定截面的轴力FN1=2FFN2=F3.2.2轴力图集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。

轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。轴向拉伸和压缩轴力图:轴力随横截面变化的图线。150kN100kN50kNFN

+-轴向拉伸和压缩作图示杆件的轴力图，并指出|FN|maxIIIIII|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN例3-1试绘出图3-3所示杆的轴力图。已知F1=10kN,F2=30kN，F3=50kN。

ABCDF1F2F3FR解（1）计算支座反力轴向拉伸和压缩∑Fx=0，-F1+F2-F3+FR=0

得FR=F1-F2+F3=10-30+50=30kN

（2）分段计算轴力

F1FN1FN1=F1=10kNF1F2FN2FN2=F1-F2=10-30=-20kNFN3FRFN3=FR=30kN⑶画轴力图xFN10kN20kN30kN++一|FNmax|=30kN轴向拉伸和压缩例3-2竖柱AB如图（3-4a）所示，其横截面为正方形，边长为a，柱高为h，材料的体积密度为ρ；柱顶受载荷P作用。试作出其内力图。

解：对任意截面取上段为研究对象是该段研究对象的自重

轴力图如图

结论(外力法)：杆的轴力等于截面一侧所有外力的代数和，其中离开截面的外力取正号，指向截面的外力取负号

ABaFFNFhxGaFFN图F+ρa2h-FF1122假设：

平面假设变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。轴向拉伸和压缩正应力的符号：拉应力为正，压应力为负。

对于等直杆

当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。危险截面上的正应力----最大工作应力FF3.3.1实验观察与假设3.3轴向拉伸与压缩时横截面上的应力横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。3.3.2横截面上的应力例3-3

一横截面为正方形的砖柱分上下两段，所受之力为轴力，各段长度及横截面尺寸如图所示。已知F=50kN，试求载荷引起的最大工作应力。

轴向拉伸和压缩300400FFFABC240370一-130kN-50kN解：（1）画轴力图（2）求各段应力

50轴向拉伸和压缩作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1133222060+例图示阶梯形圆截面杆，F1=20kN，F2=50kN，d1=20mm，d2=30mm，计算杆内横截面上最大正应力。解：1.支反力计算2.轴力分析3.应力分析最大正应力轴向拉伸和压缩横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。FFF①全应力：②正应力：③切应力：1）

α=00时，σmax＝σ2）α＝450时，τmax=σ/2

轴向拉伸和压缩

3.4拉伸与压缩时斜截面上的应力(3)当=900时，和均为零，这表明轴向拉（压）杆在平行于杆轴的纵向截面上没有任何应力。符号规定：例等截面杆A=400mm2，F=50kN，试求斜截面m-m上的正应力与切应力解：杆横截面上的正应力斜截面m-m上的正应力与切应为轴向拉伸和压缩杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。其中：拉应变为正，压应变为负。轴向(纵向)应变：3.5拉伸与压缩时的变形横向应变：

轴向拉伸和压缩3.5.1变形和应变的概念1.绝对变形纵向绝对变形

Δl=

l1-l

横向绝对变形Δd=d1-d

2.相对变形

线应变（相对变形）:单位长度的变形ldd1FFl1EA----杆的抗拉（压）刚度。轴向拉压变形的胡克定律

实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数μ----称为横向变形系数（泊松比）轴向拉伸和压缩比例常数E为材料的弹性模量单位为MPa，常用GPa胡克定律3.5.2胡克定律

实验表明，在比例极限内，

例图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D点的位移。

解：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后计算出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D点的位移。这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。轴向拉伸和压缩P3P++D点的位移为：例3-4

变截面钢杆受轴向载荷F1=30kN,F2=10kN。杆长l1=l2=l3=100mm，杆各横截面面积分别为A1=500mm2,A2=200mm2,弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长量。解：⑴计算各段轴力AB段和BC段的轴力分别为

FN1=F1-F2=30-10=20kN

FN2=-F2=-10kN轴力图如图所示⑵计算各段变形

⑶求总变形即整个杆缩短了0.015mm轴向拉伸和压缩例3-5图所示连接螺栓，内径d1=15.3mm，被连接部分的总长度l=54mm，拧紧时螺栓AB段的伸长Δl=0.04mm，钢的弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓的横向变形。解：螺栓的纵向变形为

螺栓横截面上的正应力为

螺栓的横向应变为

螺栓的横向变形为

轴向拉伸和压缩例图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆，②杆为2×No.5槽钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。已知F=60kN，试计算B点的位移。1.8m2.4mCABF①②F轴向拉伸和压缩解：1、计算各杆上的轴力2、计算各杆的变形3、计算B点的位移（以切代弧）B4B33.6静定结构节点的位移计算例3-6

图为一简单托架。BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm。BD杆为8号槽钢。求B点的位移。设F=60kN。

解：根据B点的平衡方程，求得BC杆和BD杆的轴力分别为

（拉）

（压）

BC杆圆截面的面积为A1=3.14×10-6m2。BD杆为8号槽钢，由附录查得截面面积为A2=1020×10-6m2

。根据虎克定律，求出和两杆的变形分别为

求位移作节点位移图轴向拉伸和压缩FFFN1FN2例3-7钢杆AB、AC在A点用一铰链连接，杆AB和杆AC的直径分别为d1=12mm，d2=15mm，钢的弹性模量E=210GPa，若在A点作用垂直向下的力F=35kN，试求A点的铅垂方向的位移。解：取节点A为研究对象，计算轴力AB杆和AC杆的伸长分别为FBC

1mA0.8md1d2FFNABFNACxyABCA′F

NAB=18.1kNFNAC=25.6kNΔlAcEΔlABD作结点位移图节点A垂直位移为轴向拉伸和压缩例

3-8图所示结构，杆AB和BC的抗拉刚度EA相同，在节点B承受集中载荷F，试求节点B的水平及铅垂位移。

解（1）各杆的轴力

以节点B为研究对象，

（2）各杆的变形

（伸长）

(3)节点B的位移计算

变形的相容条件:结构变形后两杆仍相交于一点，作结构的变形图

节点B的位移图

轴向拉伸和压缩BCAaaFBCAFB1B2B'BFN1FN2FBB1B2B'B"Δl1Δl2材料力学性能：材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。3.7材料的力学性质轴向拉伸和压缩一、拉伸实验与应力-应变图Oσεσeσpσsσb弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段工作段长度l试件应力-应变（σ-ε）图σp----比例极限σe----弹性极限σs----屈服极限σb----强度极限拉伸图二、低碳钢的拉伸力学性能拉伸过程大致可分为四个阶段:1.弹性阶段阶段。Oa段应力与应变成正比，即材料满足虎克定律

比例极限σe：材料的应力与应变成正比的最大应力值

材料的弹性模量E

材料在外力撤除后仍能恢复原有形状和尺寸的性质称为弹性外力撤除后能够消失的这部分变形称为弹性变形

弹性极限σe:材料产生弹性变形的最大应力值

2.屈服阶段：

bc段材料的屈服或流动：应力变化不大而变形显著增加的现象。材料暂时失去了抵抗变形的能力。材料的屈服极限σs：屈服阶段的最低应力值塑性变形（也称为永久变形或残余变形）:卸去载荷，试件的变形不能完全恢复，而残留下的一部分变形。滑移线：屈服阶段时，在试件表面出现的与轴线成450的倾斜条纹。

强化：材料重新恢复抵抗变形的能力的现象。3.强化阶段：cd段强度极限σb：材料所能承受的最大应力值4.颈缩阶段

颈缩：试件某一薄弱的横截面处发生急剧的局部收缩现象

衡量塑性材料的两个重要强度指标：σs

和σb衡量材料的两个重要弹性指标：σe

和E轴向拉伸和压缩卸载与再加载规律（冷作硬化现象）在强化阶段卸载后，如重新加载曲线将沿卸载曲线上升。如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；当再加载时试件的线弹性阶段将增加，而其塑性降低。----称为冷作硬化现象Oσε应力-应变（σ-ε）图冷作硬化延伸率断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆性材料材料的塑性l1----试件拉断后的长度A1----试件拉断后断口处的最小横截面面积轴向拉伸和压缩123OseA0.2%Ss0.24102030e(%)0100200300400500600700800900s(MPa)1、锰钢2、硬铝3、退火球墨铸铁4、低碳钢特点：d较大，为塑性材料。

3.7.2其它塑性材料拉伸时的力学性质无明显屈服阶段的，规定以塑性应变es=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作s0.2

轴向拉伸和压缩3.7.3铸铁拉伸时的力学性质OPDL强度极限：Pb

①

sb—拉伸强度极限，脆性材料唯一拉伸力学性能指标。

②应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且sb很低。轴向拉伸和压缩3.7.4材料压缩时的力学性质比例极限spy，屈服极限ssy，弹性模量Ey基本与拉伸时相同。低碳钢压缩实验：s(MPa)200400e0.10.2O低碳钢压缩应力应变曲线低碳钢压缩应力应变曲线轴向拉伸和压缩seOsbL灰铸铁的拉伸曲线sby灰铸铁的压缩曲线

sby>sbL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o～55o的滑移面破坏。铸铁压缩实验：轴向拉伸和压缩塑性材料的特点：断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指标---屈服极限，一般拉和压时的sS相同。脆性材料的特点：断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是sb、sbc且sb《sbc。轴向拉伸和压缩一般情况：材料的强度及弹性指标等随温度的升高而降低，而塑性指标增大。蠕变：金属在一定温度和静载长期作用下，发生缓慢塑性变形的现象应力松弛：在一定温度下，零件或材料的总变形保持不变，但零件内的应力出现随时间增加而自发地逐渐下降的现象。3.7.5复合材料的力学性能

复合材料：一般是指有两种或两种以上性质不同的材料复合而成的一类多相材料。它在性能上具有所选各材料的优点，克服或减少了各单一材料的弱点

比强度和比模量高

强度和弹性模量与密度的比值分别称为比强度和比模量，是度量材料承载能力的一个重要指标。由于复合材料超轻质、超高强度，因而可使构件重量大大降低。

(2)抗疲劳性能好一般材料在交变载荷作用下容易发生疲劳破损，而复合材料抗疲劳性能好，因而可延长构件的使用寿命。(3)减震性好复合材料具有高的自振频率，因而不易引起工作时的共振，这样就可避免因共振而产生的破坏。同时，复合材料的震动阻尼很高，可使振动很快减弱，提高了构件的稳定性。(4)破损安全好对于纤维增强复合材料制成的构件，一旦发生超载出现少量断裂时，载荷会重新迅速地分配到未破坏的纤维上，从而使这类构件不致于在极短的时间内有整体破坏的危险，提高了构件的安全性。耐热性好

一些复合材料能在高温下保持较高的强度、弹性模量等力学性质，克服了一些金属和合金在高温下强度等性能降低的缺陷。

成型工艺简单灵活及材料结构的可设计性可用一次成型来制造各种构件，减少了零部件的数目及接头等紧固件，减轻了构件的重量，节省了材料和工时，改善并提高了构件的耐疲劳和稳定性。同时，可根据不同的要求，通过调整复合材料的成分、比例、结构及分配方式和稳定性，来满足构件在不同方面的强度、刚度、耐蚀、耐热等特殊性能的要求，提高了可设计性及功能的复合性。另外，某些复合材料还具有耐腐蚀、耐冲击、耐绝缘性好及特殊的电、磁、光等特性。

轴向拉伸和压缩3.8.1极限应力、许用应力和安全系数塑性材料：脆性材料：材料的许用应力：材料安全工作条件下所允许承受的最大应力，记为材料的极限应力或危险应力：材料丧失正常工作能力时的最小应力轴向拉伸和压缩3.8轴向拉伸与压缩时的强度计算材料的工作应力：分析计算所得应力。（构件实际应力）确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：①理论与实际差别：材料非均质连续性、超载、加工制造不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化②足够的安全储备：构件与结构的重要性、塑性材料n小、脆性材料n大。

安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0～5.0，甚至更大。轴向拉伸和压缩2、安全因数----极限应力与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。根据强度条件可进行强度计算：①强度校核(判断构件是否破坏)②选择截面尺寸(构件截面多大时，才不会破坏)③确定承载(构件最大承载能力)[σ]----许用应力σ0----

极限应力n----安全因数轴向拉伸和压缩强度条件3.8.2拉（压）杆的强度计算

在强度计算时，如工作应力超过许用应力，但超过量在5%以内，则在设计规范中是允许的例3-9

外径D为32mm，内径d为20mm的空心钢杆，如图所示，设某处有直径d1=5mm的销钉孔，材料为Q235A钢，许用应力[σ]=170MPa，若承受拉力F=60kN，试校核该杆的强度。解：未被削弱的圆环面积为

被削弱的面积为

危险截面面积为

强度校核

故此杆安全可靠

例3-10

一悬臂吊车，如图所示。已知起重小车自重为G=5kN，起重量F=15kN，拉杆BC用Q235A钢，许用应力[σ]=170MPa。试选择拉杆直径d。

解：(1)计算拉杆的轴力,取B点为研究对象

(2)选择截面尺寸

可取

d=21mm轴向拉伸和压缩例3-11

如图所示，起重机BC杆由绳索AB拉住，若绳索的截面面积为5cm2，材料的许用应力[σ]=40MPa，求起重机能安全吊起的载荷大小。

解：(1)求绳索所受的拉力FNAB与F的关系。

（2）

根据绳索AB的许用内力求起吊的最大载荷为

即起重机安全起吊的最大载荷为33.4kN轴向拉伸和压缩

例图示空心圆截面杆，外径D＝20mm，内径d＝15mm，承受轴向荷载F＝20kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。

解：杆件横截面上的正应力为:材料的许用应力为:可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。FFDd轴向拉伸和压缩例图示吊环，圆截面斜杆AB、AC许用应力[σ]=120MPa，吊环吊重F=500kN，夹角，确定斜杆直径解：1.斜杆轴力分析2.截面设计取斜杆直径为d=53mm轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩例图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆，②杆为2×No.5槽钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载[F]。1.8m2.4mCABF①②F解：1、计算各杆上的轴力2、按AB杆进行强度计算3、按BC杆进行强度计算4、确定许用荷载例图示结构，载荷可沿刚性杆AC水平移动，试问为使斜撑杆BD的重量最轻，夹角θ应取何值？轴向拉伸和压缩解：斜撑杆轴力x=l时轴力最大斜撑杆所需最小截面面积斜撑杆体积为使重量最轻，应使即得夹角θ最佳值为例

图示圆截面杆，F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200

GPa，为保证构件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，试确定杆径d。解：杆二轴力分别为轴向变形分别为杆的总伸长为按要求总伸长不超过0.10mm，即解得：取d=9mm轴向拉伸和压缩3.9拉（压）杆的超静定问题

3.9.1超静定问题的概念与解法静定问题与静不定问题，静不定问题次数1、静力平衡方程（1个），未知量三个，一次超静定2、变形协调方程（关系）：各杆变形所应满足的关系（1个），即为超静定次数3、物理方程：表示变形与轴力关系（方程个数等于变形量个数）4、补充方程：将物理方程代入变形协调方程所得（1个）5、联列静力平衡与补充方程，解未知量轴向拉伸和压缩ABCF12βαABCF12βαD3ABCF12αD3αΔl3Δl1lFFN1FN2FN3A例3-12在图所示的结构中，设横梁AB的变形可以省略，1、2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1、2两杆的内力

解：AB杆的平衡方程，变形协调方程

物理方程补充方程联列平衡方程与补充方程解出

轴向拉伸和压缩aaal12ABFΔl1Δl2例3-13一超静定杆系如图所示。已知1杆和2杆的刚度、杆长相同，即E1A1=E2A2，l1=l2，3杆的刚度为E3A3，杆长l3=l1cosα，载荷为F。试求各杆的轴力。

解：（1）静力平衡关系（2）变形几何关系

（3）物理关系补充方程

联立求解轴向拉伸和压缩ABCDF123ααABCDF123ααCFααFN1FN2FN3CααΔl1Δl3例图示杆两端固定，受一轴向载荷F作用，拉压刚度EA为常数，试求杆端支反力轴向拉伸和压缩解：1.静力学关系2.几何关系3.物理关系4.支反力计算，得补充方程联立解得例图示结构，杆1与杆的弹性模量均为E，横截面各均为A，梁BD为刚体，载荷F=50kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=120MPa，试确定各杆横截面积。轴向拉伸和压缩解：1.问题分析2.建立平衡方程3.建立补充方程变形协调方程胡克定律（物理方程））补充方程4.轴力计算与截面设计联解得所需截面因截面积相同，故取A1=A2=247mm2例图示桁架，杆3实际长度比设计长度l稍短δ，分析装配后各杆轴力。杆1与杆2各截面拉压刚度均为E1A1，杆截面拉压刚度E3A3。轴向拉伸和压缩解：1.建立平衡方程2.建立补充方程变形协调方程由胡克定律得补充方程3.轴力计算3.9.2装配应力

装配应力:结构未加载前，因杆件制造误差，在装配而引起的应力例3-14火车车轮通常由铸铁轮心和套在其上的钢制轮缘两部分组成，如图所示。轮缘横截面可近似地认为是矩形，并设其宽度为b，厚度为t。轮缘的弹性模量为E。为了使轮缘牢固地装在轮心上，通常把轮缘的内径d2做得稍小于轮心的外径