第3章力系平衡方程及应用

第3章力系平衡方程及其应用

yyyy年M月d日主讲人:3.1

平面力系平衡方程3.2

平面物体系平衡问题3.3

静定和超静定概念3.4空间力系平衡方程

小结第3章力系平衡方程及其应用由第2章力系简化结果可知：任意力系平衡的充要条件是该力系的主矢和主矩皆为零，即引言得投影式

此即空间任意力系的平衡方程。式(c)是式(a)的充要条件。必有

(a)

(b)

(c)

3.1

平面力系平衡方程3.1.1

平面任意力系平衡方程的基本形式3.1.2

平面任意力系平衡方程的其他形式3.1.3

平面平行力系平衡方程3.1.4

平面汇交力系平衡方程3.1.5

平面力偶系平衡方程3.1平面力系平衡方程

当力系中的所有力的作用线位于同一平面时，该力系称为平面任意力系。若Oxy平面为力系作用面，则显然有式中,

x

和y

是直角坐标系的坐标轴，而点

O

是力系作用平面内的任意一点。因此,平面任意力系的平衡方程为平面任意力系平衡方程的基本式3.1.1

平面力系平衡方程的基本形式这是

注：式中，

投影轴x

和y

可不正交，但不得平行。n3.1平面力系平衡方程【例3-1】

已知

q（单位长度载荷)，a

，

，，，3.1平面力系平衡方程简支梁的载荷和尺寸如图。求：A，B处约束力。【例3-1】解以梁为研究对象，画出受力图：

F1，F2构成一个力偶，对任意点的力矩等于力偶矩，对任意轴的投影为零。

F1=qa

，M=qa2分布力(均布载荷)合力作用线位于AB中点。3.1平面力系平衡方程【例3-1】解3.1平面力系平衡方程已知【例3-2】图示直角弯杆，A端固定，载荷如图。3.1平面力系平衡方程已知:

q，F，M，a，b，q

；求：支座A处的约束力。【例3-2】解以直角弯杆为研究对象，画出受力图：3.1平面力系平衡方程【例3-2】解列平衡方程(坐标系如图)3.1平面力系平衡方程3.1平面力系平衡方程

3.1.2平面任意力系平衡方程的其他形式（两矩式）（三矩式）A，B

连线不垂直于轴xA，B，C三点不在同一条直线上3.1.3

平面平行力系平衡方程若作用在平面Oxy内的所有力均平行于轴y，显然有3.1平面力系平衡方程平面任意力系的平衡方程：则平面平行力系的平衡方程为图示为行动式起重机，已知b=3m，W1=500kN，e=1.5m，起重机的最大载荷W=250kN

，l=10m。欲使起重机满载和空载时不倾倒，

求:

平衡重W2，设a=6m。【例3-3】3.1平面力系平衡方程【例3-3】解以起重机为研究对象，画出受力图

(注：对于单体研究对象，在不引起混淆的情况下允许在题图上画受力图，此时应理解为约束已解除，从而画出其相应的约束力。)（1）满载保证机身不向右倾倒，临界情况:3.1平面力系平衡方程【例3-3】解（2）空载时W=0，保证机身不向左倾倒，临界情况:因此，平衡重W2之值应满足以下关系：

361kN

≤W2≤375kN

注：平衡稳定问题除满足平衡条件外，还要满足限制条件。所得关系式中等号是临界状态。工程上为了安全起见，一般取上、下临界值的中值，本例可取:

3.1平面力系平衡方程3.1.4平面汇交力系平衡方程3.1平面力系平衡方程设作用在平面Oxy内的平面汇交力系之汇交点为O，则因此，平面汇交力系平衡方程为此方程常用于第4章平面桁架的节点法。【例3-4】求图示粱的A，B处的约束力。3.1平面力系平衡方程【例3-4】解

本题可用三力平衡汇交定理确定约束力的作用线(如图a)也可采用平面任意力系的受力图(如图b)建议读者分别用图a，图b进行计算后比较。3.1平面力系平衡方程3.1.5平面力偶系平衡方程对平面力偶系，其投影方程恒有3.1平面力系平衡方程因此，平面力偶系平衡方程为【例3-5】圆弧杆AB与折杆BDC在B处铰接，A，C处均为固定铰支座，结构受力偶M如图所示，其中r，M已知，l=2r

，

求:

A，C处约束力。3.1平面力系平衡方程【例3-5】解圆弧杆AB为二力构件(关键一步判断)。整体受力图：

C

处有一个方向待定的约束力，为保持系统平衡，约束力FC和FA必组成一个力偶，与主动力偶平衡。3.1平面力系平衡方程【例3-5】解负号表示实际方向与图示假设方向相反。3.1平面力系平衡方程讨论：C处也可用两个正交力表示，用平面一般力系平衡方程求解。由两个或两个以上的物体组成的系统，称为物体系。3.2

平面物体系平衡方程物体系平衡：求全部外部约束力或构件之间的相互作用力。特点：取整体为研究对象分析，无法求得全部约束力；

必须从中间铰处拆开，分别取研究对象分析。难点：如何拆，即如何取研究对象？方法：一般先取未知力最少（最好是1个）的构件入手；即从求出的部分待求量或对后续求解有用的研究对象开始。【例3-6】图示结构由T字梁与直梁在B处铰接而成。3.2

平面物体系平衡问题已知:

F=2kN，q=0.5kN/m，M=5kN·m，l=

2m求:

支座C及固定端A

处约束力。【例3-6】解

分别取整体和杆CB为研究对象画出受力图

【整体】

4个未知量，3个独立方程

【杆CB】

3个未知量，3个独立方程【基本思路】

杆CB受力图计算FC整体受力图计算A处的约束力(偶)3.2平面物体系平衡问题[分析]…【例3-6】解

【杆CB】

3.2平面物体系平衡问题【例3-6】解

【整体】

3.2平面物体系平衡问题【例3-7】图示平面拱架，A为固定端，B为固定铰链，D，C为中间铰链。作用力F1=3kN，F2=6kN；尺寸a=R=2m。

求:

A，B处的约束力。3.2平面物体系平衡问题（习题课）分析：从二力构件CD出发，只有1个未知力。【例3-7】解

A处未知力：FAx，FAy，MA，B处有未知力：FBx，FBy，5个未知量，3个独立方程，不可完全确定。

【整体】

【CD】图a

二力构件

【CGB】图b

3个未知量3个独立方程

【AED】图c

4个未知量3个独立方程3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-7】解

【CD】图a

二力构件

【CGB】图b

3个未知量3个独立方程

【AED】图c

4个未知量3个独立方程【基本思路】

杆CGB受力图计算FC；AED受力图计算A处的约束力(偶)；CGB受力图计算B处的约束力。3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-7】解

【CGB】图b

3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-7】解

【杆AED】图c

3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-8】图示平面构架，A，C，D，E处为铰链连接，杆BD上的销钉B置于杆AC的光滑槽内，F=200N，力偶矩M=100N·m

求:

A，B，C处受力。3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-8】分析

【整体】

4个未知量3个独立方程但若对点E取矩方程可解出FAy

【杆ABC】

5个未知量3个独立方程

【杆BD】

3个未知量3个独立方程【基本思路】

[杆BD]FB

[整体]FAy

[杆ABC]FAx3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-8】解

【整体】

3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-8】解

【BD】

3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-8】解

【ABC】

3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-9】图示结构尺寸l=3

m，分布载荷的最大值q=8

kN/m

，中间铰B上作用集中力F=12

kN，

求:

固定铰A，C处约束力及中间铰B受力。3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-9】解

【整体】

3个独立方程，4个未知量。可对点C取矩方程求出FAy，再取y方向的力投影方程求出Fcy。3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-9】解(1)3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-9】解

【半拱AB】(不含载荷F)代入式(1)

3.2平面物体系平衡问题（习题课）【例3-9】解

【铰B】3.2平面物体系平衡问题（习题课）

注意：对力F的处理是难点。静定问题：能由平衡方程确定全部未知力的问题。相应的结构称为静定结构。超静定问题：仅由静力学平衡方程无法求得全部未知力，需要补充变形条件才能求解的问题。相应的结构称为超静定结构。超静定次数：未知量的个数与独立的平衡方程数目之差。多余约束：与超静定次数对应的约束，对于结构保持静定是多余的，但工程实际中，有些多余约束是必要的。3.3静定和超静定概念3.3静定和超静定概念判断方法：把结构全部拆成单个构件，比较未知量的总数与独立平衡方程的总数注意：作用力与反作用力大小相等，因此只计为一个未知量；不同力系有不同的独立方程数。超静定问题的基本解法将在材料力学课程中介绍。

3.4空间力系平衡方程3.4.1

空间汇交力系平衡方程3.4.2

空间力偶系平衡方程3.4.3

空间平行力系平衡方程3.4.4

空间任意力系平衡方程应用举例3.4空间力系平衡方程由第2章力系简化结果可知：任意力系平衡的必要和充分条件是该力系的主矢和主矩皆为零，即必有

此即空间任意力系的平衡方程。式(c)是式(a)的充要条件。必有

(a)

(b)

(c)

3.4空间力系平衡方程空间力系中所有力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力系，其独立的平衡方程为3.4.1

空间汇交力系平衡方程【例3-10】图示起重三脚架各杆均长l=2.5m，两端为铰接。铰D上挂有重量为W=20kN的重物，且知q1=120º，q2=90º，q3=150º，OA=OB=OC=r=1.5m。

求:

各杆受力。3.4空间力系平衡方程【例3-10】解因各杆均为二力杆，可画出铰D受力图由已知条件，可知FAD

，FBD

，FCD与坐标平面Oxyz的夹角均为j3.4空间力系平衡方程【例3-10】解以铰D为研究对象，设各杆均受拉联列计算以上三式，得结果中负号表示三杆均受压。3.4空间力系平衡方程3.4空间力系平衡方程全部由空间力偶组成的力系称为空间力偶系，其平衡方程为3.4.2

空间力偶系平衡方程*【例3-11】图示蜗轮箱在A，B两处各用一个螺栓安装在基础上，铅直方向的蜗杆力偶矩M1=100N·m

，水平方向的蜗轮力偶矩M2=400N·m

。

3.4空间力系平衡方程不考虑箱底和基础间的摩擦影响，求:

两螺栓处沿轴x，z方向的约束力。3.4空间力系平衡方程*【例3-11】解建立图示坐标系，轴x和轴z分别平行于蜗轮轴和蜗杆轴。主动力为两个力偶M1和M2，力偶矩矢方向分别沿轴z和轴x，螺栓A，B处的两对约束力分别组成两个力偶与之平衡。3.4空间力系平衡方程空间力系中各力作用线相互平行（设与轴z平行）的力系称为空间平行力系，其独立的平衡方程为3.4.3

空间平行力系平衡方程【例3-12】图示圆桌的三条腿成等边三角形ABC。

3.4.2空间力系平衡方程圆桌半径r=500mm，重W=600N。在三角形中线CD上点M处作用铅垂力F=1500N，OM=a

。

求：使圆桌不致翻倒的最大距离a。【例3-12】解桌腿与地面的接触面摩擦不计，可视为光滑面。取圆桌为研究对象，画受力图。3.