第3章 函数与无限集讲稿

第3章函数与无限集

函数又称映射，它是一种规范的、特殊的关系。

3.1函数的基本概念

定义3.1：函数：设有集合X与Y，而f是从X到Y的关系，如对每个xX都存在唯一的yY，使得（x，y）f，则称是从X到Y的函数，或叫从X到Y的映射。它可记为f：XY，或写成：XY，或记为y＝f（x）。

在f：XY中xX所对应Y内的元素y称x的像，而x叫y的像源。

定理3.1：函数f：XY是满足下面条件的关系：（1）存在性条件—每个xX存在yY有（x,y）f

（2）唯一性条件—每个xX也仅有yY，使得（x,y）f

f1第3章函数与无限集

定义3.2：函数的定义域与值域：函数f：XY

中其定义域D（f）可用Df表示，一般，Df＝X而值域R（f）可用Cf表示，一般，Cf

Y。定义3.3：函数f：XY中如X=Y则称f为X上的函数。

例：N={0，1，2，3，…}是自然数集，则f：NN是f（n）＝n+1，它是函数。称后继函数，或称皮亚诺函数。它刻划了自然数的顺序关系。例：R是实数集，则f：RRf（x）＝x2，是函数。

2第3章函数与无限集

3.2函数的表示有四种方法:特性刻划法，枚举法，矩阵表示法及图示法。

1.枚举法用序偶的集合表示函数。例：设有X={x1，x2，x3，x4，x5}，Y={y1，y2，y3，y4，y5}可以建立函数f：XY如下：

f＝{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x4,y1),(x5,y5)}3第3章函数与无限集

2.特性刻划法：可用表示性质的方法以刻划元素。在函数中可用f＝{(x,y)│P(x,y)}表示。如f：RR中，f（x）＝x+1,f（x）＝x2等均为用特性刻划法表示函数。

3.矩阵表示法与关系表方法类似，也可以用矩阵方法表示函数。例：上例中的函数可用矩阵形式表示。10000

01000

0010000010000014第3章函数与无限集

4.图示法函数中的图示法与关系图形式类似。例：上例中的函数可用下面的图3.1表示之。

y1y2y3y4y5

x1

x2x3x4x5XYf图3.1函数的图示法5第3章函数与无限集

3.3函数的分类

函数中四种类型：满射、内射、单射及双射。

定义3.4满射：对函数f：XY如果有Cf

＝Y则称f为从X到Y的满射（或称从X到Y上的函数）；否则，则称为从X到Y的内射（或称为从X到Y内的函数）。

定义3.5单射：对函数f：XY如果有对每个i，j，若ij则必有f（xi）f（xj），则称f为从X到Y的单射（或称为从X到Y的一对一函数）；否则，则称为多对一函数。

定义3.6双射：对函数f：XY，如果它是从X到Y的一一对应的。则称f为从X到Y的双射（或称为一一对应函数）；如有X=Y，则称f是X上的变换。6第3章函数与无限集

y1y2y3y4

x1x2x3x4x5XYf（a）

y1y2y3y4y5

x1x2x3x4

XYg（b）

y1y2y3y4

x1x2x3x4

XYh(c)图3.3函数的满射、单射与双射图7第3章函数与无限集

3.4函数运算

函数共有两种运算：复合运算、逆运算。

1.函数的复合运算定义3.7函数的复合运算：设有函数f：XY，g：YZ，则f与g的复合运算gof可定义如下：

gof={(x，z)|xX，zZ且至少存在一个yY，有

y=f（x），z＝g（y）}

这个复合运算的结果h也是一个函数,h：XZ，它可记为h＝gof，它称为f与g的复合函数，也可记为：

g（f（x））8第3章函数与无限集

函数复合运算也有四种表示方法。例：设有函数f：XY，g：YZ分别为：

X＝{x1,x2x3},Y＝{y1,y2},Z＝{z1,z2}：

f＝{(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y2)}g＝{(y1,z1)，(y2,z2)}

此时有：h=gof＝{(x1,z1)，(x2,z2)，(x3,z2)}可用矩阵表示100101(×)1001

=100101

9第3章函数与无限集z1

z2

x1x2

x3

XY图3.5函数复合运算示例图hy1

y2

Zfg也可用图示法表示。10第3章函数与无限集例：设有集合X={1，2，3}上的函数为：

f：XXf＝{(1,3)，(2,1)，(3,2)}g：XXg＝{(1,2)，(2,1)，(3,3)}

试求fog,gof,

fof及gog

解：下面给出四个复合函数如下：（1）fog＝{(1,1)，(2,3)，(3,2)}

（2）gof＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}

（3）fof＝{(1,2)，(2,3)，(3,1)}

（4）gog＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}11第3章函数与无限集

2.函数的逆运算每个函数不一定都有逆函数。它必须满足两个附加条件，所以一个函数是否有逆函数，要看函数之逆是否也满足两个附加条件。

定义3.8函数逆运算：设函数f：XY是双射的（或称一一对应的），则由f所构成的逆运算称为函数f的逆运算，可记为f–1，而其运算结果h也是一个函数，即h：YX，它可记为h=f–1。它称为f的逆函数或反函数。函数的逆运算也有四种表示方式。12第3章函数与无限集

例：设有函数f：XY其中X={a，b，c}，Y={1，2，3}，判断f是否有逆函数并给出三种表示形式。（1）f={（a，3），（b，3），（c，1）}

（2）f={（a，3），（b，1），（c，2）}

解：（1）中f的图示及矩阵表示可分别见图3.6（a），（b）如下：001001100(b)图3.6f图示及矩阵表示之一(a)

abc

123

XYf13第3章函数与无限集

此函数不存在逆函数。（2）中f的图示及矩阵表示可见图3.7（a），（b）如下：001100010(b)图3.7f图示及矩阵表示之二(a)abc

123

XYf14第3章函数与无限集可以看出此函数为一一对应，因此存在逆函数f–1：YX，它的三种表示形式分别为：（1）f–1={（3，a），（1，b），（2，c）}

（2）图示法可见图3.8（a）（3）矩阵表示法可见图3.8（b）010001100(b)图3.8f–1图示及矩阵表示(a)123

abc

XYf–115第3章函数与无限集

3.6多元函数

定义3.12多元函数：设有集合X1，X2，…，Xn及Y，则f：X1×X2×…×XnY表示从n阶笛卡尔乘积X1，X2，…，Xn到Y的n元函数，或称多元函数。它亦可表示为f（x1，x2，…，xn）=y。其中xiXi（i=1，2，…，n）

特别是当X=X1=X2=…Xn）=Y时，n元函数f：XnX可称作n元运算，当n=1时称为一元运算，当n1时称为多元运算。

例：设X=R，f：R×RRf＝{((x,y),x+y)|x

R,y

R}

该函数f是一个二元运算。16第3章函数与无限集

3.7有限集与无限集定义3.13：有限集与无限集：集合S如某元素个数有限则称为有限集，如其元素个数无限则称为无限集。例：下面的集合均为无限集：（1）自然数集N为无限集（2）时间T为无限集（3）三维空间点集是无限集定义3.14：集合的势：集合S的元素个数称S的基数或称势，可记为：S。17第3章函数与无限集在有限集中集合的基数是一个自然数：例：S={1，2，3，4}，则S=4

例：S={a，b，c，…，z}，则S=26

在无限集中集合的基数则有专门的符号表示，如自然数集N的基数为0（念Aleph零）。其它与N一一对应的无限集如整数