第2章时域分析最终稿

第2章连续时间系统的时域分析2.1引言2.2微分方程式的建立与求解2.3起始点的跳变—从0－到0＋状态的改变2.4零输入响应和零状态响应2.5冲激响应与阶跃响应2.6卷积2.7卷积的性质2023/2/11本章学习重点通过本章学习，应达到以下要求：（1）掌握连续时间系统微分方程的建立与求解（2）掌握零输入响应与零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解。（3）掌握卷积及卷积的性质2023/2/122.1引言系统时域分析方法的两个方面：

1）微分方程的求解

2）已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统输出响应。返回首页2023/2/132.2微分方程式的建立与求解一：微分方程式的建立方法：对于给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特性及系统结构的约束特性来建立对应的微分方程。例2-1按如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电压与激励源间的关系。2023/2/14解：根据元件关系列方程：据基尔霍夫电流定律：整理后得：2023/2/15对于复杂系统，设激励信号为，系统响应为，则可以用一高阶的微分方程表示：

由时域经典法，上式的完全解由两部分组成：齐次解与特解。2023/2/16其中，齐次解满足齐次方程：而齐次解的形式是形如函数的线性组合，将带入上式并整理得到原方程的特征方程如下：

对应的n个称为微分方程的特征根。齐次解2023/2/17根据特征根的不同，齐次解有如下形式：无重根时：

有重根时，则对应k阶重根部分将有k项，形如：2023/2/18例2-3求微分方程的齐次解。解：系统的特征方程为：

因而齐次解为：2023/2/19自由项：将激励代入原微分方程右端，化简后右端函数式称为“自由项”。特解：通过观察自由项来试选特解形式，然后代入方程后求得特解的待定系数。特解2023/2/110例2-4给定微分方程式，如果已知：（1）（2）分别求两种情况下此方程的特解。解：（1）将代入方程右端，得到为使等式两端平衡，试选特解函数式代入原方程得：2023/2/111等式两端各对应幂次系数相等，有：

联解得到：所以，特解为：2023/2/112

以上简单回顾了线性常系数微分方程的经典解法。从系统分析的角度，称线性常系数微分方程描述的系统为时不变系统。齐次解称为系统的自由响应。特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与系统的激励的形式有关。整个系统的全响应即为自由响应与强迫响应之和。2023/2/1132.3起始点的跳变－从0－到0＋状态的转换在系统分析中，把响应区间确定为激励信号加入后系统状态变化区间。一般激励都是从t＝0时刻加入，因此系统的响应区间定义为2023/2/1142.3起始点的跳变－从0－到0＋状态的转换

起始状态：系统在激励信号加入之前的一组状态初始条件：t=0+时刻的一组状态，用来确定全响应表示式中常数Ai。2023/2/115例2-5

给定如图所示电路，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳态，当t＝0时，S由1转向2。建立电流i(t)的微分方程并求解i(t)在t>=0+时的变化。解：1）列写微分方程：

2023/2/116整理后得：把参数代入得：2023/2/1172）求系统的完全响应

齐次解：

所以齐次解为：2023/2/118

特解：由于，所以方程右端的自由项为4×4，因此另特解为：代入方程：所以系统的完全响应为：2023/2/119（3）确定换路后的和

换路前：换路后：

2023/2/120（4）求在时的完全响应由的表达式2023/2/121所以要求的完全响应为：上面分析方法是在系统的电容电压和电感电流从0－状态到0＋状态没有发生跳变的情况。判断系统是否发生跳变的方法是看微分方程右端的自由项是否包含及其导数。如果包含及其各阶导数，说明系统从0－到0＋状态发生了跳变。2023/2/122状态有跳变时求初始条件（冲激函数匹配法）原理：根据时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。例如：

对于给定的0－时刻的初始值，如何确定0＋时刻状态。

分析：由于方程右端有，所以方程左端的最高次项必然含有。不妨假设，

则方程左端为：2023/2/123

上面得到的方程的左端与方程的右端并不相等，而是相差一个项。因此重新假设则原方程左端变为：

这里，表示从0－到0＋相对单位跳变函数。即

现在方程的左端又多了一个项，因此还需重新假设则左端为：2023/2/124可见，当时，能够满足方程左右两端已经平衡。因此是满足要求的。所以：在这个式子中，有一项跳变项，它是产生跳变的原因。所以：即初始条件与原始状态之间的关系只由系数决定。这个积分为02023/2/125数学方法描述冲激函数匹配法：按照上面的原理分析，我们总结冲激函数匹配法如下：

已知方程右端含有，因此它一定属于因此，设：

上面两式代入原来的微分方程：注意只定义到就够了。2023/2/126整理并比较方程两端系数得到：所以：所以：2023/2/127例题：2-6用冲激函数匹配法求解例2-5中的完全响应。解（1）根据给定的，考虑到在换路过程中的变化如下图所示：则求得时刻由2v跳变到4v，即，所以微分方程为：

（2）已知和，用冲激函数匹配法，求和。2023/2/128由于得到的微分方程的最高阶次为，因而假设：代入原来的微分方程得：2023/2/129求得：其余求解步骤与例2-5相同。所以要求的0＋状态为：因而：2023/2/1302.4零输入响应与零状态响应1．零输入响应2．零状态响应2023/2/131例题2-7：设有RC电路如图，电容两端有起始电压，激励源为,求时系统响应－－电容两端电压解：由电路图可以得到系统的微分方程：

解该微分方程得：2023/2/132分析上面的结果可以看到，完全响应由两部分组成，其中第一部分只和电容两端的电容的起始储能有关，与输入的激励无关，被称为零输入响应。第二部分与起始储能无关，只与输入激励有关，被称为零状态响应。2023/2/1331．零输入响应所谓零输入，是指系统无外加激励，即激励信号，这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入响应。并记为。它是满足方程及起始状态的解，可见它是齐次解中的一部分，即：特征根2023/2/1342．零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的初始状态为零，仅由系统的外加激励所产生的响应。记为。它满足方程：及起始状态，其形式为特解2023/2/135例题2-8对例2-5中的电路，把电路看作起始状态，分别求时的零输入响应和零状态响应。

解：原电路零输入电路2023/2/136零状态电路初始值等效电路2023/2/1371、零输入响应：是系统满足和0＋状态的和的解。2023/2/138由于前面已经求过，系统的特征根为-2和－5，所以零输入响应的形式为：将和代入齐次微分方程得：所以零输入响应为：2023/2/1392零状态响应：是满足微分方程

及起始状态和的解。由例2-5求得：其中，和由和确定。

2023/2/140把代入方程右端的自由项得：利用冲激函数匹配法，设：代入原方程得：2023/2/141解得：所以：代入零状态响应形式得：2023/2/142所以，系统的零状态响应为：系统的全响应为：零状态响应零输入响应自由响应强迫响应2023/2/1433．瞬态响应与稳态响应全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之和。当时，响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应；时，保留下来的那部分分量称为稳态响应。2023/2/144

（a）

（b）

图2-42系统响应的过渡过程示意图返回本节2023/2/1452.4冲激响应与阶跃响应冲激响应阶跃响应返回首页2023/2/146冲激响应以单位冲激信号作为激励，LTI连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为。冲激响应示意图如图2-44所示。2023/2/147图2-44冲激响应示意图2023/2/1482．由阶跃响应求解冲激响应以单位阶跃信号作为激励，LTI连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为。阶跃激励与阶跃响应的关系表示为：

或

2023/2/149冲激响应与阶跃响应之间的关系：由于冲激信号与单位阶跃信号存在微分与积分关系，因而，对于LTI也存在如下微分与积分关系：

2023/2/150冲激响应满足微分方程：及起始状态。当n>m时，可以表示成：

当n<=m时，则表达式还将有及其各阶导数项。2023/2/151例题2-9对图所示电路，求电流对激励的冲激响应。解：2023/2/152系统冲激响应满足方程：它的齐次解形式：利用冲激函数匹配法求和设：2023/2/153解得：所以：代入得：2023/2/154因为m=n，所以h(t)中有一项，而又因为，所以要求的冲激响应为：2023/2/155阶跃响应系统的阶跃响应满足方程及起始状态。可以看出方程右端的自由项含有及其各阶导数，同时还包含阶跃函数，因此阶跃响应包含齐次解和特解。2023/2/1562.6卷积卷积的原理：卷积方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应