(最新)数字信号处理程佩青第4版第1章 离散时间信号与系统

第1章

离散时间信号与系统学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。1.1离散时间信号——序列信号是传递信息的函数。针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号：（1）连续时间信号 -----自变量取连续值，而函数值可连续可离散。当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。（2）离散时间信号 -----自变量取离散值，而函数值连续。（3）数字信号 -----自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散化了的离散时间信号。离散时间信号是对模拟信号xa(t)进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到：1.1.1、离散时间信号——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T这里

n取整数。对于不同的

n值，xa(nT)

是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如学习要点：P61.n必须为整数2.模拟信号也可以采用非等间隔时间采样3.序列的表示法函数法数列表示n=0的值x(0)用下划线标注。图形表示法1.1.5、常用序列P191.单位抽样序列(n)01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)n=-5:5;x=impulse_DT(n);stem(n,x),xlabel('n'),gridontitle('单位冲激序列')axis([-55-0.11.1])functiony=impulse_DT(n)y=(n==0);2.单位阶跃序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)functiony=u_DT(n)y=n>=0;%当参数为非负时输出1n=-5:5;x=u_DT(n);stem(n,x'),xlabel('n'),gridontitle('单位阶跃序列')axis([-55-0.11.1])(n)与u(n)之间的关系令n-k=m，有3.矩形序列RN(n)N为矩形序列的长度0nR4(n)123n=-5:8;x=u_DT(n)-u_DT(n-5);stem(n,x),xlabel('n'),gridontitle('矩形序列R_5(n)')axis([-58-0.11.1])4.实指数序列，a为实数0n0<a<10na>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动0n-1<a<00na<-1n=0:15;a1=1.4;a2=-1.4;a3=0.6;a4=-0.6;x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n;subplot(221)stem(n,x1,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=1.4^{n}')subplot(222)stem(n,x2,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=(-1.4)^{n}')subplot(223)stem(n,x3,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=0.6^{n}')subplot(224)stem(n,x4,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=(-0.6)^{n}')5.复指数序列（虚指数序列）这里ω0为数字域频率，单位为弧度。当=0时，上式可表示成上式还可写成表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。6.正弦序列式中，ω为数字域频率，单位为弧度。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么Ω为模拟角频率，单位为弧度/秒。T为信号的采样周期，fs为信号的采样频率。（难点）P21小结P20-21，这些在刚才的解释中已经说明。至于周期性的判断见1.1.6节复习前面学了常用序列和matlab编程！下面继续。。。。。。1.1.2、序列的运算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序号的序列值逐项对应相加补充：不足位补零基于幅度的运算2.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)

·x2(n)同序号的序列值逐项对应相乘3.累加（等效积分）4.序列绝对和有啥用？P7以后会学5.序列能量能量有限或能量信号一般而言，值有限的有限长序列或绝对可和的无限长序列都是能量信号比如说。。。6.序列平均功率若P=C<无穷大，则功率有限或功率信号，一般，周期信号和随机信号都是功率信号1.序列的移位*****当n0>0时，序列右移 ——延迟x(n)n0n0x(n-2)基于序号n的运算x(n)n0n0x(n+2)当n0<0时，序列左移 ——超前2.序列的翻转n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。Fliplr()x(n)n02.序列的翻转与移位P83.尺度变换x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。下采样

——抽取序列是序列相邻抽样点间补（m－1)个零值点，表示零值插值。上采样

——插值序列（1）.差分运算

前向差分 后向差分即对序号n又对幅度的运算有了这神器，上知天文下知地理（2）.卷积和运算，详见1.1.3即对序号n又对幅度的运算（3）.相关运算，详见1.1.4（4）.共轭对称分量和共轭反对称分量，详见后续分析1.1.3.卷积和*****1.卷积和步骤：等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。请看教材P9-10重点讲解，板书！！！！2.3种方法计算卷积和，必需重点掌握的内容，P9-15方法步骤：见教材9-10作为公式记住卷积神器来也---对位相乘相加法！复习卷积的计算！以下来一个！2015-10-16一定注意卷积的实质啊？例：求：解：1.翻褶.以m=0为对称轴，折叠h(m)

得到h(-m)，对应序号相乘，相加得y(0)；2.位移一个单元，对应序号相乘，相加得y(1)；3.重复步骤2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在哑巴变量坐标m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1对应相乘，逐个相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/23.卷积和序列的长度重点是H的行数和列数！！课堂练习：已知x(n)={1,2,4,3,6},h(n)={2,1,5,7},试求y(n)=x(n)*h(n)。采用列表法、对位相乘相加法、及matlab编程方法求解序列的相关性作用：P161.互相关P16（1）定义说明3个步骤不满足交换律1.互相关（2）性质偶对称不是偶函数绝对可和时，1.互相关（4）相关与卷积之关系1.互相关（3）m的取值范围(看书，真累)由于得到啰啰嗦嗦的用鸡蛋砸你2.自相关（1）定义（2）性质偶对称m=0最大绝对可和时，3.功率信号(周期信号)相关（1）定义4.例题1.71.81.9课堂习题设周期N=2pi/w,求自相关函数。作业课后习题P581.181.1.6.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：例：则称x(n)为周期序列，最小周期为N。一般正弦序列的周期性设那么如果则N，k均取整数式中，A为幅度，ω0为数字域频率，为初相。正弦序列的周期性讨论：整数时，则正弦序列有周期，当k=1时，周期为有理数时，设=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k为最小正整数，只有k=Q，即N=P时，所以正弦序列的周期为P无理数时，则正弦序列无周期。例如，练习：P561.4（8）1.1.7用单位采样序列来表示任意序列作业1.31.4，1.161.171.2线性移不变系统离散时间系统T[•]x(n)y(n)在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T[]表示，即1.2.1离散时间线性系统若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。*****其中a、b为任意常数。设注意教材P24

怎么证明一个系统是线性系统？

怎么证明一个系统不是线性系统？怎么使坏

[例1.10][补例]是线性系统。证：所以，此系统是线性系统。[例]所代表的系统不是线性系统。证：但是所以，此系统不是线性系统。1.2.2时不变系统（移不变系统）时不变系统T[•]x(n)y(n)若则n0为任意整数。输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。[例1.11]证：所以，此系统是时不变系统。[例1.13]证：所以，此系统不是时不变系统。同理，可证明所代表的系统不是时不变系统。1.2.3线性时不变系统输入与输出

之间的关系T[•](n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统(linearshiftinvariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。

单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)来表示：根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质设系统的输入用x(n)表示，而因此，系统输出为通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：

线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：用单位取样响应h(n)来描述系统h(n)x(n)y(n)[例]设有一线性时不变系统，其单位取样响应为解：分段考虑如下：(1)对于n<0；(2)对于0≤n≤N－1；(3)对于nN。(2)在0n<N区间上(3)在nN区间上(1)(2)(3)y(n)例设有一线性时不变系统，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234对有限长序列相卷，可用竖乘法注：1.各点要分别乘、分别加且不跨点进位；2.卷和结果的起始序号等于两序列的其实序号之和。由上面几个例子的讨论可见，h(n)x(n)y(n)设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积满足以下运算规律：交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)结合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+h2(n)x(n)y(n)序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0：[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系统的输出y(n)。m(n)解：设级联的第一个系统输出m(n)1.2.4系统的因果性在系统中，若输出y(n)只取决于n时刻，以及n时刻以前的输入，即称该系统是因果系统。对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：如因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。系统的因果性判断P29说明1.一般情况下，若y(n0)只与n0及以前时刻的输入x(n)有关，则为因果系统2.对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：练习P571.7（3）1.2.5稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。对于通用系统，如果|x(n)|≤M<∞(M为正常数)，有|y(n)|≤P<+∞，则该系统被称为稳定系统。[例]设某线性时不变系统，其单位取样响应为式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：由于n<0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。所以时，此系统是稳定系统。[例]设某线性时不变系统，其单位取样响应为式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：(1)讨论因果性由于n<0时，h(n)0，故此系统是非因果系统。

(2)讨论稳定性所以时，此系统是稳定系统。复习1.上次学了线性、移不变、因果、稳定性的判断前提是直接给了系统函数1.3常系数线性差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：连续时间线性时不变系统常系数线性微分方程离散时间线性时不变系统常系数线性差分方程求解差分方程的基本方法有三种：经典法求齐次解、特解、全解递推法求解时需用初始条件启动计算变换域法将差分方程变换到Z域进行求解例1.15*******课堂练习，当初始条件为，证明线性，移不变，因果性？？[例]设差分方程为求输出序列设系统参数设输入为初始条件为解：依次类推但初始条件为时延时延时a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的结构

例题1.16

例题1.171.4连续时间信号的抽样连续时间信号离散时间信号采样内插信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丢失；如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。1.4.1采样S0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高频率为fc

定义预备知识补充：

单位冲击函数t0(t)(1)单位冲击函数有一个重要的性质：采样性若f(t)为连续函数，则有将上式推广，可得t0(t-t0)理想采样1、理想采样xa(t)P(t)0txa(t)^0t0tT1T2、理想抽样信号的频谱：频谱的周期延拓即即由于是周期函数可用傅立叶级数表示，即采样角频率系数对称性移频特性根据信号与系统预备知识补充：

傅立叶变换的性质：0(S)S2