chapter 02 测量误差和测量结果处理

第2章测量误差和测量结果处理2.1误差2.2测量误差的来源2.3误差的分类2.4随机误差分析2.5系统误差分析2.6系统误差的合成2.7测量数据的处理

2.1误差一、误差

1．真值A0

一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。

要想得到真值，必须利用理想的量具或测量仪器进行无误差的测量。物理量的真值实际上是无法测得的。

例如电流的计量标准安培(教材说明）在测量过程中由于各种主观、客观因素的影响，做到无误差的测量也是不可能的。2．指定值As

由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。

例如指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原器的质量为1kg，指定国家天文台保存的铯钟组所产生的特定条件下铯l33原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的919263l770个周期的持续时间为1s(秒)等。国际间通过互相比对保持一定程度的一致。

指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值。3．实际值A

实际测量中，不可能都直接与国家基准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。

在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。比如如果更高一级测量器具的误差为本级测量器具误差的1／3到l／l0，就可以认为更高一级测量器具的测得值(示值)为真值。

后面叙述中，不再对实际值和真值加以区别。4.标称值

测量器具上标定的数值称为标称值。

如标准砝码、标准电阻、标准电池的电动势、标准信号发生器度盘上标出的输出正弦波的频率等。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定等于它的真值或实际值。为此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级.5．示值

由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。

例如以l00分度表示50mA的电流表，当指针指在刻度盘上的50处时，读数是50，而值是25mA.

为便于核查测量结果，在记录测量数据时，一般应记录仪表量程、读数和示值(当然还要记载测量方法，连接图，测量环境，测量用仪器及编号及测量者姓名、测量日期等)。

对于数字显示仪表，通常示值和读数是统一的。6．测量误差

测量仪器仪表的测得值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。

测量误差的存在具有必然性和普遍性，人们只能根据需要和可能，将其限制在一定范围内而不可能完全加以消除。研究误差产生的原因，误差的性质，减小误差的方法以及对测量结果的处理等.7．单次测量和多次测量

单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。在测量精度要求不高的场合，可以只进行单次测量。单次测量不能反映测量结果的精密度，一般只能给出一个量的大致概念和规律。

多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对校准等。8．等精度测量和非等精度测量

在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作步骤和细心程度等。等精度测量的测量结果具有同样的可靠性。

如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维持不变(比如，改变了测量方法，或更换了测量仪器，或改变了联接方式，或测量环境发生了变化，或前后不是一个操作者，或同一操作者按不同的过程进行操作，或操作过程中由于疲劳等原因而影响了细心专致程度等)，这样的测量称为非等精度测量或不等精度测量。等精度测量和非等精度测量在测量实践中部存在，相比较而言，等精度测量意义更为普遍，有时为了验证某些结果或结论，研究新的测量方法、检定不同的测量仪器时也要进行非等精度测量。小结术语符号含义说明真值A0物理量的真实值纯理论值指定值AS法令的形式指定其所体现的量值法定计量值实际值A上一级标准所体现的值当作准确的值(满足一定要求,有限次均值)相对真值(最佳值)标称值测量器具标定的数值示值x测量器所显示的数值二、误差的表示方法

1．绝对误差定义为(2.1-1)

式中△x为绝对误差，x为测得值（示值），A0为被测量真值。由于真值A0一般无法得到，所以用实际值A代替A0，因而绝对误差更有实际意义的定义是(2.1-2)

与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称为修正值，一般用符号c表示(2.1-4)绝对误差的特点：绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同.

绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负值.

测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。

对于信号源、稳压电源等供给量仪器，绝对误差定义为

式中A为实际值，x为供给量的指示值(标称值).

测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。

利用修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值(2.1-5)

例如由某电流表测得的电流示值为0.83mA，查该电流表检定证书，得知该表在0.8mA及其附近的修正值都为－0.02mA，那么被测电流的实际值为

智能仪器的优点之一就是可利用内部的微处理器，存贮和处理修正值，直接给出经过修正的实际值。

2．相对误差相对误差用来说明测量精度的高低，又可分为：

(1)实际相对误差实际相对误差定义为(2.1-6)

(2)示值相对误差示值相对误差也叫标称相对误差，定义为(2.1-7)如果测量误差不大，可用示值相对误差代替实际相对误差，但若相差较大，两者应加以区别。实际值测量值

(3)满度相对误差满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差

与测量仪器满度值(量程上限值)的百分比值(2.1-8)

满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。

通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值(2.1-9)我国电工仪表的准确度等级就是按满度误差来分级的。依次有0.10.20.51.01.52.55.0七级。

[例]某电压表s＝1.5，试算出它在0V～100V量程中的最大绝对误差。

解：在0V～l00V量程内上限值xm＝100V，测量仪器在同量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，

在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于△xm，人们把这种处理叫作误差的整量化。

为了减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值能接近满度值，一般以示值不小于满度值的2／3为宜。

[例2]某1.0级电流表，满度值xm＝l00uA，求测量值分别为x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA时的绝对误差和示值相对误差。绝对误差是不随测量值改变。而测得值分别为100A、80A、20A时的示值相对误差各不相同，分别为解：绝对误差可见在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。测量中所用仪表的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等(仅考虑仪器误差)。否则测得值的准确度数值将低于仪表的准确度等级。

[例3]要测量100℃的温度，现有0.5级、测量范围为0～300℃和l.0级、测量范围为0～l00℃的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。解：对0.5级温度计，可能产生的最大绝对误差因此示值相对误差按照误差整量化原则，认为该量程的绝对误差为：同样可算出用l.0级温度计可能产生的绝对误差和示值相对误差在实际测量操作时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程再行测量，以尽可能减小相对误差。

(4)分贝误差分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).

分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。(2.1-10)用对数表示为(2.1-11)Gx称为增益测得值的分贝值。

分贝误差的表示形式设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的测得值分别为Ui和Uo，则电压增益Au，的测得值为设A为电压增益实际值，其分贝值G=20lgA，(2.1-12)(2.1-13)由此得到

(2.1-15)

(2.1-14)显然与增益的相对误差有关，可看成相对误差的对数表现形式，称之为分贝误差。

(2.1-16)若令则分贝误差可写成若测量的是功率增益，分贝误差定义为

(2.1-17)示值相对误差

[例4]某电压放大器，当输入端电压Ui＝1.2mV时，测得输出电压Uo＝6000mV，设Ui误差可忽略，Uo的测量误差求：放大器电压放大倍数的绝对误差，相对误差及分贝误差。解：电压放大倍数电压分贝增益输出电压绝对误差因忽略Ui误差，所以电压增益绝对误差电压增益相对误差电压增益分贝误差实际电压分贝增益当值很小时，分贝增益定义式(2.1-16)和(2.1-17)中的可分别利用下面近似式得到：(电压、电流类增益)(功率类增益)(2.1-18)(2.1-19)如果在测量中，使用的仪器是用分贝作单位，则分贝误差直接按来计算。例如某衰减器标称值为20dB，经检定为20.5dB，则其分贝误差为给出值：x真值：x0测量误差根据表示方法，可分为：小结三、容许误差

测量仪器的误差是产生测量误差的主要因素。

容许误差是指测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围。容许误差有时就称作仪器误差，它是恒量电子测量仪器质量的最重要的指标。电子测量仪器的精度和稳定性等，都可用仪器的容许误差来表征。规定用工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差等四项指标来描述电子测量仪器的容许误差。仪器的容许误差的表示方法可以用绝对误差，也可用相对误差.

l.工作误差

工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的影响特性为任意可能的组合时，仪器误差的最大极限值。

优点：对使用者非常方便，可以利用工作误差直接估计测量结果误差的最大范围。

缺点：工作误差是在最不利的组合条件下给出的，而实际使用中构成最不利组合的可能性很小。

因此，用仪器的工作误差来估计测量结果的误差会偏大.

2．固有误差

固有误差是当仪器的各种影响量和影响特性处于基准条件时，仪器所具有的误差。这些基准条件是比较严格的，所以这种误差能够更准确地反映仪器所固有的性能，便于在相同条件下，对同类仪器进行比较和校准.基准用来复现某一基本测量单位的量值，只用于鉴定各种量具的精度，不直接参加测量。

3．影响误差

影响误差是当一个影响量在其额定使用范围内(或一个影响特性在其有效范围内)取任一值，而其它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。例如温度误差、频率误差等。只有当某一影响量在工作误差中起重要作用时才给出，它是一种误差的极限.4.稳定误差

稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。习惯上以相对误差形式给出或者注明最长连续工作时间。4位半直流数字电压表2V档的容许误差（工作误差）为：其含义为：该电压表在2V档的最大绝对误差为：绝对形式给出的误差相对形式给出的误差(2.1-20)4位半：数字显示共5位，最高位只能是0或者1，后四位则可以在0~9任意取值。因此最大显示19999。2V档

[例5]用4位半数字电压表2V档和200V档测量1V电压，该电压表各档容许误差均为个字，试分析用上述两档分别测量时的相对误差。解：①用2V档测量，仿照式(2.1-20)，绝对误差为测量数值(显示值)为0.9996到1.0004V间，有效显示数字是四位到五位。相对误差为②用200V档测量，绝对误差为可见此时±1个字误差占了误差的绝大部分，由于此时最末位1个字误差或最末位为l时代表的数值是10mV或0.01V，因此此时电压表显示为0.99～1.01V，显示有效数字为二到三位。相对误差为2.2测量误差的来源

一、仪器误差

仪器误差又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。仪器误差还可细分为：读数误差，包括出厂校准定度不准确产生的校准误差、刻度误差、读数分辨力有限而造成的读数误差及数字式仪表的量化误差(±l个字误差)；仪器误差使用误差人身误差影响误差方法误差

二、使用误差

使用误差又称操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的误差。比如有些设备要求正式测量前进行预热而未预热；有些设备要求水平放置而倾斜或垂直放置；有的测量设备要求实际测量前须进行校准(例如：普通万用表测电阻时应校零，用示波器观测信号的幅度前应进行幅度校准等)而未校准，等等。

减小使用误差的最有效途径是提高测量操作技能，严格按照仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作。

三、人身误差

人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳＼固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。

比如指针式仪表刻度的读取等，很容易产生误差.

减小人身误差的主要途径有：提高测量者的操作技能和工作责任心；采用更合适的测量方法；采用数字式显示的客观读数以避免指针式仪表的读数视差等。

四、影响误差

影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。

对电子测量而言，最主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。在精密测量及计量中，需根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响数值求出各项影响误差，以便根据需要做进一步的数据处理。例如:用均值检波器测量交流电压时，平均值检波器输出正比于被测正弦电压的平均值U，而交流电压表通常以有效值U定度，两者间理论上应有下述关系：

五、方法误差

方法误差是指所使用的测量方法不当，或测量所依据的理论不严密，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法误差也称作理论误差。

(2.2-1)式中，称为定度系数。由于和均为无理数，因此当用有效值定度时，只好取近似公式(2.2-2)显然两者相比，就产生了误差，这种由于计算公式的简化或近似造成的误差就是一种理论误差.

方法误差通常以系统误差(主要是恒值系统误差)形式表现出来。因为产生的原因是由于方法、理论、公式不当或过于简化等造成，因而在掌握了具体原因及有关量值后，原则上都可以通过理论分析和计算或改变测量方法来加以消除或修正。

[例1]图中虚框代表一台输入电阻Rv＝10MΩ，仪器工作误差(也称不确定度)为“±0.005％读数±2个字”的数字电压表，读数

Uo＝l0.0225V；Rs

＝10kΩ，试分析仪器误差和方法误差。解:即比值Rs/RV愈大，示值相对误差也愈大，这是一种方法误差。将RV

＝10MΩ，Rs

＝10kΩ代入式(2．2-4)，得方法误差：电压表本身的仪器误差测得值Uo与实际值Us间有确定的函数关系，只要知道和，那么这里的方法误差可以得到修正。实际上由式(2.2-3)可以得到

(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有关数据，得到2.3误差的分类

一、系统误差定义：在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差，简称系差。如果系差的大小、符号不变而保持恒定，则称为恒定系差，否则称为变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的系差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。根据测量误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即0图2.3-l描述了几种不同系差的变化规律：直线a表示恒定系差；直线b属变值系差中累进性系差，这里表示系差递增的情况，也有递减系差；曲线c表示周期性系差，在整个测量过程中，系差值成周期性变化；曲线d属于按复杂规律变化的系差。图2.3-1系统误差的特征系统误差的主要特点是，只要测量条件不变，误差即为确切的数值，用多次测量取平均值的办法不能改变或消除系差，而当条件改变时，误差也随之遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性。例如，标准电池的电动势随环境温度变化而变化，因而实际值和标称值间产生一定的误差△E，它遵循下面规律：式中E20和Et，分别为环境温度为+20℃和t℃时标准电池的电动势。又如，在§2．2中叙述的、用均值检波电压表测量正弦电压有效值采用近似公式(2.2-2)代替理论公式(2.2-1)，因而带来理论误差，用提高均值检波器的准确度或用多次测量取平均值等方法都无法加以消除，只有用修正公式的办法来减小误差。正是由于这类误差的规律性，因此把理论误差归入系统误差一类中。归纳起来，产生系统误差的主要原因有：测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等.测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。采用近似的测量方法或近似的计算公式等o测量人员估计读数时习惯偏于某方向等原因所引起的误差。

系统误差体现了测量的正确度，系统误差小，表明测量的正确度高.

二、随机误差随机误差又称偶然误差，是指对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化的误差。就单次测量而言，随机误差没有规律，其大小和方向完全不可预定，但当测量次数足够多时，其总体服从统计学规律，多数情况下接近正态分布。随机误差的特点：

有界性：在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限。

对称性：当测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同。

抵偿性：随机误差的算术平均值趋于零。

由于随机误差的上述特点，可以通过对多次测量取平均值的办法，来减小随机误差对测量结果的影响，或者用其他数理统计的办法对随机误差加以处理。表2.3-l对某电阻进行15次等精度测量的结果图2.3-2电阻测量值的随机误差由表2.3-l和图2.3-2可以看出以下几点：①正误差出现了7次，负误差出现了6次，两者基本相等，正负误差出现的概率基本相等，反映了随机误差的对称性.②误差的绝对值介于(0，0.1)、(0.1，0.2)、(0.2，0.3)、(0.3，0.4)、(0.4，0.5)区间，大于0.5的个数分别为6、3、2、1、2和1个，反映了绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小.

③∑vi＝0，正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性。④所有随机误差的绝对值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。

产生随机误差的主要原因包括：①测量仪器元器件产生噪声，零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等.②温度及电源电压的无规则波动，电磁干扰，地基振动等③测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。随机误差体现了多次测量的精密度，随机误差小，则精密度高。

三、粗大误差

在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。确认含有粗差的测得值称为坏值，应当剔除不用，因为坏值不能反映被测量的真实数值.

产生粗差的主要原因包括：①测量方法不当或错误。例如用普通万用表电压档直接测量高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等.②测量操作疏忽和失误。例如未按规程操作，读错读数或单位，或记录及计算错误等.③测量条件的突然变化。例如电源电压突然增高或降低，雷电干扰，机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。这类变化虽然也带有随机性，但由于它造成的示值明显偏离实际值，因此将其列入粗差范畴。

1、对误差按其性质进行的划分，具有相对性，某些情况可互相转化。

如：谐振法测量阻抗时因调谐产生的误差，是一种系统误差，却表现出随机性。

2、除粗差较易判断和处理外，在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，需根据各自对测量结果的影响程度，作不同的具体处理。小结

2.4随机误差分析多次等精度测量时产生的随机误差及测量值服从统计学规律。本节从工程应用角度，利用概率统计的一些基本结论，研究随机误差的表征及对含有随机误差的测量数据的处理方法。

一、测量值的数学期望和标准差

1．数学期望设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。

(2.4-1)式中x也称作样本平均值。定义n个测得值(随机变量)的算术平均值为当测量次数时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望(2.4-2)式中Ex也称作总体平均值。假设测得值中不含系统误差和粗大误差，则第i次测量得到的测得值xi与真值间的绝对误差就等于随机误差(2.4-3)式中分别表示绝对误差和随机误差。随机误差的算术平均值：当时，上式中第一项即为测得值的数学期望Ex，所以

(2.4-4)由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大时，趋于零：(2.4-5)即随机误差的数学期望等于零。(2.4-6)即测得值的数学期望等于被测量真值A.实际上不可能做到无限多次的测量，对于有限次测量，当测量次数足够多时近似认为(2.4-7)(2.4-8)由上述分析我们得出，在实际测量工作中，当基本消除系统误差又剔除粗大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测得值的算术平均值很接近被测量真值，因此就将它作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。

2．剩余误差当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：对上式两边分别求和，有(2.4-10)方差定义为时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即

3．方差与标准差

随机误差反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，因此不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描述。

(2.4-11)因为随机误差，故(2.4-12)方差是相应单位的平方，使用不甚方便。为了与随机误差单位一致，将上式两边开方，取正平方根，得

(2.4-13)式中定义为测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏差，简称标准差。

标准差反映了测量的精密度。

二、随机误差的正态分布

1．正态分布当进行大量等精度测量时，随机误差服从统计规律。理论和测量实践都证明，测得值与随机误差都按一定的概率出现。在大多数情况下，测得值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。表现在随机误差上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的加大，出现的概率急剧减小。

测得值和随机误差的这种统计分布规律，称为正态分布。图2.4-1的正态分布曲线对于正态分布的xi

，其概率密度函数为概率分布函数图2.4-2的正态分布曲线

设测得值xi在x到x+dx

范围内出现的概率为P，它正比于dx，并与x值有关，即(2.4-15)式中定义为测量值xi的分布密度函数或概率分布函数，显然(2.4-16)对于正态分布的xi

，其概率密度函数为(2.4-17)同样，对于正态分布的随机误差，概率密度函数为：(2.4-18)①愈小，愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小，随着的加大，很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(随机误差的有界性).②大小相等符号相反的误差出现的概率相等(随机误差的对称性和抵偿性).③愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测得值愈集中，精密度高，反之。愈大，曲线愈平坦，表明测得值分散，精密度低。

正态分布又称高斯分布，在误差理论中占有重要的地位。由众多相互独立的因素的随机微小变化所造成的随机误差，大多遵从正态分布，例如信号源的输出幅度、输出频率等，都具有这一特性。

2．均匀分布均匀分布是仅次于正态分布的一种重要分布。特点:在误差范围内，误差出现的概率各处相同。图2.4-3均匀分布的概率密度①仪表度盘刻度误差。由于仪表分辨力决定的某一范围内，所有的测量值可以认为是一个值。例如用500V量程交流电压表测得值是220V，实际上由于分辨不清，实际值可能是219V一221V之间的任何一个值，在该范围内可认为有相同的误差概率。②数字显示仪表的最低位±l(或几个字）的误差。例如末位显示为5，实际值可能是4－6间任一值，也认为在此范围内具有相同的误差概率。数字式电压表或数字式频率计中都有这种现象。③由于舍入引起的误差。去掉的或进位的低位数字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或1，被进位的可以认为是5、6、7、8、9中任何一个。

3．极限误差

对于正态分布的随机误差，根据其概率密度函数可以算出随机误差落在区间的概率为(2.4-23)该结果的含义可理解为，在进行大量等精度测量时，随机误差落在区间的测得值的数目占测量总数目的68.3％，或者说，测得值落在范围(该范围在概率论中称为置信区间)内的概率(在概率论中称为置信概率)为0.683.

同样可以求得随机误差落在和范围内的概率为(2.4-24)(2.4-25)即当测得值xi的置信区间为和

时的置信概率分别为0.954和0.997。由式(2.4-25)可见，随机误差绝对值大于3σ的概率(可能性)仅为0.003或0.3％，实际上出现的可能极小，因此定义极限误差为：

(2.4-26)

4.贝塞尔公式随机误差其中xi为第i次测得值，A为真值，为xi的数学期望，且

在这种前提下，我们用测量值数列的标准差来表征测量值的分散程度，并有实际上不可能做到的无限次测量。当n为有限值时，我们用残差来近似或代替真正的随机误差，用表示有限次测量时标准误差的最佳估计值，可以证明

(2.4-27)上式称为贝塞尔公式。式中，若n＝l，则值不定，表明测量的数据不可靠.这是贝塞尔公式的另一种表达形式。有时简称标准差估计值。仍以§2.3中表2.3-1为例，可以算出

(2.4-28)标准差的最佳估计值还可以用下式求出

5．算术平均值的标准差如果在相同条件下对同一被测量分成m组，每组重复n次测量，则每组测得值都有一个平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也不相同，而是围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存在着随机误差。我们用来表示算术平均值的标准差，由概率论中方差运算法则可以求出

(2.4-29)同样定义为算术平均值的极限误差，与真值间的误差超过这一范围的概率极小，因此，测量结果可以表示为

z＝算术平均值±

算术平均值的极限误差

(2.4-30)在有限次测量中，以表示算术平均值标准差的最佳估值，有因为实际测量中n只能是有限值，所以有时就将和叫作测量值的标准差和测量平均值的标准差，从而将式(2.4-27)和(2.4-31)直接写成

(2.4-31)

(2.4-32)

(2.4-33)三、有限次测量下测量结果的表达算术平均值的标准差随测量次数n的增大而减小，但减小速度要比n的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减小标准差收益不大，因而实际测量中n的取值并不很大，一般在10到20之间。

(2.4-32)

(2.4-33)对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按下述步骤进行：①列出测量数据表；②计算算术平均值，残差及；③按式(2.4-32)、(2.4-33)计算和；④给出最终测量结果表达式：

[例1]用电压表对某一电压测量10次，设已消除系统误差及粗大误差，测得数据及有关计算值如表2.4-1，试给出最终测量结果表达式。表2.4-1解：计算得到，表示的计算正确。进一步计算得到：因此该电压的最终测量结果为2.5系统误差分析一、系统误差的特性排除粗差后，测量误差等于随机误差和系统误差的代数和(2.5-1)假设进行n次等精度测量，并设系差为恒值系差或变化非常缓慢即，则的算术平均值为(2.5-2)当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，的算术平均值趋于零，于是由式(2．5-2)得到(2.5-3)当系差与随机误差同时存在时，若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系差.这说明测量结果的准确度不仅与随机误差有关，更与系统误差有关。历史上雷莱曾利用不同的来源和方法制取氮气，测得氮气的平均密度和标准偏差如下：化学法提取：＝2.2997l＝0.00041

大气中提取：=2.31022=0.00019

平均值之差：＝0.01051

标准偏差：二、系统误差的判断

1.理论分析法

凡属由于测量方法或测量原理引入的系差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系差，甚至计算出系差的大小.§2.2[例1]中用内阻不高的电压表测量高内阻电源电压就是一例.

3.改变测量条件法系差常与测量条件有关，如果能改变测量条件，比如更换测量人员、测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系差。上述2、3两种方法都属于实验对比法，一般用来发现恒值系差.

2.校准和比对法当怀疑测量结果可能会有系差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系差。测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值，目的就是发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差。也可以采用多台同型号仪器进行比对，观察比对结果以发现系差，但这种方法通常不能查觉和衡量理论误差。图2.5－1系统误差的判断不存在系差累进性系差周期性系差累进性+周期性系差4．剩余误差观察法剩余误差观察法是根据测量数据数列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，以判断有无系差及系差类型。

5．公式判断法通常有马林科夫判据和阿卑—赫梅特判据，可分别用采判定有无累进性系差和周期性系差，详细论述可参阅参考书目[1]、[3]等。三、消除系统误差产生的根源采用的测量方法和依据的原理正确，后面我们将专门讨论能有效消弱系统误差的测量技术与方法。选用的仪器仪表类型正确，准确度满足测量要求，如要测量工作于高频段的电感电容，应选用高频参数测试仪(如LCCG—l高频LC测量仪)，而测量工作于低频段的电感电容就应选用低频参数测试仪(如WQ—5电桥、QSl8A万能电桥).

测量仪器应定期检定、校准，测量前要正确调节零点，应按操作规程正确使用仪器。尤其对于精密测量，测量环境的影响不能忽视，必要时应采取稳压/恒温、电磁屏蔽等措施。条件许可时，可尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器，以减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。提高测量人员的学识水平、操作技能，去除一些不良习惯，尽量消除带来系统误差的主观原因。

四、消弱系统误差的典型测量技术

1．零示法零示法是在测量中，把待测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。图2.5-2零示法原理图零示器的种类有光电检流计、电流表、电压表、示波器、调谐指示器、耳机等，只要零示器的灵敏度足够高，测量的准确度基本上等于标准量的准确度，而与零示器的准确度无关，从而可消除由于零示器不准所带来的系统误差。图2.5-3电位差计原理图电位差计是采用零示法的典型例子，图2.5-3是电位差计的原理图。其中Es为标准电压源，Rs为标准电阻，Ux为待测电压，零示器一般用检流计。被测量Ux的数值仅与标准电压源Es及标准电阻R2、Rl有关，只要标准量的准确度很高，被测量的测量准确度也就很高。零示法广泛用于阻抗测量(各类电桥)、电压测量(电位差计及数字电压表)、频率测量(拍频法、差频法)及其他参数的测量中。

2．替代法替代法又称置换法。它是在测量条件不变的情况下，用一标准已知量去替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量值。由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变，因此测量中的恒定系差对测量结果不产生影响，测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度。图2.5-4替代法测量电阻图2.5-4是替代法在精密电阻电桥中的应用实例。首先接入未知电阻Rx，调节电桥使之平衡，此时有(2.5-5)由于都有误差，若利用它们的标称值来计算Rx，则Rx也带有误差，即

(2.5-6)进一步计算，得到

(2.5-7)为了消除上述误差，现用可变标准电阻Rs代替Rx，并在保持不变的情形下通过调节Rs

，使电桥重新平衡，因而得到

(2.5-8)比较式(2.5-6)、(2.5-8)，得到可见测量误差△Rs

，仅决定于标准电阻的误差△Rs，而与的误差无关。

(2.5-9)

3．补偿法补偿法相当于部分替代法或不完全替代法。这种方法常用在高频阻抗、电压、衰减量等测量中。谐振法(如Q表)测电容即采用补偿法。图2.5-5为测量原理图，其中u为高频信号源，L为电感，C0为分布电容，Cx为待测电容。调节信号源频率使电路谐振(此时电压表指示最大)，设谐振频率为了f0，可以算出：

(2.5-10)图2.5-5谐振法测电容补偿法测电容仅接入Cs1时有接入Cx后有比较两