逻辑代数基础前半部分

4.1.1数制4.1.2几种简单的编码第四章数字逻辑基础4.1数制和BCD4.1.0数字信号和数字电路（补）数字电路的特点数字电路典型应用

数字电路的分类数字信号与数字电路脉冲波形的参数4.1.1数字信号和数字电路（补）一、数字信号与数字电路数字信号-----在时间上和数值上都是离散的信号。数字电路-----用于传递、加工和处理数字信号的电子电路。4.1.1数字信号和数字电路（补充内容）tv模拟信号-----在时间上或数值上是连续的信号。模拟电路-----用于加工、处理和传递模拟信号的电子电路。tv实现各种逻辑运算和算术运算。数字电路中的半导体器件多工作在开关状态。数字电路适于集成化。二、数字电路的特点100101计算机数字仪表三、数字电路的典型应用网络通讯生活物品四、数字电路分类1.分立元件数字电路---是将晶体管,电阻,电容等元器件用导线在线路板上连接起来的电路。小规模集成电路SSI（100以下）中规模集成电路MSI（〈103）大规模集成电路LSI（〈104）超大规模集成电路VLSI（105以上）2.集成数字电路---将上述元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。五、脉冲波形的主要参数Um0.1Um0.1UmtUtrtftwT1、脉冲幅度Um---脉冲从起始值到峰值之间的变化幅度。2、脉冲上升时间tr---脉冲从0.1Um上升到0.9Um所需的时间。3、脉冲下降时间tf---脉冲从0.9Um下将到0.1Um所需的时间。Um0.1Um0.1UmtUtrtftwT4、脉冲宽度tw

---脉冲上升沿0.5Um到下降沿0.5Um之间的时间，也叫持续时间。5、脉冲周期T---两个相邻脉冲重复出现的时间间隔。6、脉冲频率f---周期性脉冲每秒出现的脉冲次数。7、占空比q---脉冲宽度与脉冲周期的比值（tw

/T）

。Um0.1Um0.1UmtUtrtftwT0.5Um1、不仅能完成算术运算，还可完成逻辑运算；2、工作准确可靠，精度高，抗干扰能力强。

3、可以利用压缩技术减少数据量，便于信号传输。4、电路结构简单，易于制造，功能容易实现，便于集成，集成度高。六、数字电路相比于模拟电路的优点4.1.1数制一、数制（进位计数制、进位制、计数制）---是指用一组数字符号和统一的规则来表示数值的方法。1)二进制表示数字容易实现。

2)二进制运算规则简单。

1、几种常见数制加法规则：0＋0=00＋1=11＋0=11＋1=0（进位为1）减法规则：0－0=00－1=1（借位为1）1－0=11－1=0乘法规则：0×0=00×1=01×0=01×1=1除法规则：0÷1=01÷1=1

l

和运算：l

差运算：

l

积运算：l

商运算：

十进制特点1、有十个不同的数字符号0，1，2，……9，基数为102、“逢十进一，借一当十”的运算规则。即9+1=10，本位得0，向高一位进一3、任何十进制数可写成“以基数10为底的幂的和”形式，第i位的权为（10）i

举例(4286.57)10------位置法=4×103+2×102+8×101+6×100+5×10-1+7×10-2

------展开法=

------公式法表示方法(4286.57)10=4286.57D进位制项目数码与权的乘积，称为加权系数，如4×103、2×102

∴十进制的数值为各位加权系数之和。∑i=－mn－1Ki10i

二进制特点1、有二个不同的数字符号0，1,基数为22、“逢二进一，借一当二”的运算规则。即1+1=10（读壹零），本位得0，向高一位进一3、任何二进制数可写成“以基数2为底的幂的和”形式，第i位的权为（2）i

举例(1011.01)2------位置法=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2

-----展开法=

------公式法表示方法(1011.01)2=1011.01B∑i=－mn－1Ki2i进位制项目二进制数的各加权系数之和==其对应的十进制数

八进制特点1、有八个不同的数字符号0，1，2，……7，基数为8

2、“逢八进一，借一当八”的运算规则。即7+1=10（读壹零），本位得0，向高一位进一3、任何八进制数可写成“以基数8为底的幂的和”形式，第i位的权为（8）i

举例(437.25)8------位置法

=4×82+3×81+7×80+2×8-1+5×8-2

------展开法=

------公式法表示方法(437.25)8=437.25Q∑i=－mn－1Ki8

i进位制项目∴八进制数的各加权系数之和就是其对应的十进制数。256+24+7+0.25+0.078125=(287.328125）10

十六进制特点1、有十六个不同的数字符号0，1，2，…9，A，B，C，D，E，F，基数为162、“逢十六进一，借一当十六”的运算规则。即F+1=10（读壹零），本位得0，向高一位进一3、任何十六进制数可写成“以基数16为底的幂的和”形式，第i位的权为（16）i

举例(3BE.C4)16------位置法=3×162+B×161+E×160+C×16-1+4×16-2

------展开法=

------公式法表示方法(3BE.C4)16=3BE.C4H∑i=－mn－1Ki16i进位制项目十六进制数的各加权系数==其对应的十进制数768+176+14+0.75+0.015625=(958.765625）16

任意R进制特点1、有R个不同的数字符号0，…R-1,基数为R2、“逢R进一，借一当R”的运算规则。即R+1=10（读壹零），本位得0，向高一位进一3、任何R进制数可写成“以基数R为底的幂的和”形式，第i位的权为（R）i

，

举例(N)R

=Kn-1Kn-2

…Kn-(m-1)K0K-1K-2

…K-m

-----位置法=Kn-1×Rn-1+Kn-2×Rn-2+

…

Kn-(n-1)×Rn-(n-1)+

…

+K0×R0+K-1×

R-1+K-2×

R-2+…K-m×

R-m

------展开法=

------公式法表示方法(N)R∑i=－mn－1KiR

i进位制项目任意R进制数的各加权系数之和==其对应的十进制数

常用数制对照表十进制二进制八进制十六进制000011112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1610000201017100012111任意R进制数十进制数一、任意R进制数转换成十进制数方法：加权系数之和2、不同数制间的转换整数部分二、十进制数转换成任意R进制数小数部分用R除后取余，逆序排列----反序取余法用R乘后取整，顺序排列---顺序取整法2、十进制数转换成二进制数整数采用除2取余法。即：将十进制整数除以2，得到一个商数和余数，再将商数除以2，又得到一个商数和余数，直到商等于零为止。所得各次余数，逆序排列。1、二进制数转换成十进制数例如：十进制数和二进制数的转换小数采用乘2取整法。即：将十进制小数乘以2，然后取出所得乘积的整数部分，再将纯小数部分乘以2，又取出所得乘积的整数部分，直到小数部分为零或满足精度为止，所得各次整数顺序排列。例如：将（75.625）10转换成二进制数。(75.57)10=(1001011.101)2结果为：1001011结果为：101

0.57╳21.140.14╳20.280.28╳20.560.56╳21.120.12╳20.240.24……整数为1……整数为0……整数为0……整数为1……整数为0(0.57)10=(0.1001)2三、二进制数与八进制数的转化2、八进制数转换成二进制数方法：从二进制数的小数点开始，向左右两个方向以每三位二进制数分为一组，不够的用“0”补足三位，然后用对应的八进制数来等值代替每一个这样的组，即为八进制表示。将每位八进制数用三位二进制数代替，再按原来的顺序排列，即得相应的二进制数。1、二进制数转换成八进制数255.54？206.32解：000……0001……1010……2011……3100……4101……5110……6111……7206.32二进制八进制一位拆三位三位并一位000……0001……1010……2011……3100……4101……5110……6111……7

2、十六进制数转换成二进制数方法：从二进制数的小数点开始，向左右两个方向以每四位二进制数分为一组，不够的用“0”补足四位，然后用对应的十六进制数来等值代替每一个这样的组，即为十六进制表示。将每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原来的顺序排列，即得相应的二进制数。1、二进制数转换成十六进制数四、二进制数与十六进制数的转化6ED.B4解：解：3D7E.A40000……00001……10010……20011……30100……40101……50110……60111……71000……81001……91010……A1011……B1100……C1101……D1110……E1111……F二进制十六进制一位拆四位四位并一位0000……00001……10010……20011……30100……40101……50110……60111……71000……81001……91010……A1011……B1100……C1101……D1110……E1111……F2、十六进制数转换成八进制数方法：将八进制数先转换成二进制数，再由二进制数转换为十六进制数。方法：将十六进制数先转换成二进制数，再由二进制数转换为八进制数。1、八进制数转换成十六进制数五、八进制数与十六进制数的转化例：(B6.A8)16

=(？)8266

.520010110110101010000解：B6.A8∴(B6.A8

)16=(266.

520)8

.例：(1777)8

=(？)163FF001111111111解

1777∴(1777)8

=(3FF)160000……00001……10010……20011……30100……40101……50110……60111……71000……81001……91010……A1011……B1100……C1101……D1110……E1111……F1、对于一般的进制数，可先将已知的进制数转换成十进制数，再由该十进制数转换成待求进制的数。已知的进制数十进制数待求进制的数加权系数和整数逆序取余小数顺序取整六、任意两种进位制之间的转化

2、对于以2的幂次方为基数的进位制之间的转换，即先将已知的进制数转换成二进制数，再由该二进制数转换成待求进制的数）。2n为基数的进位制数二进制数2m为基数的进位制数已知待求“＋”号用“0”表示，“－”号用“1”表示。

（1）原码用原码表示带符号的二进制数，符号位用“0”表示正，用“1”表示负，数值位保持不变。（＋75）10=（＋1001011）2=（01001011）原（－75）10

=（－1001011）2=（11001011）原

优点：原码简单易懂；缺点：实现加、减运算不方便，使逻辑电路结构变得很复杂。3、带符号位二进制数的表示（2）反码用反码表示带符号的二进制数，*用“0”表示正，用“1”表示负；*数值位与符号位相关，正数反码的数值位和原码的数值位相同；负数反码的数值位是原码数值位按位变反。（＋75）10=（＋1001011）2=

（01001011）反（－75）10=（－1001011）2=（10110100）反

反码运算规则：

1、（N1＋N2）反=（N1）反＋（N2）反（N1－N2）反=（N1）反＋（－N2）反

2、运算时符号位和数值位一起参加运算。当符号位有进位时，应将该进位加到运算结果的最低位才能得到最后结果。例如：N1＝＋0.1011，N2=＋0.0001（N1）反＝（0.1011）2，（N2）反＝（0.0001）2

，（－N2）反＝（1.1110）2则（N1＋N2）反＝（N1）反＋（N2）反

=（0.1011）2＋（0.0001）2=（0.110）2（N1－N2）反＝（N1）反＋（－N2）反

=（0.1011）2＋（1.1110）2=（0.1010）2

优点：1、反码比原码运算方便，可用加法代替减法；

2、符号位不用单独处理。缺点：1、数值0有＋0（0.000…0）和－0（1.111…1）之分，给运算器设计带来麻烦；

2、运算后需要判断是否需要循环进位，运算速度降低。０．１０１１＋１．１１１０

１０．１００１＋１循环进位０．１０１０（3）补码用补码表示带符号的二进制数，*用“0”表示正，用“1”表示负；*数值位与符号位相关，正数补码的数值位与原码、反码相同；负数补码的数值位是原码数值位按位变反，并在最低位加1。（＋75）10=（＋1001011）2=

（01001011）补（－75）10=（－1001011）2=（10110101）补补码运算规则：

1、（N1＋N2）补=（N1）补＋（N2）补（N1－N2）补=（N1）补＋（－N2）补

2、运算时，符号位和数值位一样参加运算。当符号位有进位产生时，应将该进位去掉后才能得到正确的结果。优点：可以将减运算均通过加法实现；进行加、减运算最方便。例如：N1＝－0.0100，N2=－0.1100（N1）补＝（1.1100）2，（N2）补＝（1.0100）2

，（－N2）补＝（0.1100）2则（N1＋N2）补＝（N1）补＋（N2）补

=（1.1100）2＋（1.0100）2=（1.0000）2

１．１１００＋１．０１００１１．００００进位1舍去

（N1－N2）补＝（N1）补＋（－N2）补

=（1.1100）2＋（0.1100）2=（0.1000）2

１．１１００＋０．１１００１０．１０００进位1舍去数字系统中信息分两类：数值信息：二进制数被赋予数值意义，表示数值大小，用来进行算术运算；

文字符号（包括控制符）信息：二进制数被赋予逻辑意义，表示事物状态，完成逻辑运算。

二进制代码----用来表示特定信息的二进制数码。

编码-----建立二进制代码与十进制数值、字母、符号的一一对应关系。码制----编制代码时要遵循的规则。4.1.2几种简单的编码如何在计算机内部用“0”和“1”的不同二进制代码组合形式来表示一个十进制数。1.数码的意义----凡采用若干位二进制数码表示一位十进制数的代码，统称为二-十进制代码，简称BCD码(BinaryCodedDecimal)。

16！/（16-10）！=2.9*1010

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111(1)二-十进制代码（BCD码）

2．几种常用的代码根据BCD代码每一位是否有固定的位权，分有权码、无权码。5211BCD码十进制数8421BCD码5421BCD码0123456789000000010010001101000101011001111000100100000001001000110100100010011010101111002421BCDA码2421BCDB码余3码000000010010001101000101011001111110111100000001001000110100101111001101111011110011010001010110011110001001101010111100余3循环码0010011001110101010011001101111111101010编码方案8421BCD码（有权码、恒权码）例：（0111）8421BCD=0×8+1×4+1×2+1×1=（7）100000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111十进制数8421BCD码四位自然二进制数012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010001010110011110001001十进制数8421BCD码四位二进制数012345678910111213…98000000010010001101000101011001111000100100010000000100010001001000010011…1001100000000001001000110100010101100111100010011010101111001101…1100010例:十进制数7985的8421BCD码。十进制数8421BCD码二进制数012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010001010110011110001001(7985)10=(0111100110000101)8421BCD码余3码（无权码）5421BCD码（恒权码）

十进制数8421BCD码5421BCD码0123456789000000010010001101000101011001111000100100000001001000110100100010011010101111002421BCDA码2421BCDB码余3码000000010010001101000101011001111110111100000001001000110100101111001101111011110011010001010110011110001001101010111100余3循环码0010011001110101010011001101111111101010编码方案2421BCD码（恒权码）

例如：（1101）2421BCD=1×2+1×4+0×2+1×1=（7）10(863)10=(111011000011)2421BCD十进制数8421BCD码5421BCD码0123456789000000010010001101000101011001111000100100000001001000110100100010011010101111002421BCDA码2421BCDB码余3码000000010010001101000101011001111110111100000001001000110100101111001101111011110011010001010110011110001001101010111100余3循环码0010011001110101010011001101111111101010编码方案格雷码（无权码、循环码）（2）、可靠性代码7011181000错误最小化代码十进制数四位自然二进制码四位格雷码012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000特点：任意两组相邻代码之间只有一位数码（码元）不同，其余各位都相同。奇偶校验码一部分是需要传送的信息本身；另一部分是1位奇偶校验位，其数值为0或1，它应使整个代码中“1”的个数为奇数或偶数。十进制数8421奇校验码校验位01234567890000000100100011010001010110011110001001100101100100000001001000110100010101100111111011110110100110信息码8421偶校验码校验位信息码奇偶校验位的两种编码方式：奇校验：被传送的信息码加上检验码，含“1”的码元数为奇数。偶校验：被传送的信息码加上检验码，含“1”的码元数为偶数。十进制数8421奇校验码校验位01234567890000000100100011010001010110011110001001100101100100000001001000110100010101100111111011110110100110信息码8421奇校验码校验位信息码局限性：

1、奇偶校验码编码简单，容易实现，但以牺牲信息传输能力来获得检错性能，校验位越多，传输能力越差。

2、奇偶校验码只有检错能力，没有纠错能力。

3、带一位校验码的奇偶校验，只能检测出单个或奇数个码元的错误，不能发现双错。01010100奇偶校验码（3）、字符编码美国信息交换标准码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange），简称ASCII码。国家标准码（GB2312）。字母、标点符号、运算符号和其它特殊符号的编码。01000000奇偶校验码高4位低4位000000010010001101000101011001110123456700000NULDELSP0@P۰p00011SOHDC1!1AQaq00102STXDC2”2BRbr00113ETXDC3#3CScs01004EOTDC4$4DTdt01015ENQNAK%5EUeu01106ACKSYN&6FVfv01117BELETB’7GWgw10008BSCAN(8HXhx10019HTEM)9IYiy1010ALFSUB*:JZjz1011BVTESC+;K[k{1100CFFFS,<L\l|1101DCRGS–=M]m}1110ESORS.>N^n~1111FSIUS/?O-oDEL大大大高4.2.2逻辑代数的基本运算4.2.3复合逻辑4.2逻辑代数基础4.2.1逻辑代数的基本概念4.2.4正逻辑和负逻辑逻辑代数（开关代数、布尔代数）

逻辑代数----是能按一定逻辑规律进行运算的代数。4.2.1逻辑代数的基本概念模拟电路-----图解法、微变等效电路法；数字电路-----逻辑代数（逻辑表达式、逻辑图、真值表、卡诺图）。基本逻辑关系--------与逻辑、或逻辑、非逻辑。

基本逻辑运算：

与运算（逻辑乘法运算）---------------“与门”或运算（逻辑加法运算）---------------“或门”非运算（求反运算）---------------“非门”4.2.2基本逻辑运算实现这三种基本逻辑运算的电路分别是“与门”、“或门”、“非门”因果关系：只有决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生，这种关系就是“与”逻辑。一、与逻辑(ANDLogic)开关A开关B灯Y断

断

合

合断

合

断

合灭

灭

灭

亮YY真值表--用逻辑变量可能出现的全部取值组合判断相应结果的表格①与运算的运算规则：“有0出0，全1出1”。②与逻辑关系表达式:Y=A•B读作“Y等于A与B”④对多变量的与运算可写成Y=A•B•C…“×”、“•”为“与”运算运算符号，也用“∧”、“∩”、“&”表示与运算。③实现与运算的电路称为与门，与门的逻辑符号0•0=00•1=01•0=01•1=1tttAYB因果关系：在决定某一事件的各个条件中，只要具备一个或一个以上的条件，这一事件就能发生，这种因果关系称为或逻辑。二、或逻辑(ORLogic)Y“+”为或逻辑（逻辑加）运算符，也用“∨”、“∪”表示“或”运算。①或运算运算规则：“有1出1，全0出0”②或逻辑关系表达式:Y=A+B③实现或运算的电路称为或门，或门的逻辑符号④对多变量的或运算可写成：Y=A+B+C+...0+0=00+1=11+0=11+1=1tttAYBY=A+B三、非逻辑(NOTLogic)因果关系：条件不具备（开关断开），事情（电灯亮）才会发生；条件具备，事情不会发生，这种因果关系称为“非”逻辑关系。YY①非运算运算规则：取反②非逻辑关系的表达式为:③实现非运算的电路称为非门，非门的逻辑符号若称A为原变量，则为其反变量，读作“A非”或“A反”。“-”是非运算符,也用符号～、¬表示“非”运算非门输出信号和输入信号反相，故非门也叫反相器。反相器ttAY4.2.2复合逻辑运算（几种导出的逻辑运算）复合运算------通过三种基本逻辑运算派生出来的逻辑运算。一、与非逻辑(NANDLogic)

5、与非门逻辑符号6、多输入的与非逻辑表达式：2、与非运算表达式：3、逻辑功能：只要变量A、B、…中有一个为0，则函数Y为1；仅当变量A、B、C、…全部为1时，函数Y为0。

1、与非运算规则：先与再非4、与非门---实现与非逻辑运算的电路。YY=A·BY=A·B·C…二、或非逻辑（NORLogic)

1、或非运算规则：先或再非2、或非逻辑表达式：

5、或非门逻辑符号3、逻辑功能：只要变量A、B、C、…中有一个为1，则函数Y为0；仅当变量A、B、C、…全部为0时，函数Y为1。4、或非门---实现或非逻辑运算的电路。≥YY=A+B+C…6、多输入的或非逻辑表达式：Y=A+B三、与或非逻辑4、与或非门---实现与或非逻辑的门电路。

1、与或非运算规则：先与后或再非2、与或非逻辑表达式3、逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使函数Y为1；否则函数Y为0。Y=AB+CD＆YCD5、与或非门逻辑符号四、异或逻辑“⊕”异或运算符4、异或门---能够实现异或逻辑关系的电路。3、异或运算逻辑表达式：2、真值表5、异或门逻辑符号Y=A⊕B=AB+AB1、异或逻辑关系：当两个输入变量A、B不同时，输出为1；相同时，输出为0。输入变量异或逻辑ABAB000011101110五、同或逻辑4、同或门---能够实现同或逻辑运算的电路。5、同或门逻辑符号3、同或运算逻辑表达式：2、真值表“⊙”同或运算符号Y=A⊙B=AB+AB1、同或逻辑关系：当两个输入变量A、B相同时，输出为1；不同时，输出为0。输入变量同或逻辑ABA⊙B001010100111异或逻辑AB0110六、其他复合逻辑1、或与逻辑F=（A+B）（C+D）2、或与非逻辑F=（A+B）（C+D）3、异或非逻辑F=A⊕B4、同或非逻辑F=A⊙B4.2.4

正逻辑和负逻辑在实际逻辑电路中规定：用“1”表示高电平的输入和输出信号，用“0”表示低电平的输入和输出信号，这种对事件状态的赋值称为正逻辑；用“0”表示高电平的输入和输出信号，用“1”表示低电平的输入和输出信号，这种对事件状态的赋值称为负逻辑；输

入

A

B输

出

YL

LL

HH

LH

HL

L

LH

输

入

A

B输

出

Y0

00

1

1

0

1

10

0

0

1输

入

A

B输

出Y1

1

1

0

0

1

0

01

1

1

0

输入输出电平关系表正逻辑真值表负逻辑真值表例：假定某逻辑门电路输入、输出电平关系。正逻辑负逻辑与或=正“与”=负“或”正“与非”=负“或非”正“或”=负“与”正“或非”=负“与非”正、负逻辑间关系：注：如不加特殊说明一律采用正逻辑体制来描述电路。4.3逻辑代数的公式、基本定律和规则4.3.1逻辑代数的基本公式１．逻辑常量运算基本公式

与运算或运算非运算0·0=00·1=01·0=01·1=10+0=00+1=11+0=11+1=1２．逻辑变量与常量、变量与变量间的运算基本公式

与运算或运算非运算A·0=0A·1=AA·A=AA·=0A+0=AA+1=1A+A=AA+=1输入变量同或逻辑ABA⊙B001010100111异或逻辑AB0110异或运算规则：0⊕0=00⊕1=11⊕0=11⊕1=0一般形式：A⊕0=AA⊕1=AA⊕A=1A⊕A=0同或运算规则：0⊙0=10⊙1=01⊙0=01⊙1=1A⊙0=AA⊙1=AA⊙A=0A⊙A=1一般形式：Y=A⊙B=AB+ABY=A⊕B=AB+AB4.3.2逻辑代数的基本定律１．与普通代数相似的定律（1）交换律

A+B=B+A（1-11）

AB=BA（1-