课题学习：最短路径问题5

第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题课件说明引言：前面我们研究过一些关于

1、“两点的所有连线中，线段最短”（两点之间，线段最短．

）2、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？①②③

两点之间,线段最短(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

A..BP思考:为什么这样就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用ABl

B′P

点P的位置即为所求.M

作法：①作点B关于直线l的对称点B′.

②

连接AB′,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.

为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意两边之和大于第三边比一比，谁想的最快：问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥思考：运动路径中，哪一段路径是恒定不变的？？？运用新知基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

1.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,2.作点C关于直线

OB

的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH2.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点F,2.作点D关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAO