课题学习1：最短路径问题

八年级上册13.4

课题学习最短路径问题引言：前面我们研究过一些关于

1、“两点的所有连线中，线段最短”（两点之间，线段最短．

）2、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.最短路径问题①垂线段最短。②两点之间，线段最短。LABABLC如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？①②③

两点之间,线段最短(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

A..BP思考:为什么这样就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABCLABl

B′P

点P的位置即为所求.M

作法：①作点B关于直线l的对称点B′.

②

连接AB′,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.

为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意两边之和大于第三边由一个平面图形得到它的轴对称的图形叫做轴对称变换。轴对称变换轴对称变换不会改变图形的

和

，只会改变图形

。大小位置形状如图，直线

同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到Ａ、Ｂ之和最小？ABBCD证明：在直线L上任意另取一点D,连接AD,BD,B′D．∵直线Ｌ是点Ｂ，Ｂ′的对称轴，点Ｃ，D在Ｌ上∴ＣB=CB′,DB=DB′∴AC+CB=AC+CB′=AB′∵AB′<AD+DB′∴AC+CB<AD+DB即AC+CB最小。(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。P路线：小明——P——ABB′如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。DEC路线：小明——D——E——A如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC中点D处发出的球，能否依次经BC、AB两条边反射回到D处？如果你认为不能，请说明理由；如果你认为能，请作出球运动的路线。ABCD运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥思考：运动路径中，哪一段路径是恒定不变的？？？问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解决问题2①作图②证明ABMNabA′ABMNabA′M′N′1.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,2.作点C关于直线

OB

的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH2.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点F,2.作点D关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGHABA/B/PQ最短路线：APQBlMN本节课同学们学到了什么：1、利用轴对称的有关知