西安石油大学电路分析基础第6章

第六章正弦稳态电路分析6.4阻抗与导纳阻抗与导纳正弦稳态电路相量模型6.5正弦稳态电路的相量分析法方程法二、等效法相量图的辅助解法6.6正弦稳态电路的功率一端口电路的功率最大功率传输条件6.7三相电路对称三相电源

Y－Y电路分析

Y－Δ电路分析6.1正弦量正弦量的三要素正弦量的有效值相位差6.2正弦量的相量表示正弦量与相量正弦量的相量运算6.3电路定律的相量形式无源元件VCR的相量形式

KCL与KVL的相量形式本章主要内容

一、正弦量的三要素

按正弦(余弦)规律变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量瞬时值表达式：

i(t)=Imcos(ωt+

i)u(t)=Umcos(ωt+

u)振幅、初相、角频率称为正弦量的三要素

本章研究正弦激励下的稳态响应，即正弦稳态分析。在线性电路中，正弦激励作用下的正弦稳态响应也是与电源具有相同频率的正弦量。6.1正弦量Um(Im)：最大值，称为振幅；ωt+

：相位，单位：rad或度(o)。

t=0时的相位称初相位。

-π≤≤πω是正弦量相位变化的速率

周期电压、电流的瞬时值随时间变化，为了简明地衡量其大小，常采用有效值。

当周期信号和直流信号分别通过两个相等的电阻时，若在一个周期T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流数值为周期信号的有效值。二、正弦量的有效值Ri(t)RIWDC=I2RT故得交流电流i(t)的有效值正弦交流电的有效值

通常所说的正弦交流电的大小都是指有效值。如民用交流电压220V。交流仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效值。但绝缘水平、耐压值指的是振幅。注意区分瞬时值、振幅、有效值的符号：i，Im，I三、相位差两个同频率的正弦波之间的相位之差称为相位差。频率相同，则相位差即为初相之差。

u(t)=Umcos(ωt+

u

)

，

i(t)=Imcos(ωt+

i

)θ=(ωt+

u

)-(ωt+

i

)=

u

-

i

tu,iu

iuiθ0若θ=u

-

i

<0，称电压u(t)落后电流i(t)|θ|角，或i(t)超前后u(t)|θ|角。若θ=

u

-i

>0，称电压u(t)超前电流i(t)θ角，或i(t)落后u(t)θ角几种特殊相位关系：若θ=

u-

i=±π，称电压u(t)与电流i(t)反相。tu,iu

iO若θ=

u-

i=0，称电压u(t)与电流i(t)同相。若θ=

u-

i=±π/2，称电压u(t)与电流i(t)正交。tu,iu

iOtu,iu

iO注意：主值范围|θ|。复数复习复数的有关知识复习虚数单位j=1.复数的表示直角坐标：A=a+jb极坐标：A=|A|ejθ=|A|∠θ两种表示法之间的关系：2.复数的运算(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(2)乘除运算——极坐标若A1=|A1|/1

，若A2=|A2|/2

则A1.A2==|A1|.|A2|

/1+2A1/A2==|A1|/|A2|

/1-2(3)几种常用关系：j2=-1,j3=-j,j4=1,1/j=-jej90°=j,e-j90°=-j,e±j180°=-1ejθ=cosθ+jsinθ为什么要引入相量？两个正弦量i1+i2i3wwwI1I2I3

1

2

3无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。角频率：有效值：初相位：i1i2

tii1

i20i3求i3=i1+i2

6.2正弦量的相量表示

因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相和有效值(或振幅)就行了。复数包含一个模和一个幅角，因此，可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。正弦量复数有效值（幅值）模初相位幅角一、正弦量与相量1、正弦量的相量表示造一个复函数没有物理意义

若对A(t)取实部：

是一个正弦量，有物理意义.（u,i)对于任意一个正弦量都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：A(t)还可以写成复常数称为正弦量i(t)

对应的相量。A(t)包含了三要素：I、

、w，复常数包含了I

,

。加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改称“相量”。相量是一个特殊的复数，它能表征一个正弦量。复数的一切运算均适用于相量。正弦量对应相量的含义相量的模表示正弦量的有效值（幅值）相量的幅角表示正弦量的初相同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：将称为振幅相量。(有效值)相量与振幅相量的关系是：

u

i相量图(相量画在复平面上)例1.已知试用相量表示i，u

。解：例2.试写出电流的瞬时值表达式。解：二、正弦量的相量运算1、同频率正弦量相加减相量关系为：u(t)i1i2=i3这实际上是一种变换思想。故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。例．已知同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首尾相接2、正弦量的微分、积分运算微分运算:积分运算:时域微分:时域积分:3.相量法的应用例：求解正弦稳态电路的稳态解(微分方程的特解)i(t)，已知一阶常系数线性微分方程Ri(t)u(t)L+-解:取相量4、小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于同频率正弦激励的线性时不变稳态电路。正弦波形图相量图一、无源元件VCR的相量形式1、电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系

u=

i

(uR，i同相)R+-UR

u6.3电路定律的相量形式波形图及相量图瞬时功率：

itOuRpRu=

iURI瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。2、电感（1）时域形式：i(t)uL(t)L+-（2）相量形式：相量模型jL+-

i有效值关系

UL

=wLI相位关系：

u=

i+90°

(uL超前

i

L90°)正交（3）感抗和感纳感抗的物理意义：①表示限制电流的能力；UL=XLI=LI②感抗和频率成正比；wXL电感VCR相量形式:XL=L称为感抗，单位为(欧姆)BL=-1/(L)

，称为感纳，单位为S(同电导)（4）功率：波形图：瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。t

iOuLpL23、电容（1）时域形式：（2）相量形式：相量模型有效值关系：IC=ωCU相位关系：

i=

u+90°

(iC超前

uC90°)

uiC(t)u(t)C+-+-（3）容抗与容纳：令XC=-1/(ωC),称为容抗，单位为Ω(欧姆)

BC=ωC，称为容纳，单位为S容抗的模与频率成反比,

ω

0，XC

直流开路(隔直)

ω

，XC

0高频短路(旁路作用)w|XC|电容VCR的相量形式:t

iCOupC2（4）功率：瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。归纳：VCR相量形式

相量模型

相量图电阻R+-u=

i电感jL+-

i电容+-

u二、KCL与KVL的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。例1:

已知，求电压u=?解:i的相量为:电路的相量模型如图b所示u(t)=16cos(5t+45°)V由KVL：由VCR：例2:

已知:I1=4A，I2=3A，求I=?解法一:

设参考相量∴I=5A解法二:画相量图相量分析法:步骤1.建立相量模型2.根据KCL、KVL、及VCR

的相量形式列方程3.解方程一、阻抗与导纳Z+-无源线性+-|Z|RXθZ阻抗三角形阻抗模阻抗角1、阻抗R=|Z|cosθZX=|Z|sinθZR—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；6.4阻抗和导纳2、导纳|Y|GBθY导纳三角形对同一二端电路:3、R、L、C

元件的阻抗和导纳（1）R：（2）L：（3）C：G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；|Y|=I/U—导纳模；θY—导纳角。G=|Y|cosθYB=|Y|sinθY4、阻抗与导纳的性质其性质取决于Z和Y的虚部。以RLC串联电路为例Z=R+jX

相量图看的很清楚。电抗X>0，电路（或阻抗）呈感性；=0，电路（或阻抗）呈阻性；<0，电路（或阻抗）呈容性；Y=G+jB电纳B>0，电路（或导纳）呈容性；=0，电路（或导纳）呈阻性；<0，电路（或导纳）呈感性；具体分析一下R、L、C

串联电路：Z=R+j[wL-1/(wC)]=|Z|∠θZwL>1/(wC)，X>0，θZ>0，电路为感性，电压超前电流；wL<1/(wC)，X<0，θZ<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC

，X=0，θZ=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考相量(wL>1/wC)三角形UR、UX=UL-UC

、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即θZUXj

LR+-+-+-+-5、阻抗和导纳的关系一般情况G1/RB1/X。若Z为感性，X>0，B<0ººZRjXººGjBY6、阻抗、导纳的串并联阻抗、导纳串并联的计算和电阻、电导串并联的计算公式完全相同。LCRuuLuCi+-+-+-例1：已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC.解：其相量模型为jLR+-+-+-相量图UL=8.42>U=5，分电压可能大于总电压。-3.4°相量图RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iLjLR+-Y=G+j[ωC-1/(ωL)]=|Y|∠θYwC>1/(wL)，B>0，θY>0，电路为容性，i超前u；w

C<1/(wL)，B<0，θY<0，电路为感性，i落后u；wC=1/(wL)，B=0，θY=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考相量'jLR+-RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象解例：已知求:N的阻抗并判断性质

电路N呈容性,可以等效为一个电阻和一个电容的串联,或一个电阻和一个电容的并联电阻电路与正弦稳态电路相量法分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦稳态电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。6.5正弦稳态电路的相量分析法正弦稳态电路相量法分析：方程法：主要是依据KCL、KVL和元件伏安特性，网孔法、节电法等效法：阻抗的串并联、电源等效互换、等效电源定理等相量图辅助分析法例1.列写电路的回路电流方程解：+_R1R2R3R4以网孔电流为变量:一、方程法节点法:+_R1R2R3R41、阻抗串并联的计算ZZ1Z2+++---二、等效法Y+-Y1Y2同直流电路类似例1：已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7

。Z1Z2Z3ab求

Zab。解：例2:

已知:求:各支路电流。R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1Z1Z2解：画出电路的相量模型Z1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1例3.法一：电源变换解：Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-法二：戴维南等效变换Z0Z+-Z2Z1Z3求开路电压：求等效阻抗：例4.

用叠加定理计算电流Z2Z1Z3+-解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-例5.已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。解：ZZ1+_例6.

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L。画相量图进行定性分析。解：R1R2L+_+_+_q2q两式相减，得解得UR2=33.9V，UL=72.45V,I=U1/R1=1.73A三、相量图的辅助解法一、一端口电路的功率1、瞬时功率

(instantaneouspower)无源N+ui_第二种分解方法。第一种分解方法；设无源一端口正弦稳态电路端口u,i关联6.6正弦稳态电路的功率第一种分解方法：tOUIcosθ(1+cos2(t+u)]

UIsinθsin2(t+u)第二种分解方法：p有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率p<0，电路发出功率；t

iOupUIcosθ

UIcos(2t+2uθ)消耗功率。交换功率。2.平均功率

(averagepower)P：瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期内的平均值。θ=u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cosθ

：功率因数。一般地,有0cosθ1例：cosθ=0.5(感性)，则θ=60o(电压超前电流60o)。cosθ=1,纯电阻电路0，纯电抗电路平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cosθ

有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。3、无功功率

(reactivepower)Q4、视在功率S反映电气设备的容量。表示交换功率的最大值，单位：var(乏)。Q的大小反映电路N与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C决定。5、R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcosθ=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsinθ=UIsin0=0电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。iuL+-PL=UIcosθ=UIcos90=0QL=UIsinθ=UIsin90=UI对电感，u超前

i

90°,故PL=0，电感吸收的平均功率为0，即电感不消耗功率。电感的平均储能：QL表明电感与外电路能量往返的规模。iuC+-PC=UIcosθ=UIcos(-90)=0QC=UIsinθ=UIsin(-90)=-UI对电容，i超前

u90°,故PC=0，电容吸收的平均功率为0，即电容不消耗功率。电感的平均储能：QC表明电容与外电路能量往返的规模。6、单口网络平均功率的求解：P=UIcosθ=U2Re[Y]=I2Re[Z]

Z为单口网络的等效阻抗，Y为单口网络的等效导纳。注：对不含电源的单口网络，消耗的平均功率P=网络内部各电阻消耗的平均功率的总和

=端口处所接电源提供的平均功率根据功率守恒：7、单口网络无功功率的求解：Q=UIsinθ=2ω(WL－WC)WL为单口网络中所有电感平均储能的总和WC为单口网络中所有电容平均储能的总和。根据功率守恒：

或

Q

=I2Im[Z]=－U2Im[Y]Z为单口网络的等效阻抗，Y为单口网络的等效导纳。

已知：电动机PD=1000W，其功率因数cosθD=0.8(感性），U=220V，f=50Hz，C=30F。求负载电路的功率因数。例1.+_DC解：例2.

三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。求L。解：RL+_ZVAW**（1）复功率与相量的关系负载+_P=UIcosθ，Q=UIsinθ,θ=u-i6、复功率（2）有功功率，无功功率，视在功率和复功率的关系：（3）功率与阻抗、导纳的关系θSPQ功率三角形θZRX阻抗三角形（4）、复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即得出：任一电路的所有支路的平均功率守恒，无功功率守恒复功率守恒，不等于视在功率守恒一般情况下：+_+_+_例1.已知如图电路，求各支路的复功率。+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：例2.

如图电路，已知U=100V，I=100mA，电路吸收的功率P=6W，XL1=1.25kΩ，XC=0.76kΩ。电路呈感性，求r和XL。解.

由于电路呈感性，故θ=53.13°Z1=Z–jXL1=600+j800–j1250=600–j450由于r=81Ω，XL=450Ω7、多频电路的响应和平均功率

当几个不同频率的电源作用于电路时，电压、电流可利用叠加定理求解。平均功率也可叠加计算。例:如图电路，L=1H，C=1F，R=1Ω，uS1(t)=10cos(t)V，uS2(t)=10cos(2t)V，求电流i(t)和电阻R吸收的平均功率PR。解:

注意：相量法只适用于单频率电源作用下的稳态电路。利用叠加定理：uS1(t)

单独作用时，画出相量模型。故i1(t)=10cos(t-90°)AuS2(t)单独作用时，画出相量模型。故i2(t)=11cos(2t+33.7°)A。i(t)=i1(t)+i2(t)=10cos(t-90°)+11cos(2t+33.7°)A瞬时功率

pR(t)=R[i1(t)+i2

(t)]2=Ri12(t)+Ri22(t)+2Ri1

(t)i2

(t)=p1(t)+p2(t)+2Ri1

(t)i2

(t)

由于i1(t)的周期为T1=2π，i2(t)的周期为

T2=2π/2=π，故i(t)=i1(t)+i2(t)仍然为周期函数，周期为T=最小公倍数(T1,T2)=2π，从而瞬时功率pR(t)也是周期信号。p1(t)

和p2(t)是uS1和uS2分别单独作用时电阻吸收的瞬时功率。显然，pR(t)≠p1(t)+p2(t)

结论：多个不同频率(各频率之比为有理数)的正弦波产生的总平均功率等于不同频率正弦量分别单独作用时所产生的平均功率之和。在一个周期T内，平均功率为当i1(t)

与i2(t)频率之比为有理数，且不相等时，有故PR=P1+P2=I12R+I22R平均功率:例:有一电阻R=10Ω，若其端电压为

（1）u(t)=u1(t)+u2(t)=10cos(2t)+20cos(2t+30°)V

（2）u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=10+20cos(2t)+

30cos(3t)V

分别求以上两种情况下电阻R吸收的平均功率。解(1)由于u(t)

中的两项频率相同，用相量法求总电压。(2)由于u(t)中的各项频率不同，且各角频率的比为有理数，故用叠加法计算平均功率。二、最大功率传输条件讨论正弦稳态电路中负载ZL获得最大功率Pmax的条件。ZLZS+-ZS=RS+jXS，ZL=RL+jXL(1)ZL=RL+jXL可任意独立调节时(a)先讨论RL不变，仅XL改变时，P的极值显然，当XS+XL=0，即XL=-XS时，P获得极值(b)再讨论RL改变时，P的最大值当RL=RS时，P获得最大值综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL=ZS*，即RL=RSXL=-XS称共轭匹配。此时获得最大功率的条件|ZL|=|ZS|

。最大功率为证明如下：(2)若ZL=RL+jXL=|ZL|/θ，

|ZL|可变，θ不变，如ZL=RL

时证毕！例在下列情况下，如何选择负载ZL才能使负载吸收的功率最大？(1)ZL=RL+jXL(2)ZL=RL

解戴维南等效。(1)ZL=Zeq*=4–j3Ω，(2)ZL=RL=|Zeq|=5Ω

三相电路由三相电源、三相传输线路和三相负载组成。当前世界各国电力系统中绝大多数采用三相制。它发电效率高、输电成本低。6.7三相电路三相发电机一、对称三相电源

三相电源是三相交流发电机的电路模型。它由三个同频、等幅、初相依次相差1200的正弦电源按一定方式互连而成。各电压源电压分别为ua、ub和uc，称为a相、b相和c相(工程上分别用黄、绿、红三种颜色标志)电压。a、b、c称为该相的始端，x、y、z称为该相的末端。瞬时值表达式为：相量为：这组电源称为对称三相电源。对称三相电源常接成Y形(星形)或△形(三角形)向外供电。如图为Y形连接末端相连中点中线(地线)端线(火线)端线与中线间的电压为相电压：端线与端线间的电压称为线电压：由以上可见：对对称Y形连接，线电压的有效值Ul是相电压有效值UP的倍，即如图为三相电源的△形连接首尾相接构成回路，并从三连接点引出端线。在正确连接的情况下，三相电源构成的回路中有若将一相电压接反，如C相电源反接，则回路中总电压为这样就有一个有效值等于两倍相电压的电压源作用于回路。由于发电机绕组的阻抗很小，故在回路中会产生很大的电流，使绕组烧坏，因此三相电源极少接成△形。二、Y－Y电路分析三相电路中，三个负载连接方式也有Y形和△形两种。若各相负载参数相同，则称对称三相负载。对称三相电源与对称三相负载组成对称三相电路。图中为对称三相四线制Y-Y系统，

端线电流称为线电流，有效值记为Il；各相负载电流称为相电流，有效值记为IP；显然，这里Il=IP

。中线阻抗

选n为参考点，可列出节点方程为由于故中线电流也等于0。线电流(等于相电流)为各相负载吸收的功率(注意到：Il=IP，Ul=UP)三相负载吸收的总功率为对称三相电路一个突出优点是瞬时功率为常量。

能量的均匀传输使电动机转矩恒稳，没有震动，有利于电动机机械设备的平稳运行。

需要指出：实际的三相电路中，有许多小功率单相负载分别连接到各相，很难使各相负载完全对称。在不对称三相电路中，各相负载的电流之间一般不