西安交通大学医学信号处理第四章

医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.1维纳滤波4.2自适应滤波4.1维纳滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是，当输入一个观测到的随机信号，简称观测值，且该信号包含噪声和有用信号，简称信号，也即

则输出为

(4-1)(4-2)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波我们希望输出得到的与有用信号尽量接近，因此称为的估计值，用来表示，我们就有了维纳滤波器的系统框图．这个系统的单位脉冲响应也称为对于的一种估计器。医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波用当前的和过去的观测值来估计当前的信号称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号N>=0，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号，N>=1，称为平滑或者内插。医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波系统框图中估计到的信号和我们期望得到的有用信号不可能完全相同，这里用来表示真值和估计值之间的误差

(4-3)显然是随机变量，维纳滤波的误差准则就是最小均方误差准则

(4-4)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.１.1

维纳滤波器的时域解（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）

设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应或传递函数的表达式，其实质就是解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我们从时域入手求最小均方误差下的用表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的设计。医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波维纳霍甫方程(wiener-hopf)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.１.１.1

因果的维纳滤波器

设是物理可实现的，也即是因果序列：因此，从式(4-1)、(4-2)、(4-3)、(4-4)推导：

(4-5)

(4-6)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均方误差下的最佳h，。要使得均方误差最小，则将上式对各m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：

(4-7)(4-8)(4-9)求到，这时的均方误差为最小：

(4-10)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.１.２有限脉冲响应法求解

维纳－霍夫方程

设是一个因果序列且可以用有限长（N点长）的序列去逼进它，则式(4-5)－(4-10)分别发生变化：

(4-11)

(4-12)于是得到N个线性方程：写成矩阵形式有：

简化形式：

RxxH=Rxs

(4-17)

式中，H＝[h(0)h(1)…h(N-1)]′是待求的单位脉冲响应医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波

RxxH=Rxs

只要Rxx是非奇异的，就可以求到H：

H=Rxx－1＊Rxs

求得H后，这时的均方误差为最小：进一步化简得：

若信号与噪声互不相关，即，(4-19)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波【例4-1】如图，，信号与噪声统计独立，其中噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波解得：＝0.451，＝0.165。解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相关为：代入式求得最小均方误差：医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程

医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程

随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图4.2所示．图4.2s(n)信号模型医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波

由于，在图4.2的基础上给出的信号模型，图4.3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图4.4所示，其中传递函数用B（z）表示。

图4.3x的信号模型图4.4维纳滤波器的输入信号模型医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波白噪声的自相关函数为它的z变换就等于。图4.2中输出信号的自相关函数为，根据卷积性质有医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波

(4-22)

对式（4－22）进行Z变换得到系统函数和相关函数的z变换之间的关系：

(4-23)同样，对图4.4进行z变换得

(4-24)如果已知观测信号的自相关函数，求它的z变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成另外在单位圆外的零、极点构成，这样就保证了是因果的，并且是最小相位系统图4.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：从图4.4可得

(4-26)

由于系统函数的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则也是一个物理可实现的最小相移网络函数。我们就可以利用式（4－26）对进行白化，即把当作输入，当作输出，是系统传递函数。医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波将图4.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳，如图4.5（a）所示，为了便于求这个，将图4.5（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：和G（z），如图4.5（b）所示，则

(4-27)（a）（b）图4.5利用白化方法求解模型医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波白化法求解维纳－霍夫方程步骤如下：１）对观测信号的自相关函数求z变换得到２）利用等式找到最小相位系统３）利用均方误差最小原则求解因果的

G（z）４），即得到维纳－霍夫方程的系统函数解医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波步骤3,G的求解过程按图4.5（b）有

(4-28)均方误差为由于代入上式，并且进行配方得

(5-29)均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以

(4-30)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波注意，这里的是因果的。对该式求单边z变换，得到

(4-31)所以维纳－霍夫方程的系统函数解表示为利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示

(4-34)因果的维纳滤波器的最小均方误差为：

(4-33)由式

(4-32)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波【例4-2】已知图4.1中，且与统计独立，其中的自相关序列为，是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。解：依题意，已知医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波步骤2由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差步骤1医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波步骤3利用式

对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为，取因果部分，也就是第一项，所以医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波步骤4最小均方误差为：4.1.4维纳滤波的误差性能曲面

维纳－霍夫方程矩阵形式如下：

RxxH=Rxs

最小均方误差：J（Hopt）==min(J(H))当N=2时，J(H)=J(h(0),h(1))是一个二元二次函数，如图所示，在曲面的底面偏导为零均方误差最小min(J(H))，这时H为Hopt医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波

医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波

M=N医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波RxsRxs=Rxs4.2自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.2.1y(n)yd(n)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波自适应滤波器的组成、分类与结构医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波已经医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波3.按自适应算法分类自适应滤波器按自适应算法可分为LMS自适应滤波器、RLS自适应滤波器等。医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.2.2医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波4.2.S(n)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波S(n)S(n)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波S(n)S(n)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波x(n-k)e(n)医学信号处理第四章生物医学信号的自适应滤波x(n-k)e(n)医学信号处理第四章