能控性能观性与极点配置设计

1第六章能控性能观性与极点配置设计引言基于状态空间描述的多变量系统传递函数模型与状态空间模型的区别经典控制理论与现代控制理论的关系能控性和能观性概念反映系统外部特性反映内部状态信息2问题已知某系统状态空间模型为：试求：该系统的传递函数分析：哪些状态变量与输入信号有关？哪些无关？哪些状态变量与输出信号有关？哪些无关？传递函数与哪些系统特征值有关？与哪些特征值无关？发现什么规律？3解：因而根据对角矩阵的逆矩阵性质，有4所以传递函数为5分析结果：与系统输入信号有关联的状态变量是x2,x4;与系统输出信号有关联的状态变量是x2,x3；传递函数仅与系统的特征值有关。状态空间模型表现系统为4阶系统，而传递函数则表现系统仅为1阶系统规律：传递函数仅能反映出系统既能与输入信号有关又能与输出信号有关的那部分特性，不能反映出系统的全部特性。能控性与能观性的概念6第六章能控性能观性与极点配置设计设以定义在时间区间[t0,t1]上连续函数fij(t)为元素的矩阵时间函数向量无关性时间函数向量线性无关性定义7

对于n个列向量fj(t),j=1,2,…,n,其线性相关是指存在某些不全含为零的实常数j,j=1,2,…,n,使下式对区间[t0,t1]中所有t均成立：如果只有j,j=1,2,…n全为零时，上式才成立，则称fj(t)，j=1,2,…,n为线性无关注意：时间函数行向量线性无关的定义，在前述列向量线性无关基础上稍加改动即可上述定义中，令m=1,即为过去所学的时间函数（标量）线性无关定义8时间函数向量线性无关性条件格兰姆矩阵及其行列式设f1(t),f2(t),…,fn(t)为m维列向量，则矩阵称为f1(t),…,fn(t)的格兰姆矩阵，式中内积n×n维实数阵9格兰姆矩阵还可表示为格兰姆行列式则为10时间函数向量线性无关的充要条件F(t)的列向量f1(t),f2(t),…fn(t)线性无关的充要条件是F(t)的格兰姆矩阵非奇异，即detG

011第六章能控性能观性与极点配置设计系统能控性定义若存在一个无约束的容许控制向量u(t),能在有限的时间间隔内[t0,t1],将系统某一状态xi(t)初始状态xi(t0)转移到任意终态xi(t1),则称该状态xi(t)是能控的;若系统所有状态(即状态向量的所有分量)都能控,则称该系统是完全能控的.123阶系统状态能控性概念示意图13第六章能控性能观性与极点配置设计一般能控性判据能控性格兰姆矩阵非奇异对区间[0,∞)的时间t行线性无关能控性矩阵满秩对A的每一个特征值的秩均为n.内积14第六章能控性能观性与极点配置设计化A为约当标准型的能控性判据当系统矩阵A为对角型时,如果输入矩阵B没有全为零的行,则系统完全可控;若出现全为零的行,则该行对应特征值不能控.当系统矩阵A为约当标准型且每一个重特征值只对应一个约当块时,如果各约当块最后一行所对应的输入矩阵B的相应行不全为零时,则系统完全可控.非奇异线性变换不改变系统能控性15第六章能控性能观性与极点配置设计系统能观性及对偶原理定义设连续时间线性定常系统的状态空间模型为

如果在有限的时间区间[t0,t1]内,根据量测的输出向量y(t)和输入向量u(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的状态xi(t0),则称xi(t)在[t0,t1]上是能观的;若系统所有状态x(t)都在[t0,t1]上能观,则称系统是完全能观的.16第六章能控性能观性与极点配置设计能观性判据一般能观性判据能观性矩阵格兰姆矩阵非奇异对区间[0,∞)上的时间t列线性无关能观性矩阵满秩内积17第六章能控性能观性与极点配置设计对于A的每一特征值

满秩18第六章能控性能观性与极点配置设计化A为约当标准型的能观性判据当A具有互异的特征值,因而是对角阵时,则系统完全能观的充要条件是矩阵C没有全为零的列.若A具有重特征值,且A中每一个重特征值只对应一个约当块时,则系统完全能观的充要条件是:各约当块第一列所对应的C阵相应列不全为零.若A中某一特征值对应于n个约当块时,系统完全能观的充要条件是:各约当块第一列所对应的C阵相应列均不全为零且相同特征值的各约当块第一列所对应的C阵各相应列线性无关对单输出系统,只要同一特征值对应两个或两个以上约当块时,系统必不完全能观.非奇异线性变换不改变系统能观性19第六章能控性能观性与极点配置设计状态能控性与能观性只是系统状态空间模型的一种内在属性,而不是系统本身的内在属性.若系统不同状态变量的选取之间是非奇异线性变换的话,则能控性与能观性不变.20第六章能控性能观性与极点配置设计对偶性原理对偶系统对偶关系是相互的互为对偶的系统,其状态转移矩阵互为转置对偶系统的传递函数矩阵互为转置对偶性原理互为对偶的两系统S1和S2,S1的能控性等价于S2系统的能观性,系统S1的能观性等价于系统S2的能控性21第六章能控性能观性与极点配置设计有关能控能观性的进一步讨论标准形特征值标准形对角阵标准阵约当标准形22第六章能控性能观性与极点配置设计表征系统状态的标准型能控和能观标准形能控标准形（单变量系统）

能控标准型不仅能表示系统状态可控，而且和系统特征方程式的系数ai相关联，因而在分析与综合中应用较多23能控标准形（单变量系统）设一个状态能控的单输入单输出线性定长系统由于系统能控，故又设系统的特征方程式为24则可构造变换阵使得经过线性变换，可将原系统化为能控标准形25第六章能控性能观性与极点配置设计能观标准形而其变换阵的逆26第六章能控性能观性与极点配置设计系统的规范分解一个不完全能控不完全能观系统，可将其状态空间划分为四部分：能控能观子空间能控不能观子空间能观不能控子空间不能控不能观子空间27按能控性典范分解第六章能控性能观性与极点配置设计28能控性分解结构图第六章能控性能观性与极点配置设计29第六章能控性能观性与极点配置设计按能观性分解30能观性分解结构图第六章能控性能观性与极点配置设计31第六章能控性能观性与极点配置设计能控能观性与传递函数关系系统能控且能观的充要条件是其传递函数不存在可对消的零极点最小实现问题

状态空间模型的维数等于既约传递函数分母的阶次BIBO稳定性与能控能观性关系另一种稳定性定义，它不仅与系统矩阵A的特征值有关，还与系统的能控能观性有关32第六章能控能观性与极点配置设计

BIBO稳定性概念如果在有界输入作用下，系统输出有界。

该稳定性定义不仅与系统矩阵A的特征值有关，还与系统的能控能观性有关充要条件系统传递函数的全部极点均在s平面的左半平面系统能控能观性与BIBO稳定性的关系充要条件A矩阵的特征值实部不为负的特征值均为不能控振型或不能观振型，其余特征值的实部均为负数。若系统完全能控能观，则BIBO稳定与平衡状态渐进稳定是等价的33第六章能控性能观性与极点配置设计状态反馈的极点配置设计法输出反馈与状态反馈

状态反馈有可能获得比输出反馈更好的控制效果，甚至可以做到闭环极点的任意配置闭环极点只能沿根轨迹变动极点可以任意变动34控制系统状态空间模型：输出反馈：状态反馈：凡是输出反馈L所能达到的控制效果，只要取状态反馈矩阵F=LC则可达到同样控制效果但由F和C则从F=LC中并不一定能解出矩阵L来35第六章能控性能观性与极点配置设计状态反馈与极点配置一组零、极点的分布对应一个系统的响应

而希望的极点组的选取是一个确定综合目标问题，一般讲是一个复杂的问题，是工程与理论相结合的问题。一般方法的设计待定系数法36第六章能控性能观性与极点配置设计一般方法的设计步骤：判断受控系统是否能控由给定的动态指标或闭环极点要求确定希望的闭环特征多项式的n个系数确定原受控系统的特征多项式系数确定系统状态反馈矩阵的诸元素37第六章能控性能观性与极点配置设计确定原受控系统化为能控标准形的变换阵的逆确定受控系统完成闭环极点配置任务的状态反馈阵38第六章能控性能观性与极点配置设计待定系数法设计步骤将状态反馈矩阵代入求出的特征多项式根据性能指标要求所决定的一组特征值计算出39第六章能控性能观性与极点配置设计令的特征多项式与中对应幂次项的系数相等，得n个方程求解联立n个方程，得到状态反馈矩阵F40第六章能控性能观性与极点配置设计镇定问题如果采用某种方法能将系统不稳定的特征值改变为稳定的特征值，则称系统是可镇定的如果系统不可控部分中包含有不稳定特征值，则无法用状态反馈方式将其改变为稳定特征值系统无法镇定

系统可用状态反馈来镇定的充要条件：其不可控特征值（振型）是稳定的。41第六章能控性能观性与极点配置设计调节器问题,非零给定值与常值干扰问题当给定值v=0时，即为调节器问题在干扰作用下系统状态或输出偏离零平衡状态后，利用状态反馈，使系统特征值所决定的调整时间恢复到零平衡状态的能力问题在上述要求之外，还要求通过改变r值使稳态值（输出）为一给定值，则为非零给定值问题如果系统受到未知常值干扰，如何使受到干扰的系统恢复到零平衡状态（或使输出达到非零给定值），则为常值干扰问题42第六章能控性能观性与极点配置设计稳态时引入积分反馈作用，即增加一个新的状态变量，满足增广系统状态方程43第六章能控性能观性与极点配置设计若引入增广状态反馈向量增广系统闭环状态方程变为选择状态反馈向量，使闭环系统稳定，则稳态时有即均为零，且与干扰w无关44第六章能控性能观性与极点配置设计状态观测器设计及分离原理状态观测器设计渐进等价指标：观测误差45第六章能控性能观性与极点配置设计全维状态观测器结构图问题：观测误差衰减快慢完全取决于矩阵A的特征值如A是非渐进稳定的，则不能实现状态重构46第六章能控性能观性与极点配置设计修正前述方案重构状态部分的状态方程为故只要A-HC是渐进稳定矩阵，则就是的重构状态47第六章能控性能观性与极点配置设计

由于观测误差的衰减速度由A-HC的特征值决定，故可选择H阵，以调整A-HC矩阵的特征值大小，以达到合适的衰减速度。

基本观测器进行极点任意配置的条件：

完全可观测系统的基本观测器的极点配置的设计方法，可完全仿照完全可控系统用状态反馈进行极点配置的方法进行。充要条件是原系统完全可观测的48第六章能控性能观性与极点配置设计直接状态反馈的闭环系统：带状态观测器的状态反馈的闭环系统带状态观测器的状态反馈系统的阶次是直接状态反馈系统的两倍49第六章能控性能观性与极点配置设计简化的结构图50第六章能控性能观性与极点配置设计作为状态变量故状态方程：51第六章能控性能观性与极点配置设计

由前图及状态方程可见：带状态观测器的状态反馈系统的2n个极点具有分离特性特征多项式det(SI-A+BF)的n个根（与直接状态反馈系统的n个极点一致）观测器特征多项式det(sI-A+HC)的n个根按可控性分解的概念看：（A-BF）部分的极点形成由参考输入v完全可控的模态，另一部分(A-HC)的极点就是观测器极点，它们形成由v不可控的模态52第六章能控性能观性与极点配置设计系统闭环极点的分离性质是一个很好的特性，利用闭环极点的分离特性可以分别设计受控系统控制与观测问题