第13章 时间序列分析和预测

统计学第13章时间序列分析和预测第13章时间序列分析和预测13.1

时间序列及其分解13.2时间序列的描述性分析13.3时间序列的预测程序13.4平稳序列的预测13.5趋势型序列的预测13.6复合型序列的分解预测13.1时间序列及其分解13.1.1时间序列的构成要素13.1.2时间序列的分解方法时间序列(timesseries)1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2. 形式：时间和观察值两部分时间可以是年份、季度、月份等时间形式经济数据中大多数以时间序列形式给出观测时间用表示，观察值用

表示时间序列的分类平稳序列(stationaryseries)：基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动，或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的。非平稳序列(non-stationaryseries)有趋势：线性的非线性的复合型：有趋势、季节性和周期性的复合型序列时间序列的成分时间序列的成分趋势T季节性S周期性C随机性I线性趋势非线性趋势时间序列的成分长期趋势（）现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势季节变动（）现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动周期(循环)变动（）现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动不规则变动（）是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型时间数列的组合模型1加法模型：Y=T+S+C+I计量单位相同的总量指标对长期趋势产生的或正或负的偏差2乘法模型：Y=T·S·C·I计量单位相同的总量指标对原数列指标增加或减少的百分比常用模型含有不同成分的时间序列平稳趋势季节季节与趋势13.2时间序列的描述性分析13.2.1图形描述13.2.2增长率分析图形描述(例题分析)图形描述(例题分析)平稳线性趋势指数变化趋势三阶曲线趋势增长率(growthrate)也称增长速度报告期观察值与基期观察值之比减1，用%表示由于对比的基期不同，增长率可以分为环比增长率和定基增长率由于计算方法的不同，有一般增长率、平均增长率、年度化增长率环比增长率与定基增长率环比增长率报告期水平与前一期水平之比减1定基增长率报告期水平与某一固定时期水平之比减1补充环比（linkrelativeratio）：与“上一统计期间”相比，也就是本期与上一期相比。同比（comparedwiththesameperiodoflastyear）：与去年的“同一统计期间”相比，也就是与去年同期相比。平均增长率(averagerateofincrease)序列中各逐期环比值(也称环比发展速度)的几何平均数减1后的结果描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度通常用几何平均法求得。计算公式为平均增长率(例题分析

)以人均GDP数据

为例年平均增长率为：2005年和2006年人均GDP的预测值分别为：增长率分析中应注意的问题当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5，2，0，-3，2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析2.在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要把增长率与绝对水平结合起来分析例如：增长率每增长一个百分点而增加的绝对量，用于弥补增长率分析中的局限性增长率分析中应注意的问题

(例题分析)甲、乙两个企业的有关资料年份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2002500—60—2003600208440【例】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元补充发展速度：报告期水平与基期水平之比，说明报告期水平较基期水平相对发展程度。当发展速度＞1，即报告期水平＞基期水平时，说明现象向上增长；当发展速度＜1，即报告期水平＜基期水平时，说明现象向下降低。增长速度：增长量与基期水平的对比，表明报告期水平较基期水平增长的相对程度。发展速度分为环比发展速度和定基发展速度，相对应的增长速度也可分为环比增长速度和定基增长速度。平均发展速度：现象逐期发展速度的几何平均数。平均增长速度是现象逐期增长速度的几何平均数。

增长速度=发展速度-l平均增长速度=平均发展速度-1练习：根据我国“一五”期间工业总产值数据计算各动态分析指标。年份195219531954195519561957工业总产值（亿元）343.3447519.7548.7703.7783.9增长量逐期累计发展速度（%）环比定基增长速度（%）环比定基平均发展速度（%）平均增长速度（%）举例【2010/04/12南方网】昨日在北京大学房地产研究中心和侨鑫集团共同举办的“中国高端物业气象报告论坛”上，国金证券首席经济学家金岩石预测广州楼市均价五年内翻番，而广州豪宅的价格则将超过10万元/平方米。【中国日报网消息：英文《中国日报》3月30日报道】世界黄金协会昨日发布的报告称，中国的黄金需求将在十年内翻一番。翻一番？发展速度=2翻两番？发展速度=4翻一倍？发展速度=2翻两倍？发展速度=3

举例翻两翻即是原值的四倍，分解为：原值翻一翻原值二倍；再翻一翻原值四倍翻两倍即是原值的三倍，指在原值的基础上增加一次原值再增加一次原值，累积为三倍原值．“比”表示在原来基础上添加的意思

a比b贵一倍，代表a=b+b=b*2

a比b贵两倍，代表a=b+b*2=b*3

如果用“a是b的两倍”代表a=b*2

如果我有两块钱，翻了两翻，我有元，

如果我有两块钱，翻了两倍，我有元。八六

13.3时间序列预测的程序13.3.1确定时间序列的成分1.确定趋势成分

2.确定季节成分13.3.2选择预测方法13.3.3预测方法的评估确定趋势成分(例题分析)【例】一种股票连续16周的收盘价如下表所示。试确定其趋势及其类型确定趋势成分(例题分析)直线趋势方程回归系数检验P=0.000179R2=0.645二次曲线方程回归系数检验P=0.012556R2=0.7841确定季节成分(例题分析)【例】下面是一家啤酒生产企业2000～2005年各季度的啤酒销售量数据。试根据这6年的数据绘制年度折叠时间序列图，并判断啤酒销售量是否存在季节性。年度折叠时间序列图

(foldedannualtimeseriesplot)将每年的数据分开画在图上若序列只存在季节成分，年度折叠序列图中的折线将会有交叉若序列既含有季节成分又含有趋势，则年度折叠时间序列图中的折线将不会有交叉，而且如果趋势是上升的，后面年度的折线将会高于前面年度的折线，如果趋势是下降的，则后面年度的折线将低于前面年度的折线选择预测方法是否时间序列数据是否存在趋势否是是否存在季节是否存在季节否平滑法预测简单平均法移动平均法指数平滑法季节性预测法季节多元回归模型季节自回归模型时间序列分解是趋势预测方法线性趋势推测非线性趋势推测自回归预测模型预测方法的评估一种预测方法的好坏取决于预测误差的大小预测误差是预测值与实际值的差距以下方法孰优孰劣，没有一致看法，较为常用的是均方误差(MSE)1.

平均误差

2.平均绝对误差

3.均方误差

4.平均百分比误差

5.平均绝对百分比误差计算误差1.平均误差ME(meanerror)预测误差正负相互抵消，平均误差可能会低估实际误差。平均绝对误差MAD(meanabsolutedeviation)避免了误差抵消问题，可以准确反映实际预测误差的大小。3.均方误差MSE(meansquareerror)计算误差4.平均百分比误差MPE(meanpercentageerror)5.平均绝对百分比误差MAPE(meanabsolutepercentageerror)ME、MAD、MSE受时间序列数据的水平和计量单位的影响，只有在比较同一数据的不同模型时才有意义。而MPE、MAPE消除了时间序列数据的水平和计量单位的影响，反映了误差大小的相对值。

13.4平稳序列的预测13.4.1简单平均法13.4.2移动平均法13.4.3指数平滑法通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动。对平衡序列进行短期预测对时间序列进行平滑以描述序列的趋势简单平均法

(simpleaverage)根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值设时间序列已有的其观察值为Y1，

Y2，

…，Yt，则第t+1期的预测值Ft+1为有了第t+1的实际值，便可计算出预测误差为第t+2期的预测值为简单平均法(特点)适合对较为平稳的时间序列进行预测预测结果不准将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用当时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确移动平均法(movingaverage)对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。简单移动平均法（simplemovingaverage）加权移动平均法两种（weightedmovingaverage）一般选择奇数项进行移动平均；若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。移动平均法的步骤（1）确定移动时距（2）计算各移动平均值，并将其编制成时间数列简单移动平均法

(simplemovingaverage)

将最近k期数据平均作为下一期的预测值

设移动间隔为k(1<k<t)，则t期的移动平均值为3.t+1期的简单移动平均预测值为4.预测误差用均方误差(MSE)

来衡量简单移动平均法(特点)适合对较为平稳的序列进行预测将每个观察值给予相同的权数只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长k时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长简单移动平均法(例题分析)【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期居民消费价格指数的预测值，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较。从预测结果看，3期移动平均的均方误差MSE=66.99，而5期移动平均的均方误差MSE=57.9。因此，就本序列而言，采用3期移动平均和5期移动平均预测的效果相关不大。简单移动平均法(例题分析)简单移动平均应用指数平滑法(exponentialsmoothing)对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势一次指数平滑(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数，观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为Yt为第t期的实际观察值

Ft

为第t期的预测值为平滑系数(0<<1)在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y1第2期的预测值为第3期的预测值为一次指数平滑(预测误差)预测精度，用均方误差来衡量

Ft+1是第t期的预测值Ft加上用调整的第t期的预测误差(Yt-Ft)a越接近1，实际值有更大权数，模型对时间序列变化的反应及时；a越接近0，预测值有更大权数，模型对时间序列变化的反应越慢；不同的对预测结果会产生不同的影响当时间序列随机波动较大，宜选较大的，为了能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择时，还应考虑预测误差(均方误差)确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值a=0，Ft+1=Ft；

a=1，Ft+1=Yt一次指数平滑

(例题分析)【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较。比较均方误差可知,=0.5时预测效果较好。但用一次指数平滑进行观测时，一般取值不大于0.5。若>0.5才能接近实际值，通常说明序列有某种趋势或波动过大，一般不适合用指数平滑法进行预测。一次指数平滑(例题分析)

13.5趋势型序列的预测13.5.1线性趋势预测13.5.2非线性趋势预测趋势序列及其预测方法趋势(trend)持续向上或持续下降的状态或规律有线性趋势和非线性趋势方法主要有线性趋势预测非线性趋势预测自回归模型预测线性趋势(lineartrend)是指现象随着时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。预测方法：线性模型法

—时间序列的预测值

t—时间标号

b0—趋势线在Y轴上的截距

b1—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型法(a和b

的求解方程)根据最小二乘法得到求解b0和b1的标准方程为解得预测误差可用估计标准误差来衡量m为趋势方程中待确定的未知常数的个数线性模型法(例题分析)【例】根据人均GDP数据，根据最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的人均GDP，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

线性趋势方程：预测的R2和估计标准误差：R2=0.9806

2005年人口GDP的预测值元线性模型法(例题分析)非线性趋势预测1.指数曲线

2.修正指数曲线

3.Gompertz曲线

4.多阶曲线1.指数曲线(exponentialcurve)时间序列以几何级数递增或递减一般形式为即按一定的增长率增长或衰减一般的自然增长及大多数经济序列都有指数变化趋势b0，b1为待定系数若b1>1，趋势值随着时间t的增加而增加若b1<1，趋势值随着时间t的增加而降低若b0>0，b1<1，趋势值逐渐降低到以0为极限求解方法：采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，根据最小二乘法，得到求解lgb0、lgb1

的标准方程，求出lgb0和lgb1后，再取其反对数，即得算术形式的b0和b1

用Excel中的GROWTH函数进行指数趋势预测第1步：选择【fx】插入函数，并选择【统计】函数中的

GROWTH(known_y's,known_x's,new_x's,const)函数第2步：当对话框出现时在【Known_y‘s】中输入y

的数据区域在【known_x‘s】中输入x的数据区域在【New_x‘s】中输入新的x的值或数据区域(如果省略则假设它和known_x's相同)

在【Const】中输入TRUE或省略，此时返回预测值；如果const为FALSE，b0

将设为1，此时返回预测值【注】若要同时返回一组预测值，则需要首先选择输出区域，然后同时按下【Ctrl+Shift+Enter】键1.指数曲线

(例题分析)【例】根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的轿车产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较。指数曲线趋势方程：预测的估计标准误差：

2005年轿车产量的预测值万辆万辆1.指数曲线(例题分析)指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应现象的相对发展变化程度上例中，b1=1.27286表示1990—2004年轿车产量的年平均增长率为27.286%

不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度指在一般指数曲线的方程上增加一个常数项K。一般形式为2.修正指数曲线

(modifiedexponentialcurve)用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限。例如：新产品销售量K，b0，b1

为待定系数

K>0，b0

≠0，0<b1

≠1K>0，b0<0，0<b1

<1时，2.修正指数曲线

(求解k，b0，b1

的三和法)

趋势值K无法事先确定时采用三和法。三和法：将时间序列观察值等分为3个部分，每部分有m个时期，从而根据预测值的3个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和确定3个系数。根据三和法求得设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S32.修正指数曲线(例题分析)【例】我国1990—2004年城镇新建住宅面积数据如右表所示。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的城镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较。2.修正指数曲线(例题分析)2.修正指数曲线(例题分析)解出K，b0

，b1

新建住宅面积的修正指数曲线方程2005年的预测值预测的估计标准误差2.修正指数曲线(例题分析)从图中可以看出，我国城镇住宅面积还远未达到极限水平K=8.2344亿平方米。以英国统计学家和数学家B·Gompertz的名字而命名，译为：龚伯茨曲线。一般形式为3.Gompertz曲线(Gompertzcurve)

描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线。适用于描述萌芽、成长到饱和的周期过程，例如：工业生产的增长、产品的寿命周期、一定时期内的人口增长等。两端都有渐近线，上渐近线为Y=K，下渐近线为Y=0K，b0，b1为待定系数

K>0，0<b0

≠1，0<b1≠13.Gompertz曲线(求解k，b0，b1

的三和法)

仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lgb0、lgK、b1取lgb0、lgK的反对数求得b0

和K

则有：将其改写为对数形式：令：3.Gompertz曲线(例题分析)【例】我国1990—2004年城镇新建住宅面积数据如右表所示。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的城镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较3.Gompertz曲线(例题分析)3.Gompertz曲线(例题分析)Gompertz曲线计算过程：新建住宅面积的Gompertz曲线方程2005年的预测值预测的估计标准误差3.Gompertz曲线(例题分析)有些现象的变化形态比较复杂，它们不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降，在变化过程中可能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数。只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；有k-1个拐点时，需要拟合k阶曲线k阶曲线函数的一般形式为线性化后，根据最小二乘法求4.多阶曲线4.多阶曲线(例题分析)【例】根据的金属切削机床产量数据，拟合适当的趋势曲线，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的金属切削机床产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较三阶曲线方程：

2005年的预测值预测的估计标准误差：4.多阶曲线(例题分析)用于回归分析的工作表函数函数名定义INTERCEPT一元线性回归模型截距的估计值SLOPE一元线性回归模型斜率的估计值RSQ一元线性回归模型的判定系数（r2）FORECAST依照一元线性回归模型的预测值STEYX依照一元线性回归模型的预测值的标准误差TREND依照多元线性回归模型的预测值GROWTH依照多元指数回归模型的预测值LINEST估计多元线性回归模型的未知参数LOGEST估计多元指数回归模型的未知参数趋势线的选择定性分析：判断现象的基本规律和态势观察散点图分析数据的特征，按以下标准选择趋势线一阶差分大体相同，配合直线二阶差分大体相同，配合二次曲线对数的一阶差分大体相同，配合指数曲线一阶差分的环比发展指数大体相同，配合修正指数曲线对数一阶差分的环比发展指数大体相同，配合Gompertz曲线比较估计标准误差直线趋势方程：tyi一阶差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb趋势线的选择一阶差分大体相同，配合直线抛物线趋势方程：tyi一阶差分二阶差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c趋势线的选择二阶差分大体相同，配合抛物线13.6复合型序列的分解预测13.6.1确定并分离季节成分13.6.2建立预测模型并进行预测13.6.3计算最后的预测值

复合型序列指含有趋势、季节、周期和随机成分的序列。对这类序列的预测方法通常是将时间序列的各个因素依次分解出来，然后进行预测。分解模型：预测方法：季节性多元回归模型、季节自回归模型和时间序列分解法。Yi=Ti×Si×Ci×Ii时间序列分解法预测步骤确定并分离季节成分计算季节指数，以确定时间序列中的季节成分季节指数计算方法：移动平均趋势剔除法、按月(季)平均法将季节成分从时间序列中分离出去，即用每一个观测值除以相应的季节指数，以消除季节性建立预测模型并进行预测对消除季节成分的序列建立适当的预测模型，并根据这一模型进行预测计算出最后的预测值用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值移动平均法(movingaverage)（2）计算各移动平均值，并将其编制成时间数列奇数项移动平均原数列移动平均新数列偶数项移动平均移动平均新数列原数列确定并分离季节成分季节指数(例题分析)【例】下表是一家啤酒生产企业2000—2005年各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数。右图可见，销售量具有明显的季节成分，且后面年份的销售量比前面的高，表明还含有趋势成分，周期性难以判断。初步认为销售量序列含有季节成分和趋势成分。季节指数(例题分析)调整系数四季的季节指数之和为398.508%，应进行调整。计算季节指数(seasonalindex)季节指数刻画序列在一个年度内各月或季的典型特征，其平均数等于100%，反映了某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小。如果没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%如果某一月份