第11章 材料力学

第11章压杆的稳定性问题§1

压杆稳定性的基本概念§2两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式§3不同刚性支承对压杆临界载荷的影响§4临界应力与临界应力总图

§5压杆稳定性设计的安全因数法

§6提高压杆承载能力的主要途径1

压杆稳定的基本概念返回第11章压杆稳定2Δ

压杆从直线平衡构形到弯曲平衡构形的转变过程，称为“屈曲”。由于屈曲，压杆产生侧向位移，称为屈曲位移。FPFPFP

压杆稳定的基本概念

压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉

第11章压杆稳定3FPΔOFPFP>FPcrFPcrF´PFP<FPcrΔFP

分叉点(临界点)FPFPFPFP平衡路径

压杆稳定的基本概念第11章压杆稳定4分叉点FPΔOFPcr平衡路径平衡路径

平衡路径的分叉点：平衡路径开始出现分叉的那一点。

分叉载荷（临界载荷）：分叉点对应的载荷，用FPcr表示。

压杆稳定的基本概念第11章压杆稳定5平衡构形——压杆的两种平衡构形

(equilibriumconfiguration)FP<FPcr:

直线平衡构形FPFP>FPcr:弯曲平衡构形(在扰动作用下)FP

压杆稳定的基本概念

判别弹性平衡稳定性的静力学准则

第11章压杆稳定6FP

FP<FPcr:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。FPFP

判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）

压杆稳定的基本概念第11章压杆稳定7FP

FP>FPcr:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。FPFP

判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）

压杆稳定的基本概念第11章压杆稳定8压杆稳定的基本概念

当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（loststability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcationbuckling）。

稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（criticalpoint）。对于细长压杆，因为从临界点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷（criticalload）或分叉载荷（bifurcationload），用FP表示。

第11章压杆稳定9两端铰支压杆的临界载荷

欧拉公式返回第11章压杆稳定10

两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式

从平衡路径可以看出，当w00时FPFPcr。这表明，当FP无限接近分叉载荷FPcr时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内，存在微弯的平衡构形。根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界载荷。

分叉点FPΔOFPcr平衡路径平衡路径第11章压杆稳定11

假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：

两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式

第11章压杆稳定12M(x)=FPw(x)

假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：

两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式

第11章压杆稳定13微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx边界条件w(0)=0,w(l)=0

两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式

第11章压杆稳定14微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx边界条件w(0)=0,w(l)=0根据线性代数知识，上述方程中A、B的系数不全为零的条件是方程组系数行列式等于零：

两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式

第11章压杆稳定15由此得到临界载荷最小临界载荷

两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式

第11章压杆稳定16不同刚性支承对压杆临界载荷的影响返回第11章压杆稳定17

不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度(effectivelength)；为反映不同支承影响的系数，称为长度系数（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。

不同刚性支承对压杆临界载荷的影响第11章压杆稳定18一端自由，一端固定

＝2.0两端固定＝0.5一端铰支，一端固定

＝0.7两端铰支

＝1.0

不同刚性支承对压杆临界载荷的影响第11章压杆稳定19

需要注意的是,临界载荷公式只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。

不同刚性支承对压杆临界载荷的影响第11章压杆稳定20

临界应力与临界应力总图

返回第11章压杆稳定21

前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即

其中σcr称为临界应力(criticalstress)；

σp为材料的比例极限。

临界应力与临界应力总图

临界应力与长细比的概念

第11章压杆稳定22

长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：

其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：

从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。

临界应力与临界应力总图第11章压杆稳定23用长细比表示的细长杆临界应力公式

临界应力与临界应力总图第11章压杆稳定24

细长杆——长细比大于或等于某个极限值p时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。

粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。

长中杆——长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。

临界应力与临界应力总图

三类不同压杆的不同失效形式

第11章压杆稳定25

临界应力与临界应力总图对于细长杆，临界应力为

三类压杆的临界应力公式

第11章压杆稳定26

临界应力与临界应力总图

对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用的是直线公式：

三类压杆的临界应力公式

其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa。

第11章压杆稳定27

临界应力与临界应力总图

对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力:

三类压杆的临界应力公式

第11章压杆稳定28

临界应力总图与P、s值的确定

临界应力与临界应力总图

根据三种压杆的临界应力表达式，在坐标系中可以作出关系曲线，称为临界应力总图(figuresofcriticalstresses)

（细长杆）（中长杆）（粗短杆）第11章压杆稳定29例题1

两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。试；

2.已知：d=160mm，E=206GPa,

求：两根杆的临界载荷。

1.分析:哪一根压杆的临界载荷比较大？

临界应力与临界应力总图

第11章压杆稳定30

1.分析两根压杆的临界载荷

从临界应力总图可以看出，对于材料相同的压杆，长细比越大，临界载荷越小。所以判断哪一根压杆的临界载荷大，必须首先计算压杆的长细比，长细比小者，临界载荷大。

临界应力与临界应力总图

第11章压杆稳定312.已知：

d=160mm，

Q235钢，E=206GPa,确定两根杆的临界载荷

首先计算长细比，判断属于哪一类压杆：Q235钢p=101二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。

临界应力与临界应力总图第11章压杆稳定32

临界应力与临界应力总图

对于Q235钢，p=101，二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。

对于两端铰支的压杆，就有第11章压杆稳定33

临界应力与临界应力总图

对于Q235钢，p=101，二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。

对于两端固定的压杆，就有第11章压杆稳定34

压杆稳定性设计的安全因数法

返回第11章压杆稳定35

安全因数法与稳定性安全条件

压杆稳定性设计的安全因数法

为了保证压杆具有足够的稳定性，在设计中必须使杆件所承受的实际压缩载荷（又称为工作载荷）小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。

压杆的稳定性设计一般采用安全因数法与稳定系数法。本书只介绍安全因数法。

采用安全因数法时，稳定性安全条件一般可表示为

nw

nst第11章压杆稳定36安全因数法nw

nst工作安全因数临界应力

工作应力

nst规定安全因数

压杆稳定性设计的安全因数法

第11章压杆稳定37压杆稳定性设计的安全因数法

已知：在如图所示的结构中，梁AB为No.l4普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为

d＝20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。强度安全因数ns＝1.45，稳定安全因数[n]st＝1.8。例题2

校核:此结构是否安全？

第11章压杆稳定38

压杆稳定性设计的安全因数法

解：在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压缩载荷，属于稳定问题。

1.大梁AB的强度校核

大梁AB在截面C处弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为

第11章压杆稳定39

压杆稳定性设计的安全因数法

由型钢表查得No.14普通热轧工字钢的参数为Wz=102cm3=102103mm3；A＝21.5cm2＝21.5102mm2

第11章压杆稳定40

压杆稳定性设计的安全因数法

由此得到梁内最大应力第11章压杆稳定41

压杆稳定性设计的安全因数法

Q235钢的许用应力

max略大于[]，但（max一[]）100％/[]＝0.7％＜5％，在工程上仍认为是安全的。

第11章压杆稳定42压杆稳定性设计的安全因数法

2.

校核压杆CD的稳定性

由平衡方程求得压杆CD的轴向压力

因为是圆截面杆,故惯性半径

第11章压杆稳定43

压杆稳定性设计的安全因数法

又因为两端为球铰约束，＝1.0，所以

这表明，压杆CD为细长杆，故需采用欧拉公式计算其临界应力。第11章压杆稳定44

压杆稳定性设计的安全因数法

于是，压杆的工作安全因数

第11章压杆稳定这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。

上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。

45

为了提高压杆承载能力，防止屈曲失效，必须综合考虑杆长、支承性质、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。结论与讨论

提高压杆承载能力的主要途径

第11章压杆稳定46尽量减小压杆长度

对于细长杆，其临界载荷与杆长平方成反比。因此，减小压杆长度，可以显著地提高压杆的承载能力。在某些情况下，通过改变结构或增加支点可以达到减小压杆长度、提高压杆承载能力的目的。

图示的两种桁架，其中的①、④杆均为压杆，但是左图中①、④杆的长度大于右图中①、④杆的长度。所以，右图中桁架的承载能力，要远远高于左图中的桁架。

结论与讨论第11章压杆稳定47增强支承的刚性

支承的刚性越大，压杆长度系数μ值越低，临界载荷也就越大。例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将增加数倍。结论与讨论第11章压杆稳定48合理选择截面形状