线性多变量系统(郑大钟) 第1篇 时域理论

线性多变量系统选用教材：郑大钟线性系统理论清华大学出版社教学参考书：陈启宗著线性系统理论与设计科学出版社何关钰著线性控制系统理论辽宁人民出版社第一章绪论第二章线性系统的状态空间描述第三章线性系统的运动分析第四章线性系统的能控性和能观测性第五章线性系统的稳定性第六章线性反馈系统的时间域综合线性系统的时间域理论线性系统的复频率域理论第一章绪论

1.1系统控制理论的研究对象系统是系统控制理论的研究对象系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”系统具有如下3个基本特征:

(1)整体性

(2)抽象性

作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究.(3)相对性

在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性1/3,1/51+1>2动态系统:所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统系统变量可区分为三类形式系统动态过程的数学描述动态系统的分类从机制的角度从特性的角度从作用时间类型的角度uxy2/3,2/5线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理.若表征系统的数学描述为L系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述①系统模型的作用②模型类型的多样性③数学模型的基本性④建立数学模型的途径⑤系统建模的准则3/3,3/51.2线性系统理论的基本概貌线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科主要内容:数学模型→分析理论→综合理论发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论主要学派:状态空间法几何理论把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合代数理论把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题多变量频域方法1/2,4/51.3本书的论述范围

1：状态空间法2：多项式矩阵法2/2,5/5第一部分:线性系统时间域理论

第二章线性系统的状态空间描述

2.1状态和状态空间

线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法系统动态过程的数学描述1/4,1/50(1).系统的外部描述外部描述常被称作为输出—输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述(2)系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,——状态方程和输出方程(3)外部描述和内部描述的比较一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.2/4,2/50状态和状态空间的定义状态变量组:状态

一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组所组成的一个列向量一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组状态空间

状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数几点解释（1）状态变量组对系统行为的完全表征性只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组和t≥t0各时刻的任意输入变量组那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定3/4,3/50(2).状态变量组最小性的物理特征：少一个不行，多一个不多(3).状态变量组最小性的数学特征：线性无关极大变量组

(4).状态变量组的不唯一性(5).系统任意两个状态变量组之间的关系(6)有穷维系统和无穷维系统(7)状态空间的属性状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn4/4,4/502.2线性系统的状态空间描述

电路系统状态空间描述的列写示例以上方程可表为形如描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。1/7,5/50机电系统状态空间描述的列写示例上式可表为形如2/7,6/50连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统线性时变系统3/7,7/50连续时间线性系统的方块图4/7,8/50人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数写成矩阵形式5/7,9/50离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统离散时间线性时变系统6/7,10/50状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性离散时间线性系统的方块图7/7,11/502.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类

线性系统和非线性系统设系统的状态空间描述为向量函数若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统

若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统

对于线性系统非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统1/2,12/50时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,即该系统称为时不变系统

若向量f,g显含时间变量t,即该系统称为时变系统

连续时间系统和离散时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量

2/2,13/502.4由系统输入输出描述导出状态空间描述

由输入输出描述导出状态空间描述对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述其传递函数描述可以导出其状态空间描述为1/18,14/50结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=n,即系统为真情形设2/18,15/50可见3/18,16/50令有4/18,17/50(2)m<n,即系统为严真情形写成矩阵形式：5/18,18/50结论2给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:选取n个状态变量6/18,19/50其对应的状态空间描述为:7/18,20/50(2)m≠0情形此时输入输出描述为:a:8/18,21/50其对应的状态空间描述为:其中9/18,22/50b:改写为令10/18,23/50结论3给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其极点即分母方程的根为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1)m<n，即系统为严真情形对应的状态空间描述为11/18,24/50(2)m=n，即系统为真情形令对应的状态空间描述为：12/18,25/50由方块图描述导出状态空间描述例1

设系统方块图如下，试列写其状态空间描述解上图等效为指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：13/18,26/50写成矩阵形式例2

设单输入单输出系统的传递函数为试列写其状态空间表达式。14/18,27/50解可画出系统结构图如下写出变量之间的关系15/18,28/50写成矩阵形式16/18,29/50也可以画出结构图为e11e13e12e2e3可写出系统的动态方程为17/18,30/50例3

设画出结构图动态方程为18/18,31/502.5线性时不变系统的特征结构

特征多项式

连续时间线性时不变系统(1)特征多项式均为实常数(2)特征方程式(3)凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理1/6,32/50(4)最小多项式的各个元多项式之间互质定义Φ(s)为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式Φ(s)也满足凯莱-哈密尔顿定理，即Φ(A)=0，是满足凯莱-哈密尔顿定理的次数最小的首1多项式。(5)系统矩阵的循环性如果系统矩阵A的特征多项式α(s)和最小多项式Φ(s)之间只存在常数类型的公因子k，即则称系统矩阵A是循环的。(6)特征多项式的计算2/6,33/50①基于迹计算的特征多项式迭代算法②基于分解计算的特征多项式迭代算法3/6,34/50特征值(1)特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。(3)特征值的形态特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数(4)特征值类型系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型4/6,35/50(5)特征值的代数重数(Jordan标准型中对应该特征值的所有Jordan块的阶数之和)代数重数σi代表特征值集Λ中值为λi的特征值个数(6)特征值的几何重数(Jordan标准型中对应该特征值的Jordan块的个数)(7)特征值重数和类型的关系对n维线性时不变系统，若λi∈A为单特征值，则其代数重数σi和几何重数αi之间必有特征向量和广义特征向量

5/6,36/50对n维线性时不变系统，若λi∈A为重特征值，则其代数重数σi和几何重数αi之间必有(1)特征向量的几何特性(2)特征向量的不唯一性(3)单特征值所属特征向量的属性对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{λ1、λ2、…λn}的相应一组特征向量{v1、v2、…vn}为线性无关，当且仅当特征值{λ1、λ2、…λn}为两两互异。广义特征向量对n维线性时不变系统，设λi为n×n维系统矩阵A的一个σi重特征值，则6/6,37/50结论4

特征值为两两互异的情形2.6状态方程的约当规范形对n个特征值{λ1、λ2、…λn}两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=[v1、v2、…vn]，则状态方程可通过线性非奇异变换而化为约当规范形包含复数特征值情形的对角线规范形（略）1/3,38/50结论5

特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令可将系统状态方程化为约当规范形：2/3,39/50Jordan块的个数等于特征值个数l其中，Ji为相应于特征值λi的约当块：3/3,40/50Ji的维数等于代数重数σi，包含几何重数αi个Jordan小块所有Jordan小块的阶数之和等于代数重数σiJi为对角线矩阵的充要条件是相应于特征值λi的代数重数=几何重数；整个Jordan规范型为对角矩阵的充要条件是所有特征值的代数重数=几何重数；2.7由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：称G(s)为系统的传递函数矩阵。其中1/4,41/50(1)G(s)的函数属性传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的q×p有理分式矩阵。(2)G(s)的真性和严真性当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的(3)G(s)的特征多项式和最小多项式(4)G(s)的极点G(s)的极点定义为方程式的根2/4,42/50(5)G(s)的循环性若称G(s)是循环的(6)G(s)正则性和奇异性G(s)基于(A,B,C,D)的表达式考虑连续时间线性时不变系统则设G(s)的首一化特征多项式为αG(s)，A的特征多项式为α(s)，若必有若系统能控能观测，则表G(s)的极点集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，则ΛG⊂Λ；若系统能控能观测，则ΛG=Λ。3/4,43/50结论7

G(s)的实用计算关系式令则4/4,44/502.8线性系统在坐标变换下的特性结论8坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。坐标变换的几何含义和代数表征线性时不变系统状态空间描述为引入坐标变换则变换后系统的状态空间描述为1/3,45/50结论9

线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。2/3,46/50结论10

线性时变系统在坐标变换下的特性对线性时变系统引入坐标变换P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为3/3,47/50，2.9组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵设子系统并联

两个子系统可以实现并联联接的条件1/3,48/50并联后子系统串联

两个子系统可以实现串联联接的条件是：串联后2/3,49/50

子系统反馈联接设两个子系统实现输出反馈联接的条件是反馈联接后3/3,50/50第三章线性系统的运动分析3．1引言从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。解的存在性和唯一性条件

设系统状态方程如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。从数学观点，上述条件可减弱为：①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：②输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：1/2,1/29③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：条件②③可一步合并为要求B(t)u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。2/2,2/29②输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：3．2连续时间线性时不变系统的运动分析

系统的零输入响应令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程结论1.系统自治状态方程的解，具有以下形式其中若初始时间取为t0≠0则1/12,3/29矩阵指数函数的性质

（4）设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA则有2/12,4/29矩阵指数函数的算法

1：定义法2：特征值法1）若则2）若则3/12,5/293）若其中则其中4/12,6/29例5/12,7/29例

6/12,8/293：有限项展开法设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值而从中可求出α1、α2、…αn若λi为l重特征值，则相应的l个方程为7/12,9/29例

令8/12,10/294：预解矩阵法系统状态运动规律的基本表达式

设系统的状态空间描述为有表达式对初始时刻t0=0情形有表达式9/12,11/29基于特征结构的状态响应表达式设系统的状态空间描述为A的属于λ1λ2…λn线性无关右特征向量组A的属于λ1λ2…λn线性无关左特征向量组λ1λ2…λn为A的n个两两相异的特征值右特征向量矩阵10/12,12/29结论对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式：左特征向量矩阵显然11/12,13/29结论

对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零输入响应x0u(t)零初态响应x0x(t)以及状态运动规律x(t)的表达式为：12/12,14/293.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵设连续时间线性时不变系统，状态方程为：基本解阵矩阵方程的解阵称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵。其中H为任意非奇异实常阵结论：(1).基本解阵不唯一(2).由系统自治方程的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。(3).连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵方程（2）的一个可能的基本解阵为1/7,15/29状态转移矩阵

矩阵方程的解阵ф(t-t0)

称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。结论：1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出2:状态转移矩阵ф(t-t0)唯一，与基本解阵的选取无关。3:状态转移矩阵的形式为基于状态转移矩阵的系统响应表达式

2/7,16/29状态转移矩阵的特性3/7,17/29线性时变系统的输出为：假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即：则输出为3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵4/7,18/29定义：表hij(t-τ)为第j个输入端在时刻τ加以单位脉冲δ(t-τ)而所有其他输入为零时，在第i个输出端的脉冲响应，对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应hij(t-τ)为元构成的一个输出响应矩阵结论：对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为5/7,19/29脉冲响应矩阵和状态空间描述

结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为结论：①两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵

②两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系：6/7,20/29例

求脉冲响应矩阵解

也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得7/7,21/293.5连续时间线性时变系统的运动分析

状态转移矩阵设连续时间线性时变系统，状态方程为对连续时间线性时变系统，矩阵方程：的解矩阵ф(t,t0)称为状态转移矩阵。矩阵方程的解矩阵Ψ(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。1/3,22/29结论：①基本解阵不唯一②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程的任意n个线性无关解为列构成③对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵结论：①状态转移矩阵为唯一②2/3,23/29状态转移矩阵的性质

系统的状态响应

结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解脉冲响应矩阵结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，其输出响应为：3/3,24/293.6连续时间线性系统的时间离散化基本约定

1）对采样方式的约定：采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期T小得多。2）对采样周期T大小的约定：满足Shamnon采样定理给出的条件3）对保持方式的约定：零阶保持方式基本结论

给定连续时间线性时变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为1/3,25/29其中其中结论

给定连续时间线性时不变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为其中结论

①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。2/3,26/29例：线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。解

3/3,27/293.7离散时间线性系统的运动分析不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。定义：矩阵方程Φ(k+1)=G(k)Φ(k,m),Φ(m,m)=I的解阵Φ(k,m)称为离散时间线性时变系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的状态转移矩阵。矩阵方程Φ(k+1)=GΦ(k),Φ(0)=I的解阵Φ(k),称为离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的状态转移矩阵。结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：Φ（k,m）=G(k-1)G(k-2)…G(m)离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为：结论：①Φ(k,m)非奇异〈==〉G(i),I=m,m+1,…k-1均为非奇异

②Φ(k)非奇异〈==〉G非奇异

③对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异。1/2,28/29结论：对离散时间线性时变系统，其解为：对离散时间线性时不变系统，其解为定义：对离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)脉冲传递函数矩阵

定义为零初始条件下，满足的一个q×p有理分式矩阵结论：离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为2/2,29/29第四章线性系统的能控性和能观测性4．1能控性和能观测性的定义线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。定义1/3,1/45能控性，能达性定义

对连续时间线性时变系统如果存在一个时刻以及一个无约束的容许控制u(t)使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。能控性，能达性定义

对连续时间线性时变系统如果存在一个时刻以及一个无约束的容许控制u(t)使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。*对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。2/3,2/45定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。定义：对连续时间线性时变系统指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。能观测性定义对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。该系统是不完全能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。3/3,3/454．2连续时间线性系统的能控性判据

结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵证明

充分性为非奇异时，系统能控说明系统是能控的1/8,4/45反证法必要性是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。由于是奇异的，故的行向量在[t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)=αT,则说明α=0,矛盾2/8,5/45结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵结论2：连续时间线性时不变系统：为非奇异。结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使3/8,6/45结论4

对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵满秩，即rankQc=n结论5n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：rank[SI-A∶B]=n,或为系统特征值结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值λi，使同时满足αTA=λi

αT，αTB=0的左特征向量αT=0。4/8,7/45结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8：对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。5/8,8/45例

图示电路，判断系统能控性条件解

选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：6/8,9/45（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例

系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）。7/8,10/45定义：令对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足设为矩阵A的最小多项式次数，则结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：8/8,11/454．3连续时间线性系统的能观测性判据

结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵结论2：连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵为非奇异。1/5,12/45结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使2/5,13/45结论4

对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵满秩，即rankQo=n结论5n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量3/5,14/45结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。4/5,15/45结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量定义：令完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为υ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为υ＝n。结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则设为矩阵A的最小多项式次数，则结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：5/5,16/454.4离散时间线性系统的能控性和能观性判据

时变系统的能控性和能观性判据定义

离散时间线性时变系统如果对初始时刻h∈Jk和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻l∈Jk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控；如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻l∈Jk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。结论1离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵为非奇异1/8,17/45结论2若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能控的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵为非奇异若系统矩阵G(k)对一个或一些k∈[h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。2/8,18/45结论1离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵为非奇异时不变系统的能控性和能达性判据

结论3离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l>0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l>0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。3/8,19/45结论4n维离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为矩阵满秩若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n为系统完全能控的一个充分条件。结论4n维离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为矩阵满秩若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n为系统完全能控的一个充分条件。结论5对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。4/8,20/45例

设单输入线性离散系统的状态方程为试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系统是能控的5/8,21/45令

令

若令

无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。6/8,22/45例

设单输入线性离散系统的状态方程为试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。时变系统的能观测性判据结论6离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l∈Jk,l>h,使格兰姆矩阵为非奇异时不变系统的能观测性判据

结论7离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l>0,使格兰姆矩阵为非奇异7/8,23/45结论8n维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为满秩结论8n维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为满秩结论9若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态8/8,24/454.5对偶性定义：对连续时间线性时变系统其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统其中,状态X为n维行向量,协状态Ψ为n维行向量输入u为p维列向量,输入η为q维行向量输出Y为q维列向量,输出φ为p维行向量结论10:原构系统的状态转移矩阵与对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系1/2,25/45结论11设Σ为原构线性系统,Σd为对偶线性系统,则有Σ完全能控Σd完全能观测Σ完全能观测Σd完全能控2/2,26/454.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件

设连续时间线性时不变系统对应的时间离散化系统其中G=eATH=A的特征值结论12如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。证明用反证法设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n1/3,27/45容易验证为可交换阵，故由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故连续系统是能控的，矛盾。本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。2/3,28/45结论13：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：不是A的特征值。其中k为非零整数结论14对时间离散化，使采样周期T的值则时间离散化系统能控的充分必要条件是eATB为行线性无关结论15连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值λ1、λ2，不存在非零整数k，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。3/3,29/454.7能控性、能观测性与传递函数的关系

结论16如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消结论17单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。结论18单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。证明：单输入、单输出系统动态方程为如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即：1/4,30/45

状态方程可写为：在初始条件为零的情况下，拉氏变换得对输出方程拉氏变换此式即为传递函数的部分分式2/4,31/45若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-λk，则说明fkγk=0，γk=0，fk≠0系统是不能控的；fk=0，γk≠0，系统是不能观测的；γk=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkγk≠0（k=1、2、…n）系统是既能控又能观测的。3/4,32/45例设单输入、单输出系统的传递函数由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论19如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）结论20如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）4/4,33/454．8能控规范形和能观测规范形：SISO情形

结论21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。定义一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形1/5,34/45结论22：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统则通过变换矩阵2/5,35/45可将系统变换成能控规范形，即导出3/5,36/45定义一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式：则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形结论23：对完全能观测的n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换导出4/5,37/45其中5/5,38/454．9能控规范形和能观测规范形MIMO情形

旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形1/1,39/454．10连续时间线性时不变系统的结构分解

系统按能控性分解

设不能控系统的动态方程为其能控性矩阵的秩为r<n，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1

其中1/6,40/45经非奇异变换后，系统的动态方程写为于是可得能控子系统动态方程为：不能控子系统动态方程为2/6,41/45例已知试按能控性进行规范分解解系统不完全能控，取能控子系统动态方程为不能控子系统动态方程为3/6,42/45系统按能观测性分解

设不能观测系统的动态方程为其能观测性矩阵的秩为l<n，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T能观测子系统动态方程为不能观测子系统动态方程为4/6,43/45系统按能控性和能观测性的标准分解

设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解最后得到5/6,44/45经T-1变换后，系统的动态方程为

能控、能观测子系统动态方程为：能控、不能观测子系统动态方程为不能控、能观测子系统动态方程为不能控、不能观测子系统动态方程为6/6,45/45第5章系统运动的稳定性

5．1外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：‖u(t)‖≤β1<∞的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式证明考虑SISO情形充分性1/4,1/18必要性采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使可以取有矛盾结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式2/4,2/18结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：结论4：设n维连续时间线性时变自治系统系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统内部稳定的充分必要条件为或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。3/4,3/18内部稳定性和外部稳定性的关系结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。4/4,4/185．2李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念

李亚普诺夫第一方法：间接法李亚普诺夫第二方法：直接法自治系统：没有输入作用的一类动态系统平衡状态：状态空间中满足的一个状态李亚普诺夫意义下的稳定称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对任给一个实数ε>0，都对应存在另一依赖于ε和t0的实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)都满足不等式：‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε⑴稳定的几何解释⑵李亚普诺夫意义下一致稳定⑶时不变系统的稳定属性⑷李亚普诺夫意义下稳定的实质1/2,5/18渐近稳定称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果ⅰ)Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ<0，都存在实数T(μ,δ,t0)>0使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤μ，不稳定

称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定2/2,6/185．3李亚普诺夫第二方法的主要定理

结论7：对连续时间非线性时变自治系统X=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：ⅰ）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数α(‖x‖)和β(‖x‖)，α(0)＝0，β(0)＝0，使对所有t∈[t0,∞)有：β(‖x‖)≥V(x,t)≥α(‖x‖)＞0ⅱ)V(x,t)对时间t的导数负定且有界。ⅲ)当‖x‖→∞，有V(x,t)→∞则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。结论8：对连续时间非线性时不变自治系统X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：ⅰ）V(x)为正定ⅱ)为负定ⅲ)当‖x‖→∞，有V(x)→∞则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。1/4,7/18例设系统状态方程为坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性解取一正定的标量函数为一负定的标量函数，且系统是大范围渐近稳定的。2/4,8/18结论9[小范围渐近稳定性定理]对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件：V(x,t)为正定且有界；为负定且有界；则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为一致渐近稳定。结论10[小范围渐近稳定性定理]对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件：V(x)为正定；为负定则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定3/4,9/18结论11[小范围渐近稳定性定理]对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω∈满足如下条件：V(x)为正定；为负半定对任意非零x0∈Ω则原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定结论12[不稳定性定理]对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件：（ⅰ）V(x,t)为正定且有界；（ⅱ）为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。4/4,10/185．4构造李亚普诺夫函数的规则化方法变量梯度法设连续时间非线性时不变系统Xe=0为系统孤立平衡状态，(1)设V(x)的梯度为(2)设梯度▽V(x)对应于有势场，则旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)1/3,11/18(6)判断V(x)计算结果的正定性克拉索夫斯基方法设连续时间非线性时不变系统Xe=0为系统孤立平衡状态，系统雅可比矩阵克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S(x)=BF(x)+[BF(x)]T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：V(x)=fT(x)

Bf(x)则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。结论13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。2/3,12/18如果例确定平衡状态x=0的稳定性解取B=I为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。平衡状态x=0是大范围渐近稳定的3/3,13/185．5连续时间线性系统的状态运动稳定性判据

线性时不变系统的稳定性判据结论14[特征值判据]对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。结论15[特征值判据]对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部结论16[李亚普诺夫判据]对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个n×n正定对称矩阵Q，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一n×n正定对称解阵P。结论17[李亚普诺夫判据推广形式]对n维连续时间线性时不变系统和任给实数σ≥0，令矩阵A特征值为λi(A),i=1,2,…,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线－σ＋jω左半开平面上，即成立Reλi(A)<-σ,i=1,2,…,n，的充分必要条件为，对任给一个n×n正定对称矩阵Q，推广李亚普诺夫方程2σP＋ATP+PA=-Q有唯一正定解阵P。1/2,14/18线性时变系统的稳定性判据结论18[基于状态转移矩阵的判据]对连续时间线性时变系统，表Φ（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统原点平衡状态xe=0在时刻t0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数β(t0)>0，使成立：‖Φ(t,t0)‖≤β(t0)<∞,

进一步，当且仅当对所有t0都存在独立实数β>0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。结论19[基于状态转移矩阵的判据]对连续时间线性时变系统，表Φ（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态xe=0在时刻t0是渐近稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数β(t0)>0，使同时成立：‖Φ(t,t0)‖≤β(t0)<∞,进一步，当且仅当对所有t0∈[0,∞]都存在独立实数β1>0和β2>0使成立：‖Φ(t,t0)‖≤β1e-β2(t-t0）系统原点平衡状态xe=0为一致渐近稳定。2/2,15/185．6连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计

对渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统衰减系数定义为最小衰减系数设则1/1,16/185．7离散时间系统状态运动的稳定性及其判据

结论20[大范围渐近稳定判据]对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k))，使对任意x(k)∈Ｒn满足：（ⅰ）V(x(k))为正定；（ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))为负定；（ⅲ）当‖x(k)‖→∞，有V(x(k))→∞。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。结论21[大范围渐近稳定判据]对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k))，使对任意x(k)∈Ｒn满足：（ⅰ）V(x(k))为正定；（ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))为负半定；（ⅲ）对由任意非零初始状态x(0)∈Ｒn确定的所有自由运动x(k)的轨线，△V(x(k))不恒为零；（ⅳ）当‖x(k)‖→∞，有V(x(k))→∞。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。1/2,17/18结论22[特征值判据]对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值λi(G)（i=1,2,…,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。结论23[特征值判据]对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。结论24[李亚普诺夫判据]对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定n×n正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程GTPG-P=-Q有唯一n×n正定对称解阵P。结论25[扩展李亚普诺夫判据]对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数σ>0为幂指数稳定，即G的特征值满足：︱λi(G)︱<σ,0≤σ≤1,i=1,2,…,n的充分必要条件为：对任一给定n×n正定对称矩阵Q，扩展离散型李亚普诺夫方程（1/σ）2GTPG-P=-Q有唯一n×n正定对称解阵P。2/2,18/18第六章线性反馈系统的时间域综合

6．1引言综合问题的提法系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标性能指标的类型1/1,1/406．2状态反馈和输出反馈

状态反馈设连续时间线性时不变系统状态反馈下受控系统的输入为：u=--Kx+υ，K∈Rp×n，反馈系统∑xf的状态空间描述为：B∫CAK结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。1/3,2/40输出反馈设连续时间线性时不变系统输出反馈下受控系统输入u=--Fy+υ,F∈Rp×q

B∫CAF输出反馈系统的状态空间描述为：结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。2/3,3/40状态反馈和输出反馈的比较

反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。3/3,4/406．3状态反馈极点配置：单输入情形

极点配置定理对单输入n维连续时间线性时不变受控系统系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。极点配置算法step1.判别（A，b）能控性step2.计算矩阵A特征多项式det(SI-A)=α(s)=Sn+αn-1Sn-1+…+α1S+α0step3.计算由期望闭环特征值决定的特征多项式step41/4,5/40step5step6.Q=P-1step7Step8.停止计算2/4,6/40例1连续时间线性时不变状态方程为期望闭环极点为计算状态反馈阵K解容易判断系统能控计算由期望闭环极点组决定的特征多项式3/4,7/40计算4/4,8/406．4状态反馈极点配置：多输入情况

极点配置定理：对多输入n维连续时间线性时不变系统系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为{A,B}完全能控。极点配置算法：给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统{A,B}和一组任意期望闭环特征值要求确定一个p×n状态反馈矩阵K，使step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个p×n实常阵K1，使为循环；若循环，表Step2:选取一个p×1实常量ρ，有b=Bρ使为完全能控Step3.对等价单输入系统利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。Step4.对A为循环，K＝ρk对A为非循环，K＝ρk＋K11/2,9/40状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。结论：对完全能控n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个极点同时，一般不影响其零点。定义：设完全能控多输入多输出连续时间线性时不变系统

其传递函数矩阵G(s)=C(SI-A)-1B,G(s)的极点为其特征方程式的根。

零点定义使得

的所有s值

2/2,10/406.5输出反馈极点配置结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统采用输出反馈一般不能任意配置系统全部极点。结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统采用输出反馈只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。1/1,11/406.6状态反馈镇定所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律使所导出的状态反馈型闭环系统为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控状态反馈镇定算法：Step1判断(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。Step2对(A.B)按能控性分解Step3对能控部分进行极点配置Step4计算镇定状态反馈矩阵Step5计算停止。1/1,12/406.7状态反馈动态解耦问题的提法：设多输入多输出连续时间线性时不变系统