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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知分别为双曲线的左、右焦点,点是其一条渐近线上一点,且以为直径的圆经过点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.3.已知函数,若,则的最小值为()参考数据:A. B. C. D.4.设是虚数单位,则()A. B. C. D.5.在等差数列中,若,则()A.8 B.12 C.14 D.106.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数7.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.8.已知向量,夹角为,,,则()A.2 B.4 C. D.9.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()A. B. C. D.10.函数()的图像可以是()A. B.C. D.11.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.12.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是___________14.在中,,是的角平分线,设,则实数的取值范围是__________.15.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.16.在中,若,则的范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)对于给定的正整数k,若各项均不为0的数列满足:对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等比数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”又是“数列”,证明:数列是等比数列.18.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.19.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为(单位:瓶)时,的数学期望的取值范围?20.(12分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由21.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据题意,设点在第一象限,求出此坐标,再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意,设点在第一象限,双曲线的一条渐近线方程为,所以,,又以为直径的圆经过点,则,即,解得,,所以,,即,即,所以,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率,解决本题的关键在于求出与的关系,属于基础题.2.A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.3.A【解析】
首先的单调性,由此判断出,由求得的关系式.利用导数求得的最小值,由此求得的最小值.【详解】由于函数,所以在上递减,在上递增.由于,,令,解得,所以,且,化简得,所以,构造函数,.构造函数,,所以在区间上递减,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在区间上递增,在区间上递减.而,所以在区间上的最小值为,也即的最小值为,所以的最小值为.故选:A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查分段函数的图像与性质,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.4.A【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.5.C【解析】
将,分别用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则由,,得解得,,所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解,难度较易.已知等差数列的任意两项的值,可通过构建和的方程组求通项公式.6.D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.7.B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.8.A【解析】
根据模长计算公式和数量积运算,即可容易求得结果.【详解】由于,故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积运算,模长的求解,属综合基础题.9.C【解析】
作,;,由题意,由二倍角公式即得解.【详解】由题意,,准线:,作,;,设,故,,.故选:C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10.B【解析】
根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故选:B【点睛】本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.11.A【解析】
点的坐标为,,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,因为,,所以,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,此时的外接圆面积取最小值,点的坐标为,代入可得,.所以双曲线的方程为.故选:【点睛】本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.12.C【解析】
首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.故选:C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先还原几何体,再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱,如图,底面为边长为的直角三角形,高为的棱柱,所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式,考查基本分析求解能力,属基础题14.【解析】
设,,,由,用面积公式表示面积可得到,利用,即得解.【详解】设,,,由得:,化简得,由于,故.故答案为:【点睛】本题考查了解三角形综合,考查了学生转化划归,综合分析,数学运算能力,属于中档题.15.【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.16.【解析】
借助正切的和角公式可求得,即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由,借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【详解】,所以,.因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见详解;(2)证明见详解【解析】
(1)由是等比数列,由等比数列的性质可得:即可证明.(2)既是“数列”又是“数列”,可得,,则对于任意都成立,则成等比数列,设公比为,验证得答案.【详解】(1)证明:由是等比数列,由等比数列的性质可得:等比数列是“数列”.(2)证明:既是“数列”又是“数列”,可得,()(),()可得:对于任意都成立,即成等比数列,即成等比数列,成等比数列,成等比数列,设,()数列是“数列”时,由()可得:时,由()可得:,可得,同理可证成等比数列,数列是等比数列【点睛】本题是一道数列的新定义题目,考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识,考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.18.(1)(2)【解析】
(1)把代入,利用零点分段讨论法求解;(2)对任意成立转化为求的最小值可得.【详解】解:(1)当时,不等式可化为.讨论:①当时,,所以,所以;②当时,,所以,所以;③当时,,所以,所以.综上,当时,不等式的解集为.(2)因为,所以.又因为,对任意成立,所以,所以或.故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,恒成立问题一般是转化为最值问题求解,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率,即得解;(2)由题意得,分,及,分别得到y与n的函数关系式,得到对应的分布列,分析即得解.【详解】(1)由题意:X的可能取值为300,500,600故:六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列为300500600(2)由题意得.1°.当时,利润此时利润的分布列为.2.时,利润此时利润的分布列为.综上的数学期望的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与概率统计综合,考查了学生综合分析,数据处理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.20.(1)见解析(2)不存在,见解析【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,结合导数的几何意义,再令,转化为方程有解问题,即可说明.【详解】(1)函数的定义域为,所以当时,;,所以函数在上单调递增当时,①当时,函数在上递增②,显然无增区间;③当时,,函数在上递增,综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增;当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设是曲线上不同的两个点,且则曲线在点处的切线的斜率为,.令,则,单调递增,,故无解,假设不成立综上,假设不成立,所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,考查导数的应用以及分类讨论和转化思想,属于中档题.21.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:证明:连接交于点,则为的中点.又是的中点,连接,则.因为平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因为直棱柱,所以以点为坐标原点,分别以直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则且,可解得,令,得平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识,考查空间
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