近世代数与尺规作图世界名题

近世代数与尺规作图世界名题

黄福生

近世代数与尺规作图世界名题古代尺规作图三大难题的故事

尺规作图解析判别法

伽罗瓦(Galois)与近世代数

代数发展简史

一、古代尺规作图三大难题的故事三分角问题

倍立方问题

圆化方问题

一、古代尺规作图三大难题的故事1、三分角问题

任意给定一个角，作图工具仅限于直尺和圆规，问能否将这个角三等分

★这是历史最为长久、流传最为广泛的一个几何作图问题，两千多年来，不断有人在这个题目上花费时间，甚至毕生精力。

一、古代尺规作图三大难题的故事2、倍立方问题

要求作一个立方体，使其体积等于己知立方体体积的两倍

★倍立方问题又以“黛利亚神问题”相传

一、古代尺规作图三大难题的故事3、圆化方问题

要求作一个正方形，使其面积等于一个己知圆的面积

★古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯的监狱囚室阳光联想二、尺规作图解析判别法1、每一个平面作图题，我们都可以放到坐标平面上来考虑，事实上，我们只要在平面上引进坐标系就行了二、尺规作图解析判别法2、因平面几何作图题总是要求人们去作出一些线段，或定出一些点的位置，因为点的位置都可以用坐标来确定。所以，归根结底，作图题无非是要求人们去作出具有某种长度的线段，当然，每两个坐标点联结起来也就确定一条线段，因此可以说，几何作图归结为要求定出某些坐标点二、尺规作图解析判别法3、在平面几何作图题里，总可以把一己知线段当做“单位长度线段”，即长度为1，于是利用尺规作图，很容易将该线段n等分，从而求得长为的线段，再将此线段m倍，又可得到长为的线段。总之，一切以有理数为长度的线段都可以作出来。我们把点的坐标或线段长度都简称为几何量二、尺规作图解析判别法4、设r为任一正有理数，则以

为长度的线段也可以作出来。事实上，如图，利用1+r为直径作圆，从线段连接点P引垂线交圆于Q，则PQ=POrQ二、尺规作图解析判别法5、反复利用上述手续，可见长度为的线段也都可以作出来。★只要是由有理数经过有限次“加、减、乘、除、开平方”五则运算得出的数量，都可以用尺规作出以这些数量为长度的线段，这些数量就可以叫做“可作图几何量”。

二、尺规作图解析判别法尺规作图题的解析判别法：

要判别一个平面几何上的尺规作题是否可作，只要分析所要确定的几何量是否为“可作图几何量”就行了

二、尺规作图解析判别法三个尺规作图难题的代数化

1、三分角问题

设己知角的三分之一为A，则已知角为3A，取余弦令得由于x并不能表示成可作图几何量，故三分角用尺规作图不可能

三个尺规作图难题的代数化

2、倍立方问题

设原立方体的边长为a，新立方体的边长为x则倍立方问题表示为代数方程不妨设a=1，则问题变为三次方程的求解问题，然而这也是不可能的

二、尺规作图解析判别法二、尺规作图解析判别法三个尺规作图难题的代数化

3、圆化方问题设正方形的边长为x，己知圆的半径为r，则圆化方问题即可表示为代数方程不妨设r=1，则圆化方问题转化为用直尺和圆规作一条线段其长为，这也是做不到的。

三、伽罗瓦(Galois)与近世代数古典代数、五次方程的根式求解、近世代数伽罗瓦与伽罗瓦理论三个尺规作图难题的代数证明1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数古典代数的中心问题：解代数方程和方程组

有效工具：矩阵论和线性代数学

四次方程的一般求解公式：1545年

L.Ferrarri(Italian,1522-1565)

1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数寻找五次方程的根式求解公式

（1）从1545年以来近300年的努力与失败（2）1830年才由天才的法国数学家伽罗瓦完全解决（3）这中间应特别提到Lagrange，P.Ruffini(1765-1822)，N.H.Abel(1802-1829)等人的名字。1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数寻找五次方程的根式求解公式Lagrange

1770年法国数学家拉格朗日才开始意识到一般五次方程这样的求解公式可能是不存在的。他分析了己知的解方程的方法，并指出可用一个统一的方法去代替这些不同的解法，在讨论中他引入置换、置换的乘法、置换群的概念。约瑟夫·拉格朗日

约瑟夫·拉格朗日，全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数寻找五次方程的根式求解公式P.Ruffini

Lagrange的学生意大利人P.Ruffini证明了一般n次方程当时不能用根式解。然而他是在“方程的解的根式表达式中，每一根号下的式子都是方程的诸根以及单位根的有理函数”这一假设下证明的。1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数寻找五次方程的根式求解公式N.H.Abel

后来Abel证明了上面这一假设是成立的，并在1824年，22岁的挪威大学生阿贝尔再一次独立地得到了Ruffini的证明，至此就完整地证明了一般n次方程当时不能用根式解。不幸，阿贝尔于1829年4月6日早逝于结核病。阿贝尔

翻开近代数学的教科书和专门著作，阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社会并没有给他的才能和成果予以公正的认可。1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数寻找五次方程的根式求解公式Galois

年青而有才华的数学家伽罗瓦深刻地阐明了用根式解代数方程的理论基础。他的天才想法是研究方程根之间的置换，由此产生了群的概念，这使得他们工作的意义远远超出了解代数方程的问题范围，而成为群论以致于近世代数的开拓者。（ÉvaristeGalois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。伽罗华1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数近世代数

研究各类代数系统（带运算或关系的集合）的结构

2、伽罗瓦与伽罗瓦理论伽罗瓦(Galois)法国巴黎附近一座小镇镇长的儿子1828年，17岁时把论文“关于五次方程的代数解法问题”提交法兰西科学院(1828,柯西;1830,富里叶;1831,泊松)考入巴黎高等师范学校因参加政治活动而两次入狱并被学校开除

2、伽罗瓦与伽罗瓦理论伽罗瓦(Galois)1832年4月出狱后不久在与人决斗时负重伤，5月31日上午10时去世14年后，1846年法国数学家刘维尔(Liouville)从伽罗瓦的弟弟手中收集到一些尚未发表的手稿，陆续发表在自已创办并主编的《理论数学与应用数学》杂志上法国数学家,（1809—1882），刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作(第1辑，1—20卷，1836—1855年；第2辑，1—19卷，1856—1874年)。该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》(Liou－ville′sJournal)。

刘维尔(JosephLiouville)2、伽罗瓦与伽罗瓦理论伽罗瓦(Galois)1852年起，有人首先读懂了伽罗瓦的论文并弄清了他的思想1894年，狄德金(Dedekind,德国代数和数论专家)对伽罗瓦理论作了系统的阐述

1948年，阿丁(Artin)所写的关于伽罗瓦理论的讲义成为后人的样版

19世纪后期，人们才认识到伽罗瓦工作对于代数学划时代的影响

狄德金尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）又译狄德金，最伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。阿丁(Artin)Artin(1898～1962)奥地利数学家。阿丁前期工作主要是在类域论、实域理论、抽象代数等方面。在此期间，他和E.诺特以及他们的学派极大地推动了抽象代数学的发展。后期工作主要是在环论、伽罗瓦理论、代数数论中的类数问题及拓扑学的辫子理论方面。著作有《类域论》和《阿廷文集》。2、伽罗瓦与伽罗瓦理论伽罗瓦理论的基本思想关于域的问题可以转化为域的自同构形成的群的问题来进行讨论3、三个尺规作图难题的代数证明

因用到域论和Galois理论的较多知识，故略去

四、代数发展简史

1、二次方程★方程式：★求根公式：★发展阶段：公元前20世纪------公元后12世纪四、代数发展简史

2、三次方程

★方程式：★求根公式：★G.Cardano(Italian,1501-1576),N.Tartaglia(Italian,1499-1577)，Cardano（1501～1576）生于意大利Pavia，卒於罗马，是意大利米兰的学者。现在我们称三次方程的求根公式叫作「Cardano公式」，这公式其实不是Cardano发现的，而是他在1539年从别人那里骗到的，把它写入《ArsMagna》（大衍术）书中。他有多方面的才干，曾写过一本机率对局的书，这是有关机率论最早的一本书。他性喜赌博，因而对机率产生了兴趣卡丹Cardano

四、代数发展简史

3、四次方程

★方程式：★求根公式：略

★L.Ferrarri(Italian,1522-1565)

四、代数发展简史

4、五次及五次以上方程

★方程式：★N.Abel(Norwegian,1802-1829)五次以上一般方程不能用根式求解★E.Galois(French,1811-1832)一个方程可用根式求解的条件四、代数发展简史

5、线性方程组

★最早出现：巴比伦(公元前1900年)

★消元法：中国(公元前200年)---三元线性方程组★系统研究的开端：Leibnitz(1693)★Cramer法则(1750)

★Gauss消元法(1800)

★Gauss-Jordan消元法(1888)四、代数发展简史

6、行列式★1693：Leibnitz解线性方程组时发现了行列式★1750：Cramer法则---用行列式表达的线性方程组解的公式★1800：Gauss使用行列式(Determinant)一词★1812：Cauchy引入现代意义下的行列式，证明了行列式乘法定理★1890：Weierstrass引入行列式的公理化定义四、代数发展简史

7、矩阵★1773：矩阵首次出现在Lagrange的工作★1848：Sylvester首次使用矩阵(matrix)一词★1855：Cayley引入了矩阵的运算★1878：Frobenius引进