达朗贝尔原理

理论力学TheoreticalMechanicsWednesday,February1,2023主讲教师：祝瑛第6章达朗贝尔原理综合实验楼508Tel51682724第6章达朗贝尔原理§6-1质点的达朗贝尔原理§6-2质点系的达朗贝尔原理§6-3刚体惯性力系的简化§6-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力

§6-1质点的达朗贝尔原理－惯性力一原理的描述如果在质点上除作用有主动力及约束力外，再假想地加上惯性力，则这些力构成平衡力系。－质点的达朗贝尔原理令FNFmFI主动力约束力Inertiaforce牛二定律移项a二惯性力对于非平衡质点（有加速度），受到外力作用时将被迫改变运动状态，此时受力质点将对施力物体产生反作用力，来维持自身的惯性运动，该力即为惯性力；对于质点本身，惯性力是假想的，无施力物体。惯性力反映了物体维持自身惯性运动的能力。大小等于ma，方向永远与加速度a的方向相反。二惯性力问题在一辆公共汽车上，站着两个人，他们的身高相等，一个胖、另一个瘦。请问在车子猛然间启动和急刹车时，谁更容易摔倒？使人摔倒的汽车加速度应满足什么条件？问题北半球两辆南北方向相向而行的列车，应该安排在哪条车道上行驶？北半球两辆南北方向同向而行的列车，超车应该在哪条车道？左右左右科氏惯性力问题东西走向的铁路上，对于由东向西行驶的列车和由西向东行驶的列车，哪个可以高速行驶，哪个不可以。东科氏惯性力X由法国科学家J.Ler.达朗贝尔于1743年提出的,该原理建立在牛顿第二定律的基础上。质点的达朗贝尔原理表明，如果在运动着的质点上加上假想的惯性力，则质点处于平衡，因而可将动力学问题转化成静力学问题－动静法。求解惯性力就是求解运动；求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）。在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便。三达朗贝尔原理（动静法）四动静法基本解题步骤取研究对象，分析质点受力，画出质点受到的所有主动力F和约束力FN

；——先画真实力分析质点的运动，特别是加速度，对质点施加惯性力FI

；——再画惯性力利用达朗贝尔原理的数学表达式F+FN+FI=0

求解未知量。——列达朗贝尔方程并求解lOq例1单摆摆长l，摆锤质量m，求单摆的运动规律及绳的约束力。解：以摆锤为研究对象，分析受力，mganatFTFItFIn由质点的达朗贝尔原理有：例2设垂直振动筛的运动方程为y=asinωt，试求颗粒与台面脱离的最小振动频率ωmin。

解：颗粒上惯性力列平衡方程脱离条件取颗粒为研究对象§6-2质点系的达朗贝尔原理一原理的描述质点i:质点系的主动力系、约束力系和惯性力系组成平衡力系各质点间内力成对出现作用于质点系上的主动力系、约束力系和惯性力系在形式上组成平衡力系。－质点系的达朗贝尔原理。力系主矢力系主矩例1如图所示,滑轮的半径为r,可绕水平轴转动，质量m均匀分布在轮缘上，轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物，且m1>m2。绳的重量不计,绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦不计。求重物的加速度。二应用举例解:分析整体OxyRAB解：由对称性，取1/4轮缘研究由于结构的对称，任一横截面张力相同例2飞轮质量为m，均匀分布在较薄的轮缘上，半径为R，以等角速度w定轴转动。不考虑重力的影响。求轮缘横截面的张力。qiDqiFIiFAFB考虑其上的一微弧段ain张力不相同会怎样？例3如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于Ｃ处，偏心矩ＯＣ＝e,图示平面为转子的质量对称面。电动机用地角螺钉固定于水平基础上，转O与水平基础间的距离为h。运动开始时，转子质心Ｃ位于最低位置，转子以匀角速度w转动。求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力。解：画电机整体的受力图，加惯性力列达朗贝尔方程，求解未知量其中解得例4长为l、重为P的均质细长杆，以等角速度ω绕固定铰（球铰）转动，形成一锥摆，试计算杆偏离铅垂线的角度φ及O铰约束力。解：以OA杆为研究对象，FIRP瞬时平面力系xFIRPzxOjwXOZO§6-3刚体惯性力系的简化1.刚体作平动力系向一点简化，结果得到一主矢和一主矩Ci平动刚体的惯性力可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。向质心简化换言之：平动刚体的惯性力“作用点”为质心C，与加速度方向相反。研究对刚体如何施加惯性力zmiOriaxyqi2.刚体绕定轴转动取任意一点i，向转轴上一点O简化，结果为：一主矢+一主矩主矢：主矩：惯性力riri按第一行展开，并考虑：——对z轴的惯性积（或称离心转动惯量）令—刚体对z轴的转动惯量对轴的转动惯量也可称作轴惯性矩，它表示系统绕相应轴转动时的惯性度量；对轴的惯性积也称离心转动惯量或离心惯性矩，表示系统质量非平衡性的度量，它描述了相对坐标平面质量分布的非对称性；轴转动惯量和离心转动惯量对于不同点和不同位置、不同方向的轴是不同的。若过O点的转轴垂直平面xy为刚体的质量对称面，则此时：转轴z称为惯性主轴若惯性主轴通过质心C点：

z轴称为中心惯性主轴mImIIxyOmI=mII结论（定轴转动刚体施加惯性力的方法）1、惯性力系向转轴上任意一点O简化即为在O点处加上： 一个主矢

和一个空间主矩矢2、惯性力系向转轴与质量对称面的交点O简化即为在O点处加上： 一个主矢

和一个平面主矩3、惯性力系向刚体的质心C点简化即为在点C处加上： 一个主矢

和一个对称面内主矩JC为刚体对于与转轴z平行的质心轴的转动惯量4、若质心C点在转轴z上，则只有平面主矩，而无主矢。简化点无论设在何处,惯性力主矢

3.刚体作平面运动（平面图形的运动平行于刚体的质量对称面，研究对称面的平面运动）以质心C为简化中心C分析运动时也以C为基点即：刚体的平面运动将被分解为随同质心的平动和绕质心的转动，则对平面运动刚体，需在刚体的质心C点处加上：

一个惯性力主矢FIR和一个惯性力主矩MIC例1如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的角速度为w，角加速度为a。求：惯性力系向点Ｏ简化的结果（方向在图上画出）。解：在O点施加杆的惯性力求主矢求主矩1、将惯性力向质心C简化2、将惯性力向转轴A简化3、将惯性力向杆上B点简化AB惯性力向质心C简化：ABAB惯性力向转轴A简化：思考：已知均质杆长为L，质量为m，角速度为零，角加速度为，AB惯性力向B点简化：如何确定惯性力合力的作用线？例2梁及轮盘重W，轮盘半径为r，对质心O的转动惯量为J，重物重P。在轮盘的轴承上装有驱动力矩为M的电机。求重物提升的加速度a及支座A与B处的约束力FA和FB。解：动静法1.求加速度：取重物轮盘系统，分析受力及运动，列达朗贝尔方程：虚加惯性力，如图所示解得：2.求支座约束力:取整体，分析受力及虚加惯性力，如图，列平衡方程，求解3.结果分析:结果中前两项为静约束力，最后一项为由于加速提升重物而对支座A、B产生的附加动约束力(即动反力)，分别为：动反力的数值往往要比静反力大许多倍，是造成机组运行不稳定甚至破坏的主要因素，在工程中应引起足够重视。圆盘平面运动，设轮以加速度a向下运动COxa例3均质圆盘半径为r,质量为m,在重力作用下沿倾角为的斜面向下作纯滚动,求圆盘下降的加速度及斜面的摩擦力。解：例4：已知，均质圆盘质量m1，半径R；均质杆质量m2，杆长l=2R；轮子纯滚动。求：F多大，能使杆B端刚好离开地面？纯滚动的条件？B得解：1、分析杆AB，画受力图，列达朗贝尔方程

刚好离开地面时，地面约束力为零。2、分析整体，画受力图，列达朗贝尔方程

解得解得由解得解：（1）分析OA、AB杆的运动：OA作定轴转动，AB作平面运动。设初始瞬时两杆的角加速度分别为a1及a2。质心加速度分别为aC1及aC2.例5长均为l，质量均为m的均质杆OA、AB铰接于O，在图所示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB的角加速度。（2）取整体分析受力。在OA杆的O点虚加OA杆的惯性力，在AB杆的质心C2点虚加AB杆的惯性力。则：（3）加惯性力后，得到平衡刚体系统，于是(4)再考虑AB杆平衡：分析AB杆受力则：联立(1),(2)求解:小结：在用动静法解题时，可以充分运用静力学的解题技巧。如让某些未知力通过某个矩心，让某些未知力垂直某个投影轴，以避免某些未知力在平衡方程中出现，争取一个方程求解一个未知数等。在本题中，利用动静法中灵活选取矩心，少解了一个未知数。例7长为l，质量为m的均质杆AB的一端焊接于半径为r的圆盘边缘上，若已知图示瞬时圆盘的角速度ω=0，角加速度为a。求焊缝A处的附加动约束力。解：分析杆AB杆以O为轴作定轴转动，质心C加速度为分析杆受力，并将杆的惯性力向转轴O简化根据动静法列平衡方程§6-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力将力系向转轴上一点O简化，得主动力系主矢FR和主矩MO

，惯性力系主矢FIR和主矩MIO

：建立直角坐标系，列空间力系平衡方程，即可求得轴承全约束力分别为SFx=0,SFy=0,

SFz=0,SMx=0,SMy=0动约束力刚体绕定轴转动时，轴承处除有由主动力引起的约束力外，由于刚体质量分布不均衡，还可因转动引起附加约束反力，此附加部分即称为轴承动约束力。即：必有因此，避免出现轴承动反力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。轴z为中心惯性主轴动约束力为零的条件为：例如图所示，轮盘(连同轴)的质量m=20kg，转轴AB与轮盘的质量对称面垂直，但轮盘的质心C不在转轴上,偏心距e=0.1mm，当轮盘以匀转速n=12000r/min转动时。求：轴承A,B的约束力。解：∵∴其中静约束力动约束力结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是：xC=0，yC=0且Jxz=0，Jyz=0，即：转轴通过质心，且刚体对转轴的惯性积等于零或：刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴惯性主轴过刚体上任意一点O可有无数条转轴，若其中有三条轴满足：

Jxy=Jyz=Jzx=0，则称x，y，z为刚体过O点的惯性主轴，可以证明三轴两两垂直；若仅满足Jxy=Jyz=0，

则y为惯性主轴，而x，z不是；对称轴必是惯性主轴之一；刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量，对所有通过O点的轴来说，刚体对短惯性主轴的主转动惯量最大，对长轴的最小。静平衡与动平衡的概念轴承动反力起因：1、刚体质心不在转轴上，使得惯性力主矢不等于零；2、转轴虽过刚体质心，但对转轴的两个惯性积不等于零，使得对两条转轴垂直轴的惯性力主矩不等于零。静平衡与动平衡： 刚体质心在转轴上，刚体可在任意位置随遇平衡的现象称为静平衡； 刚体绕任何一条中心惯性主轴作匀速转动时，其惯性力自成平衡的现象称为动平衡。 达到动平衡的转子，若无外力作用，可绕中心惯性主轴永保匀速转动的惯性。转轴为刚体的中心惯性主轴时，刚体（转子）是平衡的（图（a））。当转轴不通过质心时（图（b）），产生轴承动约束力，转子不平衡；由于这种不平衡可以用静力学的方法发现,故称静不平衡。静平衡实验用以