浙江省2023年中考数学专题复习-专题五-阅读理解型问题训练

专题五阅读理解型问题类型一新定义型问题(2023·浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为eq\r(65)，此时正方形EFGH的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为eq\r(65)时，正方形EFGH的面积的所有可能值是____________________(不包括5)．【分析】当DG＝eq\r(13)，CG＝2eq\r(13)时，满足DG2＋CG2＝CD2，此时HG＝eq\r(13)，可得正方形EFGH的面积为13.当DG＝8，CG＝1时，满足DG2＋CG2＝CD2，此时HG＝7，可得正方形EFGH的面积为49.当DG＝7，CG＝4时，此时HG＝3，四边形EFGH的面积为9.【自主解答】1．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形．(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求eq\f(BD,AC)的值．图1图2类型二新知识学习型问题(2023·湖南张家界中考)阅读理解题在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式为：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋c|,\r(A2＋B2))，例如，求点P(1，3)到直线4x＋3y－3＝0的距离．解：由直线4x＋3y－3＝0知：A＝4，B＝3，C＝－3，所以P(1，3)到直线4x＋3y－3＝0的距离为：d＝eq\f(|4×1＋3×3－3|,\r(42＋32))＝2.根据以上材料，解决下列问题：(1)求点P1(0，0)到直线3x－4y－5＝0的距离；(2)若点P2(1，0)到直线x＋y＋C＝0的距离为eq\r(2)，求实数C的值．【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解；(2)根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．【自主解答】2．(2023·山东济宁中考)知识背景当a＞0且x＞0时，因为(eq\r(x)－eq\f(\r(a),\r(x)))2≥0，所以x－2eq\r(a)＋eq\f(a,x)≥0，从而x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(a)(当x＝eq\r(a)时取等号)．设函数y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0，x＞0)，由上述结论可知，当x＝eq\r(a)时，该函数有最小值为2eq\r(a).应用举例已知函数y1＝x(x＞0)与函数y2＝eq\f(4,x)(x＞0)，则当x＝eq\r(4)＝2时，y1＋y2＝x＋eq\f(4,x)有最小值为2eq\r(4)＝4.解决问题(1)已知函数y1＝x＋3(x＞－3)与函数y2＝(x＋3)2＋9(x＞－3)，当x取何值时，eq\f(y2,y1)有最小值？最小值是多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？类型三迁移发展型问题(2023·山东淄博中考)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连结GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是________________；位置关系是________________．(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【分析】(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，进而判断出∠BDC＋∠DBH＝90°，即∠BHD＝90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出MG＝NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【自主解答】此类题型要从提供的材料中，通过阅读理解其复杂的思想方法，将其概括成数学模型去解决同类或更高层次的另一类相关命题，在解题过程中，类比材料所给的原有问题，从中将相关的知识、思想方法、解题策略迁移到新的问题中，是解决此类问题的关键所在．3．问题背景：如图1，△ABC为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC为等边三角形，点P是△ABC外一点，∠BPC＝60°，将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后，PC边恰好经过点A，探究PA，PB，PC之间存在的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F是BM上一点，连结AF，DF，DF交BN于点E，若B，E两点恰好关于直线AF对称．(1)证明△BEF是等边三角形；(2)若DE＝6，BE＝2，求AF的长．类型四方法模拟型问题(2023·贵州贵阳中考)如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究eq\f(a,sinA)与eq\f(b,sinB)之间关系的方法：∵sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴c＝eq\f(a,sinA)，c＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)之间的关系，并写出探究过程．图1图2【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，过点B作BE⊥AC，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．【自主解答】4．(2023·山西中考)综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连结DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连结AM.试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴eq\f(EM,DM)＝eq\f(EB,AB).(依据1)∵BE＝AB，∴eq\f(EM,DM)＝1.∴EM＝DM.即AM是△ADE的DE边上的中线，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连结CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连结CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案类型一【例1】当DG＝eq\r(13)，CG＝2eq\r(13)时，满足DG2＋CG2＝CD2，此时HG＝eq\r(13)，可得正方形EFGH的面积为13.当DG＝8，CG＝1时，满足DG2＋CG2＝CD2，此时HG＝7，可得正方形EFGH的面积为49.当DG＝7，CG＝4时，此时HG＝3，四边形EFGH的面积为9.故答案为9，13和49.变式训练1．解：(1)∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3，①当AB2＝BC·AC时，得4＝3AC，解得AC＝eq\f(4,3)；②当BC2＝AB·AC时，得9＝2AC，解得AC＝eq\f(9,2)；③当AC2＝AB·BC时，得AC2＝6，解得AC＝eq\r(6)(负值舍去)，∴当AC＝eq\f(4,3)或eq\f(9,2)或eq\r(6)时，△ABC是比例三角形．(2)∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴eq\f(BC,CA)＝eq\f(CA,AD)，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H.∵AB＝AD，∴BH＝eq\f(1,2)BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(BH,BC)，即AB·BC＝BH·DB，∴AB·BC＝eq\f(1,2)BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴eq\f(1,2)BD2＝AC2，∴eq\f(BD,AC)＝eq\r(2).类型二【例2】(1)d＝eq\f(|3×0－4×0－5|,\r(32＋42))＝1.(2)eq\r(2)＝eq\f(|1×1＋1×0＋C|,\r(2))，∴|C＋1|＝2，∴C＋1＝±2，∴C1＝－3，C2＝1.变式训练2．解：(1)eq\f(y2,y1)＝eq\f(（x＋3）2＋9,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(9,x＋3)，∴当x＋3＝eq\f(9,x＋3)时，eq\f(y2,y1)有最小值，∴x＝0或－6(舍弃)时，有最小值6.(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元，则w＝eq\f(490＋200x＋0.001x2,x)＝eq\f(490,x)＋0.001x＋200，∴当eq\f(490,x)＝0.001x时，w有最小值，∴x＝700或－700(舍弃)时，w有最小值，最小值为201.4元．类型三【例3】(1)MG＝NGMG⊥NG如图，连结BE，CD相交于H.∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB(SAS)，∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE.∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG綊eq\f(1,2)CD.同理NG綊eq\f(1,2)BE，∴MG＝NG，MG⊥NG，∴MG＝NG，MG⊥NG.(2)连结CD，BE相交于点H，同(1)的方法得MG＝NG，MG⊥NG.(3)如图，连结EB，DC，延长线相交于H，同(1)的方法得MG＝NG，同(1)的方法得△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同(1)的方法得MG⊥NG，∴△GMN是等腰直角三角形．变式训练3．解：问题背景：证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°.由题意得∠ABE＝30°，∠EBF＝60°，∴∠EBD＝∠FBD＝30°.∵BD⊥AD，∴∠BED＝60°，∴△BEF为等边三角形．迁移应用：PC＝PA＋PB.证明：如图，在PC上截取PG＝PB，连结BG.∵∠BPC＝60°，∴△BPG为等边三角形，∴BG＝BP，∠PBG＝60°，PB＝BG，∴∠PBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝60°，∴∠PBA＝∠GBC.又AB＝BC，∴△APB≌△CBG，∴PA＝GC，∴PC＝PG＋CG＝PB＋PA.拓展延伸：(1)如图，∵B，E两点关于直线AF对称，∴FE＝FB.∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形．(2)由(1)知，△BEF是等边三角形，如图，连结AE，过点A作AH⊥DE于点H.∵B，E两点关于直线AF对称，∴AE＝AB.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AD，∴DH＝HE＝eq\f(1,2)DE＝3，∴HF＝HE＋EF＝3＋2＝5.由(1)知，△BEF是等边三角形，FA⊥EB，∴∠EFA＝eq\f(1,2)∠EFB＝30°.在Rt△AHF中，cos∠HFA＝eq\f(HF,AF)＝eq\f(\r(3),2)，∴AF＝eq\f(HF,cos30°)＝eq\f(10,\r(3))＝eq\f(10\r(3),3).类型四【例4】eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).理由如下：如图，过A作AD⊥BC，过点B作BE⊥AC.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，即AD＝csinB，在Rt△ADC中，sinC＝eq\f(AD,b)，即AD＝bsinC，∴csinB＝bsinC，即eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，同理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，则eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).变式训练4．解：(