数值分析课件2023xin王兵团-数值分析整理

数值分析1.数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化。病态问题：因初始数据微小变化，导致计算结果剧烈变化的问题良态问题：初始数据微小变化，只引起计算结果微小变化的计算问题。数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有误差，而计算过程中产生的舍入误差不断增长。例子2.误差的来源：①模型误差：在数学建模时，由于忽略了某些次要因素而产生的误差；②观测误差：在采集原始数据时，由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；③截断误差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差；④舍入误差：计算机因数系不全，由接受和运算数据的舍入引起的误差。科学计算中值得注意的地方：①避免两个相近的数相减；②合理安排量级相差很大的数之间的运算次序，防止大数吃小数；③避免绝对值很小的数做分母；④简化运算步骤，减少运算次数。3.用计算机做科学计算时的溢出错误。机器数系是有限的离散集，机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M和m，若一个非零实数的绝对值大于M，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m，则计算机产生下溢错误。上溢错误时，计算机中断程序处理；下溢错误时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。4.解非线性方程单根的牛顿法具有二阶收敛。简单迭代法具有一阶收敛性。当且有2阶导数时，Newton迭代法才有二阶敛速。5.对(n+1)个节点的Newton-cotes求积公式，在时，Cotes系数大于0，而在时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。6.当系数矩阵A是严格对角占优矩阵，Jacobi格式、Seidel格式都收敛。7.用高斯消元法求解线性方程组，一般使用选主元的技术是因为要减少舍入误差。8.解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域内取初值，有初值限制。9.二分法是全部收敛，简单迭代法是局部收敛。10.四种插值方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多项式插值。11.截断误差是对参与计算的数学公式作简化处理后所产生的误差，在所学的数值方法中插值和数值积分都涉及截断误差处理的内容，分别为插值余项和积分余项。例：无穷项相加，我们用近似计算就产生截断误差。12.线性方程组迭代解法的基本思想是将现行方程组作等价变形，得到同解的易于作迭代计算的线性方程组，用计算出的迭代序列来逼近解。考虑线性方程组及由次方程组构造的迭代格式，判断此迭代格式的收敛方法有：(1)若，则迭代格式收敛；(2)若，则迭代格式收敛，是矩阵B的某种算子范数；(3)若矩阵A是严格对角占优矩阵，则线性方程组的Jacobi迭代和Seidel迭代对任意初值都收敛；(4)若矩阵A是对称正定矩阵，则线性方程组的Seidel迭代对任意初值都收敛；(5)Sor法收敛的必要条件是松弛因子满足。13.Newton迭代公式的收敛条件：(1)(2)，(3)存在且不变号，则，只要，则迭代公式产生的数列一定收敛于上的为一根。14.引入分段插值的原因及目的。Runge现象：随着节点n的增加，误差不但没减小，反而不断增大。原因是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式，而高次多项式的舍入误差是随次数的增加而不断变大的，用高次多项式插值作数值计算时舍入误差将“淹没”了增加节点提高的精度。Runge现象否认了用高次插值公式提高逼近精度的做法，因此引入了分段插值法。定义如下：取上的n+1个节点：，并给出这些节点上的函数值，。若函数满足条件：(1)在上连续；(2)，；(3)在每个小区间是m次多项式，，则称为在上的分段m次插值多项式。15.Newton法的基本思想：将函数做线性化处理，把方程转化为对应的近似方程，再从中构造迭代公式。Newton法在附近是平方收敛的。16.Seidel格式比Jacobi格式占用的内存空间大。17.①列范数：；②行范数：；③F范数：；④2范数：，是最大特征值；⑤谱半径：；⑥条件数：。特征值：求得的m即为A的特征值。矩阵的条件数可反映系数的敏感性，其值越大，解对系数越敏感，因而方程组越病态。18.2点Newton-Cotes公式【梯形公式】：3点Newton-Cotes公式【Simpson公式】：复化梯形公式：，余项：，复化Simpson公式：，余项：，19.插值与拟合的区别。插值与拟合都是有一组数据点构造一个近似函数，但他们的近似要求不同。二者都属于函数逼近范畴。①插值函数在几何上的描述为过所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。插值是对在区间上的n+1个互异的点及各个点对应的函数，找出的一个近似函数，使得，即为插值函数。②拟合函数在几何上的描述为穿越所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。拟合是对在区间上的n+1个点(不一定互异)，根据各个点对应的函数画出的点图来选择用什么类型的函数做逼近函数，逼近函数通过，，的拟合条件获得，则这样求出的称为拟合函数。20.Lagrange插值步骤：①利用互异插值节点，算出插值基函数，；②利用插值基函数构造插值多项式。优点：利用插值基函数很容易得到Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中很方便。缺点：当插值节点增减时，全部要随之变化，在实际计算中很不方便。n次Lagrange插值多项式至少需要n+1个插值节点数据。与其相比，Newton插值具有承袭性和易于变动节点的特点。21.L-插值和N-插值的异同。L-插值：余项：，其中：，N-插值：余项：同：①，余项；②表达式均为基函数的线性组合。异：①L-基与N-基不同；②计算L-插值主要计算基函数，计算N-插值主要计算组合系数或各阶商差；③高次N-插值包含低次N-插值，而L-插值不然。22.数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。①直接法使用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法，这里的“准确解”是指在求解过程中不考虑舍入误差影响得出的解。②迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量，逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解，是一种逐次逼近的方法。23.三对角线性方程组用追赶法计算求解效果最好，对称线性方程组用法。24.若n点的求积公式具有2n-1次的代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式。n点插值型求积公式的代数精度至少是n-1，至多为2n-1。【注意：若下标从1开始，则代数精度为2n-1，若下标从0开始，则代数精度应为2n+1】25.判断迭代的收敛阶：写出迭代方程计算各阶导数,判断各阶导数在根处是否为0,若,则最高为n阶收敛。判断求积公式的代数精度：取，，代入，验证是否成立，，第一个使的k值，则对应的代数精度为k-1。26.求微分方程初值问题的Euler方法的绝对稳定域是，绝对稳定区间是。第一章绪论1.绝对误差：绝对误差限：相对误差：相对误差限：2.绝对误差计算公式：3.相对误差计算公式：4.绝对误差：相对误差：5.有效数字：，则称有n位有效数字。6.相对误差与有效数字的关系：①若有n个有效数字，则的相对误差为：；②若的相对误差为：，则有n个有效数字。第二章非线性方程的球根方法1.二分法：精度，，，即迭代次数：2.简单迭代法：将转化为不动点方程，构造迭代公式，取定一个初值，由迭代公式求的：，，⋯⋯★收敛判别：①当时，有；②任取存在与无关的正常数，满足，则在中有唯一的不动点，且迭代公式对任取的，产生的数列都收敛于。★②可替换为：，，定理同样成立是的不动点，在处连续，时，局部收敛；时,发散。★误差估计式：，精度，，，可得迭代次数：★步骤：①说明方程在所取区间内有唯一解：，在上不变号；②证明采取的迭代公式具有收敛性：，，；③迭代求解，用判断。3.判断迭代的收敛阶：写出迭代方程计算各阶导数,判断各阶导数在根处是否为0,若,则最高为n阶收敛。★步骤：①确定迭代格式：；②据已知条件建立方程组：，，⋯⋯；③求出未知系数，建立迭代公式，计算，则迭代收敛阶最高为m。4.Newton迭代法：当时，且有二阶导数，则至少是平方收敛，否则为线性收敛。★收敛判别：，满足下列三个条件：①当；②，；③存在且在上不变号；则在内任取一点，只要，则迭代公式产生的数列，一定收敛于上的唯一根第三章线性方程组的解法1.数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。①直接法使用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法，这里的“准确解”是指在求解过程中不考虑舍入误差影响得出的解。②迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量，逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解，是一种逐次逼近的方法。2.迭代法：Jacobi迭代法：Seidel迭代法：Sor迭代法：以Seidel迭代法为基础，可以改变收敛速度。其中：3.判断收敛性：当不能用范数或者矩阵本身性质判定时：①对Jacobi，对其求特征值，，，若，则Jacobi迭代收敛。②对Seidel，求特征值，，即，，若，则迭代收敛。4.范数：①列范数：；②行范数：；③F范数：；④2范数：，是最大特征值。特征值：求得的m即为A的特征值。5.Gauss消元法：消元过程——回代过程，计算量为：；适用条件：的系数矩阵A的顺序主子式都不为0。列主消元法和全主消元法(首选)6.LU分解法：，将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积。，，①Doolittle分解：非奇异矩阵A的Doolittle分解是唯一的②Grout分解：③LDU分解：7.法：专用于对称线性方程组，计算量为。，，，由矩阵A的LDU分解的唯一性可得，，，，8.追赶法：求解三对角方程组的专用方法，计算量仅为5n-4。三对角方程组的系数矩阵A：，，，9.条件数：设为非奇异矩阵，称为矩阵A的条件数。矩阵的条件数可反映系数的敏感性，其值越大，解对系数越敏感，因而方程组越病态。第五章插值与拟合方法1.插值与拟合的区别。插值与拟合都是有一组数据点构造一个近似函数，但他们的近似要求不同。二者都属于函数逼近范畴。①插值函数在几何上的描述为过所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。插值是对在区间上的n+1个互异的点及各个点对应的函数，找出的一个近似函数，使得，即为插值函数。②拟合函数在几何上的描述为穿越所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。拟合是对在区间上的n+1个点(不一定互异)，根据各个点对应的函数画出的点图来选择用什么类型的函数做逼近函数，逼近函数通过，，的拟合条件获得，则这样求出的称为拟合函数。2.Lagrange插值。余项：，其中：，3.商差表：一阶商差二阶商差⋯⋯n阶商差⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.Newton插值。余项：5.Newton前插公式：Newton后插公式：当值靠近时，用Newton前插公式，而当靠近时，用Newton后插公式。5.Hermite插值：有(2n+2)个条件，所以有(2n+1)次多项式。2n+1次Hermite插值多项式是唯一的。2n+1次Hermite插值多项式的余项为：6.分段多项式插值：Runge现象：随着节点n的增加，误差不但没减小，反而不断增大。原因是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式，而高次多项式的舍入误差是随次数的增加而不断变大的，用高次多项式插值作数值计算时舍入误差将“淹没”了增加节点提高的精度。Runge现象否认了用高次插值公式提高逼近精度的做法，因此引入了分段插值法。定义如下：取上的n+1个节点：，并给出这些节点上的函数值，。若函数满足条件：(1)在上连续；(2)，；(3)在每个小区间是m次多项式，，则称为在上的分段m次插值多项式。7.曲线拟合法——最小二乘曲线拟合方法：★步骤：①根据题意取基函数：，；②建立m次曲线拟合函数：，；③求建立法方程组：若题中有c组数据，则n=c-1，法方程组如下：8.最佳平方逼近：曲线拟合是用已知离散数据点来求拟合函数，若用已知连续函数取代离散数据去求拟合函数，则为函数逼近的内容，即最佳平方逼近。只要将曲线拟合中设计节点累加的符号换成定积分符号第六章数值积分与数值微分方法1.若存在实数；，且任取，都有，则称为一个数值求积公式。称为求积系数，称为求积节点。2.评价一个求积公式的优劣可以用求积余项来说明，通常用与求积余项有关的代数精度来评价求积公式。判断求积公式的代数精度：取，，代入，验证是否成立，，第一个使的k值，则对应的代数精度为k-1。3.插值型求积公式：当为次数小于n的多项式时，，，插值型求积公式的代数精度至少为n-1求积系数：求积公式：求积余项：4.Newton-Cotes求积公式：当求积节点个数为奇数时,Newton-Cotes求积公式代数精度至少为n；为偶数时，代数精度至少为n-1为使求积系数计算简单，将求积节点取为上的等距节点，，，n点的Newton-Cotes求积公式：2点Newton-Cotes公式【梯形公式】：，余项:，3点Newton-Cotes公式【Simpson公式】：，余项:对n个节点的Newton-cotes求积公式，在时，Cotes系数大于0，而在时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。5.Gauss型求积公式：Gauss型求积公式是稳定的。若n点的求积公式具有2n-1次的代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式。【注意：若下标从1开始】Gauss型求积公式的求积余项：6.复化求积公式：，，，将积分区间n等分，有n+1个节点。复化梯形公式(代数精度为1)：，余项：若，对于给定精度，令，得出复化Simpson公式(代数精度为3)：，余