电磁学通论 Chapter3 恒定电流场 直流电路

章节概述一、电流场的描述、电流场的若干运动学关系、电荷守恒律的积分形式和微分形式、恒定电流场的通量定理及其散度方程和边值关系、导电介质的电流动力方程和金属导电的微观模型。二、旋转带电体的电流场，及其相联系的体电流密度、面电流密度和线电流强度。三、三种热电效应或温差电效应。四、电阻率和迁移率及其对温度的依赖。3.1电流场的运动学关系3.2导电介质中电流场动力学方程3.3金属导电的微观模型3.4电源与电动势热电效应3.5直流电路三、恒定电流场直流电路23.1电流场的运动学关系电流场的概念电流密度矢量j电流强度I与j之关系稳恒电流场系无源场讨论—不断膨胀的空间电荷所造成的电流场产生电流的条件j与载流子运动速度v之关系电荷守恒律及其定量表达式例题—旋转带电体形成的电流场▲电流场的概念电荷的运动形成电流。3图(a)，浅层电解槽中出现的二维电流场图像。

图(b)，在大地某局域中出现的三维电流场图像。。

图(c)，直流电路。它由电阻元件、导线和直流电源三者组成一闭合回路，其电流被局限于这一线型回路。

空间电荷的运动，同样地可以形成一个三维电流场，或二维电流场或一维电流场。

带电体运动起来，或转动或平动，也将形成电流。

4▲产生电流的条件:静止的连续介质，需具备以下两个条件：(1)介质体内存在能自由运动的电荷。比如，金属导体中的自由电子，溶液或气体中的正、负自由离子，半导体中的电子和空穴。它们被统称为载流子，其意为电流的载体之单元。体内存在载流子的介质统称为导电介质。(2)介质体内存在可驱使电荷运动的力。可分为两类，一类为静电场力，另一类为非静电力。非静电力：直流电源内部因化学势不同而产生的化学力，载流子浓度差产生的扩散力，载流子温度差产生的温差力，磁场施于运动电荷的洛伦兹力，磁场变化产生的涡旋电场力，等等。5例：对于一般绝缘载流导线而言，当其线径为1mm左右，其额定电流密度约为10A/mm2；而当其线径为5mm左右，其额定电流密度降为约4A/mm2。▲电流密度矢量j:

单位时间内通过单位正截面的电量公式（3.1）：电流密度单位：(安／米2)6(1)电流密度矢量场j(p)

可以用电流场给出逐点定量描述。

(2)可以由电流密度矢量求得通过任意面元的电量值。

在图3.2(a)中，斜面元与对应的正面元之关系：通过斜面元的电量值等于通过正面元的电量值:(公式3.2)或7▲j与载流子运动速度ν之关系:载流子的定向运动形成电流：如图所示，一定时间内载流子的运动所经过的体积。，其中所含电量：由公式(3.1)有：最后得(公式3.3)：对于金属，其导电载流子均为自由电子(-e)，上式可写成：

(3.3’)对于电解液，其导电载流子同时有正离子与负离子，则

，(3.3”)这两项电流密度是同向的，虽然速度是反向的。8()()9例题:试估算载流导体中自由电子定向运动速度(数量级)设其电流密度为Nmol6104对于一般金属：1061023在假设每个原子贡献一个自由电子的前提下自由电子数密度为：相应的自由电荷体密度为:自由电子定向运动速率为:I==，(→0)10▲电流强度I与j之关系:电流强度I:单位时间通过该曲面的电量,单位为安倍。=A1安培电流等于在1秒钟内通过1库仑电量电量dQ等于(S)面上大量小面元ds所通过电量dq之和,则有：11最终电流强度与电流密度矢量之关系式为:(公式3.4’）

式(3.4’)表达的j与I的关系，完全相同于静电学中场强E与电通量的关系：12▲

电荷守恒律及其定量表达式:一个孤立系统的总电荷量不变，即在任何时刻，系统的正电荷与负电荷之代数和保持不变。★电荷守恒律是大量实验事实的总结。1897年,英国物理学家J.J.汤姆孙阴极射线是由电子所组成电子的发现及其荷质比的确定，为精确建立电荷守恒律图(b)，在电流场j(r)中，考察一闭合()所包围的区域(V)内电量变化率。我们约定()上面元ds方向为其外法线方向，于是，当,意味着流出电量，则；当,意味着流入电量，则。13电荷守恒率：区域内所含总电量：则有：电荷守恒率数学表达式：(公式3.5)式(3.5)也可以进一步显现为:

(公式3.5’)14注意到导电介质体内的原子实分布不动，即，故有可得电荷守恒律的微分表达式：或(公式3.6)借助数学场论中的高斯定理：15▲

稳恒电流场系无源场:

稳恒电流场j(r)，其相联系的电场必为静电场，电荷分布必处静止状态，与时间t无关，即:或进一步由公式3.6有：(公式3.7)或这表明在稳恒电流场中，处处散度为零。或者说，稳恒电流场中的电流线即j线总是闭合的，无头无尾，形成一个闭合环路。简言之，稳恒电流场系无源场。关于稳恒电流场必为无源场的结论，为动力学机制指明了一条途径，那就是单凭静电场是不可能形成稳恒电流场的，因为静电场线不可能是闭合的如图3.4(a)所示一均匀带电圆环绕圆心轴旋转，其线电荷密度为，角速度为。则它在半径为R的圆周上造成一线电流，其电流强度为:16▲例题:

旋转带电体形成的电流场。I=与此类似的情况是，一带电粒子q，以角速度作圆周运动，而造成的等效电流强度为I=如图3.4(b)所示，一均匀带电圆片绕圆心轴旋转，其面电荷密度为()，角速度为。则它在半径为R的圆片上造成一个面电流场。仿照体电流密度j的定义方式，可以定义出一个面电流密度:17进一步可得：由可得：该面电流密度值非均匀，随与圆心的距离增加而线性增大，虽然面电荷密度是均匀的。r如图3.4(c)，一均匀带电球体绕一直径轴而旋转，其体电荷密度为()，角速度为，则其造成的体电流密度函数，倒是我们所熟悉的，18运动电荷一般情形旋转带电体体电荷运动体电流密度球体

面电荷运动面电流密度圆片线电荷运动电流强度圆环

带电粒子运动电流元粒子

rI=如图3.5所示，一球状空间电荷区，设其初始半径为，初始电荷体密度为，其表面以速率向外不断膨胀，试讨论其造成的电流场19▲讨论题:

不断膨胀的球状空间电荷所造成的电流场提示：假设该膨胀过程近似为一准静态过程，即任意时刻其体内电荷近似为一均匀分布；推演出发点拟为203.2导电介质中电流动力方程引言电阻率&电导率

导电介质中电流动力方程导线怎样成为电流管小结—恒定电流场的基本规律欧姆定律电阻率与温度的关系

关于导电介质的体电荷密度恒定电流场边值关系和图象讨论—静电高压球漏电问题▲引言

泛泛而论，电场力是驱动电荷运动的一种动力，从而形成一个电流场.然而，定量上j与E的关系却取决于运动电荷的处境，是载流子运动于导电介质体内，或是电子束、离子束运动于电真空器件中的空间.这两种场合下，j与E之关系，或电流I与电压U之关系，是截然不同的.相对而言，运动于导电介质中的载流子动力学问题较为简单，且为常见实用情形，而空间电荷运动的动力学问题较为复杂.本节主要论述导电介质中与之关系，称其为电流动力方程，这要从欧姆定律说起.21德国物理学家G.S.欧姆，从1825年开始对金属细丝的电导率进行实验研究，于次年总结出，一导线两端的电压与通过的电流和其电阻三者之间遵从一个简单的比例关系，这被后人谓之欧姆定律。▲欧姆定律

图3.6(a)，其电流强度I与电压U之间呈现—线性关系,即引入一比例常数R，将这一线性关系写成一等式:(欧姆定律)(公式3.8)为材料的电阻率，它系物质电性参数，其单位为：

，称之“欧.米”22表达式中R值称为该元件的电阻，图3.6(b)显示了纯电阻元件的伏安特性，它呈现线性关系.电阻的单位为:R=V/A,

记作，谓之“欧姆”.电阻率&电导率对于一般材料制成的电阻丝其R值正比于其长度l，而反比于其正截面积S，即:引入一比例常数，将以上关系写成一个等式:三类材料的电阻率数量级范围为:金属；半导体；绝缘介质

.23金属金属锂8.59.1钛82.089.0钠4.34.6镍6.67.35钾6.16.9锌5.55.95铝2.532.72镉6.77.25铁8.99.9汞93.795.4铜1.561.68镓40.843.9银1.471.58铟8.359.1金2.062.21砷35.237.6锡10.411.3铅19.520.724▲电导G和电导率。电导：电阻的倒数；电导率：电阻率的倒数。记作S，谓之“西门子”25表3.3一些非金属物质的电导率表3.3一些非金属物质的电导率其含义为，温度改变或而引起的电阻率变化比.

金属电阻率随温度升高而增加，且在一个相当宽的温度区间，函数呈现线性变化,引入电阻率的温度系数，用以反映电阻率随温度变化的敏感程度，它定义为:26▲电阻率与温度的关系:单位：或纯金属的电阻率温度系数约为.汞：银：绝缘介质和半导体，其电阻率随温度变化的趋势是与金属相反的，其随温度上升而减少，相应有负温度系数.特别是半导体，其对温度的依赖关系十分敏感，且呈现非线性，其随温度上升而呈指数式减小.在室温下，半导体材料温度系数的数量级约为(公式3.11)27各种金属的电阻率图铜金钨银28

对导电介质电阻率及其温度系数的研究，具有十分重要的应用价值和理论意义.

一、利用半导体材料电阻率的热敏性而制成热敏电阻，用于探温、测温和控温。

二、将温度讯号转化为电讯号，从而实现某种自动控制.

为了保证电路的稳定性和电阻的稳定值，人们寻求到某些特殊的合金，具有甚小的温度系数，约为，具体参见表3.4.

导电介质的电阻率及其温度系数是可观测量，人们可以凭据实验曲线，以审视关于介质导电微观机制及其给出的电阻率微观公式的正确性.

注：1911年，荷兰科学家卡莫林·昂纳斯发现了水银在液氦温度4.2K时的零电阻现象，从而开创了人类对于超导电性研究的百年新纪元.关于物质超导电性，留待本书电磁感应一章作较全面介绍.材料电阻率还与压强p有关，一般呈现正效应，即随压强上升而增加，也有个别金属呈现负压强系数.电阻率的压强系数定义为：在常温、压强在区间，金属的压强系数约比如,汞：；银：；铜：.29（公式3.11’)合金合金金-铬0.330.001铜镍合金0.430.2石墨8.00-0.2标准电阻合金0.450.04锰系材料0.500.02铂-铱0.322.0碳刷40—铂-铑0.201.7康铜0.500.03锰铜合金0.510.008锰镍铜合金0.430.02锡锌合金（约铜）0.1271.5铬-镍10120.2锌镍铜合金（白铜）0.300.4将其应用于电流场中一细小电流管，如图所示，并令，于是得到：30▲导体介质中电流动力学方程:将纯电阻元件的欧姆定律，显示为一积分形式：考虑到方向，可将上式写成欧姆定律的微分形式:或(公式3.12)31

电流动力方程鲜明地反映了是电场力推动载流子作定向运动这一动力学机制.它具有多方面的重要意义，兹阐述如下：

（1）反映了j与E的点点对应关系，即

，这表明某处的电流是由该处电场驱动所致.

（2）反映了j与E的时时对应关系，即

，这表明某时刻的电流是由当时的电场驱动所致.32（3）反映了一恒定电流场对应着一个静电场，即推论：在导电介质中若建立起一个恒定电流场，则导电介质中可能存在的体电荷密度或面电荷密度，必定与时间无关，即

（公式3.13）（4）如果在导电介质中，同时存在静电场E和非静电场K，则在该区域中电流动力方程推广为

（公式3.14）这里，K定义为单位正电荷所受到的非静电力，即

（公式3.14’）

表示原子实或正离子的体电荷密度，而表示载流子或负离子的体电荷密度，两者处处时时代数和为零，这并不排斥或的运动，或两者均在运动此结果表明，这场合有体电流，却无体电荷，似难理解.其实，这体电荷含两项:即33▲关于导体介质的体电荷密度:在恒定电流场的均匀导电介质体内，无体电荷密度，即

处处为零.可作如下推演：(恒定电流场）(设K为零）(为常数）(应用静电场散度方程）于是(公式3.15)以上证明过程先后用到三个条件，即恒定电流场，均匀电导率，和不存在非静电力.换言之，当恒定电流场存在于非均匀导电介质，则其体内可能出现的景象.抑或，在均匀导电介质内，同时存在非静电力场K(r)，其体内也有可能出现.兹对此考量如下.34我们大体已知，在磁场中的运动电荷将受到一个洛仑兹力，这是一种非静电力.而一个载流体，既会产生磁场，其体内又有运动载流子，故一载流体周围必伴有一个洛仑兹力场K(r)，再考量其散度是否为零.这些物事将在随后恒定磁场一章详述，届时将用到（3.15’）式.(公式3.15’)35▲导线怎样成为电流管:在导线内部的电场E，总是沿着导线的切线方向，电流总是沿着导线切线方向.载流导线通过其表面自由电荷的分布和调整，使自己成为引导的电流管，或成为引导的电力管.由此可见，载流导线或载流体的表面随处分布着自由电荷

跨过界面的电流密度之法线分量总是连续的，如图3.10(a)所示.这不难理解，若不连续，必将继续累积面电荷，其后果总是使强者变弱，而使弱者变强，直至（3.16）式得以满足方可恒定.36▲恒定电流场边值关系和图像:

两种导电介质的交界面，一般将出现面电荷，从而导致其两侧的场发生突变，反映这种突变关系的正是边值关系：或(公式3.16)将静电场的环路定理应用于跨过界面的小矩形框，遂得到另一条关于场切向分量的边值关系:37电流法线分量的连续，必然导致电场法线分量的突变.兹说明如下.据得：,或(公式3.16’)或同理，电场切向分量的连续，必致电流切向分量的突变，,或(公式3.16”)(公式3.16”’)图显示几种典型电导率时的场线和场线图象.(a)为一般实际情况，；(b)为一种极端情况，；(c)为另一极端情况，因有限而为无限，故，即皆为零.根据边值关系（3.16’’）得，于是，即超导电线四周的电流线必与其表面正交.3839▲小结——恒定电流场的基本规律（1）场的积分方程和导电介质方程（2）体内微分方程（3）界面边值关系（4）电荷守恒律的表达式，其积分形式为（各向同性线性导电介质)或或在均匀导电介质体内，其微分形式为在稳恒条件下

夏季湿热空气，将使一静电高压导体球放电即漏电，如图3.12所示，从而产生了一变化的电流场.设高压球初始电压为，半径为R，湿热空气电导率为.试求出：（1）电流场函数式.（2）球壳总电量随时间变化函数式.（3）球壳电量减为的时所需的时间，即放电时间常数，它满足40▲讨论——静电高压球漏电问题

为迁移率,其单位为.对于金属，约为量级；电解质溶液中，离子迁移率约为量级.而对于半导体材料，其迁移率因载流子类型而异，一般为(电子)>(空穴)；比如，轻度掺杂的硅材料，在室温下的电子迁移率为，其空穴迁移率为

.对于线性导电介质，其体内载流子运动的定向速度即漂移速度正比于电场.引入一比例系数，而将两者之关系写成一等式如下，.413.3金属导电的微观模型载流子的迁移率金属导电经典电子论的困难试估算金属传导电子的平均自由程焦耳定律及其微观机制金属导电的微观模型▲载流子的迁移率(公式3.17)42由电流运动学公式和电流动力方程以及（3.17）式：，，，可得介质电导率与其迁移率之关系：(公式3.18)这表明，介质电导率正比于载流子浓度与其迁移率之乘积.式（3.18）是一个具有微观意义的公式.大凡对宏观上可观测量电导率及其变化特点的微观解释，均可以从载流子浓度和迁移率两个因素入手分析之.

比如：半导体材料电阻率的负温度效应，源于其载流子浓度随温度上升而明显地增加.

金属中的电阻率的正温度效应，是源于其迁移率随温度上升而减少.

43气体正离子负离子氮1.291.82氧1.331.8氩1.371.7氦5.16.3氢5.78.6乙烷0.710.86苯0.180.21表3.5空气中离子迁移率换言之，该式将电导的非线性效应，吸纳到迁移率因子中，使其成为一个随变化的函数.于是，对于函数曲线的测量与研究，就等价于对材料的非线性导电性能的考量。44提两点：（1）对导电介质迁移率的测量和研究，在村料科学中具有重要价值：

一方面，是因迁移率与电导率有着直接的关系。

另一方面，若载流子迁移率越高，则其漂移速度越大，于是该器件完成讯号处理的时间越短.（2）对于非线性导电介质，人们依然喜欢采用（3.17）形式以刻画与

E关系，即(公式3.18’)45▲金属导电的微观模型金属导电的动力方程遵从

，这表明其体内自由电子在电场力

作用下，所形成的电流密度维持不变.？金属体内的原子实形成了金属晶格，而大量传导电子在晶格空间中作随机的无规热运动；在电场力作用下，传导电子又添加了一个定向加速运动；同时，传导电子与格点即原子实发生频繁地碰撞，每碰撞一次，传导电子便完全丧失掉此前被加速而获得的定向速度，从零开始重新被加速，直至下一次遭遇碰撞为止.这就是金属晶格中传导电子的运动图象，亦即金属导电的微观模型按质点力学之理，带电粒子在恒力作用下其速度将随时间而不断增长，因而其产生的电流密度应当随时间不断增长才对.46金属晶格中的传导电子，其运动的自由程度是受限的，或者说，其自由漂移的路程是受限的，电场加速的平均时间

仅限于相继两次碰撞之间，因而，自由电子的平均定向漂移速度

也就被限定了，而宏观上的电流正是这平均漂移速度所贡献的.对此数学描写如下：传导电子所受库仑力获得定向运动加速度平均自由漂移时间获得自由漂移末速度于是，相继两次碰撞间获得平均漂移速度为:该式表明，在恒定电场作用下，传导电子的平均漂移速度也是恒定的，且正比于电场强度，这就从微观深度上揭示了金属导电的线性规律.进而，联系（3.17）式和（3.18）式，遂得到两个可观测量即迁移率和电导率与微观量的关系式:(公式3.19)(公式3.20)47在分子热动理论中，平均自由漂移时间

应当等于平均自由程

与其平均热运动速率

之比值，即(公式3.20’)自由电子气的平均热运动速率

远远大于其漂移运动速率

，

量级为

量级一般为

换言之，相继两次碰撞的自由漂移时间主要地取决于热运动速率.可将（3.20）式进一步表达为(公式3.20’’)这是金属导电的经典电子论给出的两个公式.它们有助于说明金属迁移率或电导率受各种因素影响的动因.注意到，其中电子电量

e，电子质量m

和自由电子浓度

n，这三者与温度无关，因而值得注目的是，其中的平均自由程

和平均热运动速率

对温度的依赖关系，决定了金属迁移率或电导率对温度的依赖关系.48▲金属导电经典电子论的困难当温度上升，自由电子气热运动程度加剧，则其平均热运动速率

增加，据（3.20’’）式，导致

或

减少，亦即电阻率

随温度上升而增加，这就成功地解释了金属电阻率的正温度效应.然而，对于金属

在相当宽的温度范围呈现线性变化这一实验规律，经典电子论却无法给予完满解释.据分子热动理论，分子热运动的平均平动动能为这一矛盾暴露了金属电子论的局限和困难.在近代固体物理学中，将用量子理论处理金属中电子-晶格相互作用，给出了金属电阻率

的理论结果:代入（3.20”）式得:，故，即实验上却是：（3.21）49▲试估算金属传导电子的平均自由程根据（3.20”）式，得金属中电子漂移运动的平均自由程为:（略去负号）借助（3.21）式，得:代入玻尔兹曼常数温度电子质量kg.J/Kkg.K.得注：金属中的传导电子和原子实之间存在强关联，因而影响其运动的质量不是其惯性质量，而是它的有效质量

，经专门实验测定，传导电子的平均有效质量

进而，取金属传导电子的迁移率

，得50

的这一量级几倍于金属晶格相邻格点之间隔d

.可以这样来估算d

：金属比重取，金属元素的mol质量取100g，即在1cm3体积中约含

个原子，得相应的原子间隔为:cm两者的比值:这比值表明，平均看来传导电子掠过近10个原子实才遭遇到一次碰撞.？传导电子在1秒时里.其漂移运动遭遇到多少次碰撞，即其碰撞频率f为多少

次/秒引入焦耳热功率体密度

一量，它定义为单位体积中的焦耳热功率，即51▲焦耳定律及其微观机制焦耳热功率:单位时间中产生的热能正比于电阻值

和电流强度

的平方.焦耳定律是一个揭示了传导电流将电能转化为热能的定量规律.J/s=W（瓦），(公式3.22)焦耳定律的微分形式于是得到：W/m3.或

这表明，介质电流场中某处的焦耳热功率体密度，等于当地的电阻率与电流密度平方之乘积，或等于当地电导率与电场强度平方之乘积.(公式3.22’)52传导电子在电场作用下的定向漂移运动，频繁地与金属晶格遭遇碰撞，将先前获得的定向动能转化为金属晶格的热振动能量，而使金属材料升温.对此定量考察如下：其获得定向末速度为相应的定向动能为设传导电子密度为设传导电子平均漂移时间为时间里单位体积中传导电子丧失掉的总定向动能为:故，金属晶格获得的焦耳热功率体密度为:(公式3.22’’)比对宏观实验规律（3.22’）式，可见两者定性上的一致性，均正比于

，且（3.22’’）式给出了金属电导率与微观量之关系式:533.4电源与电动势热电效应电源的作用电动势单一电路欧姆定律&内阻的影响伽伐尼电池之一种—伏打电池电源端电压与电动势的关系三种热电效应▲电源的作用▲佩尔捷效应，接触电势差▲汤姆孙效应，

温差电动势

▲塞贝克效应，

热电偶其一、提供非静电力.其二、形成直流回路.其三、完成恒定电流线的循环.54图3.13直流电源的工作原理图（a），电源内部的非静电力K

驱动电量从B到A，造成电荷积累；图（b），积累的电荷产生了一个静电场E抗衡非静电力K

.至(E+K=0)，电荷不再累积，电源内部处于一种静态平衡；图（c），接上导线,导线中的载流子在静电场

驱动下流动；图（d），导线中的载流子在静电场

驱动下从A到B流动，同时非静电力将电量从

B极驱动至A

极，及时地加以补充，达到了一种动态平衡.恒定电流的运动图象：在电源内部，存在非静电力

K，它克服静电力将电荷从负极驱动到正极，而在电源外部，静电场力将电荷从正极驱动到负极，如此里应外合，循环不止，形成了恒定电流回路55▲伽伐尼电池之一种——伏打电池凡两种不同金属浸于电解质溶液，而获得一恒定电动势的装置，统称为伽伐尼电池.

1780年意大利的解剖学家L.伽伐尼——首先发现伏打由电的接触学说发明了一种两类导体的组合接触法，

，即由一片片潮湿纸板（a

），隔开一对对锌板（A

）和铜板（B），这使伽伐尼电动势倍增，时称其为伏打电堆，

伏打电堆和伏打电池成为十九世纪产生恒定电流的唯一手段.

恒定电流的获得为研究电流的磁效应，热效应和电化学效应即电解，提供了可靠的实验支持。56图3.14(a)伏打电池；(b)电偶极层与电势降落层伏打电池内部机理：

图（a）：

一、铜板和锌板分别插入CuSO4溶液和ZnSO4溶液，中部有一多孔屏，以防两种电解液混合，同时为离子运动提供通道.

二、铜离子吸附铜板上，使铜板积累正电量，其接触的溶液层便呈现负电量，两者形成电偶极层.三、锌离子进入溶液带正电量，锌板带上负电量.两者形成电偶极层获得端电压.

57图（b）：

端电压，它等于铜板与锌板附近两处偶极层分别所贡献的电势差之和.注：一、在电势降落图(b)中，溶液中C、D两点为等电势，仅适用于目前静态开路的情形.

二、一旦外部接上负载和导线而构成一回路，就有电流通过溶液自

D处至

C处，而正、负离子运动于溶液中将受到一粘滞阻力，这源于这些离子间的相互碰撞以及与水分子的碰撞.换言之，宏观上看这一路溶液是有电阻的，称其为电源的内阻，三、伏打电池工作时其端电压

将不足1.11V.段电势会由于内阻呈现线性上升，使58▲电动势电动势是衡量非静电力做功能力的一个物理量，其定义为非静电力沿闭合回路迁移单位正电荷时所做的功，即这是电动势的一个普遍定义式，适用于不同类型的电源和不同机制的非静电力.对于伽伐尼这类集中性电源，其

K局限于电源内部的正、负极之间，而在电源外部无K

，于是，其电动势表达为（伏特）公式(3.23）公式(3.23’)▲电源端电压与电动势的关系（1）理想电源.无内阻的电源被称为理想电源，表示为

，其工作时的端电压为该结果表明，不论电路负载大小，或回路电流I值大小和方向，理想电源的端电压恒等于电动势值.故人们称谓内阻为零的电源是一恒压源.公式(3.24）59（2）实际电源.一般情形电源含有内阻

r，用两个指标

反映一个电源的性能.为考量此时的端电压与电动势之关系，可以将实际电源看为一理想电源串接—纯电阻，如图3.15所示，即实际电源

=理想电源+纯电阻

，图(a),当电流I

在内部由负极B

流向正极

A，则其端电压图(b),当电流I

在内部从正极A流向负极B

，则其端电压此时，端电压小于电动势值，且在电量迁移过程中，电源力K作正功，而将电源能比如化学能转化为电势能.人们称此状态为电源放电.此时端电压大于电动势值，且在电量迁移过程中，电源力K

作负功，亦即电场力

E克服K

而作正功，将电势能转化为电源能比如化学能.人们称此工作状态为电源充电，公式(3.24’)公式(3.24’’)60▲单一电路欧姆电阻内阻的影响图(a)所示为单一电源的简单电路，其中一负载电阻为R

，一电源为.连接导线为高电导材质，可忽略其电阻，采取以下近似：则电源端电压为：又故最后得全电路欧姆定律：或（欧姆定律）（据（2.24’）式）公式(3.25)由此可见，当负载R

有变化，将导致端电压的变化，虽然电源

是不变的.此谓端电压的不稳定性，这源于电源含内阻

r.若内阻为零，则端电压恒为电动势

值，此时当负载

R变化，电流I

也随之变化，而两者仍满足简单的比例关系，即

61电源内阻带来的又一影响表现在电功率方面.电源消耗的功率为:电源输出功率或有用功率，就是负载上的电功率:此式表明，

与R关系为非线性，如图所示:开路:短路:当

时，

值达到极大:此时，电源能量转化效率

值却仅为.62▲三种热电效应（1）佩尔捷效应&接触电势差.图3.17(a)佩尔捷电动势

；(b)第三者插入其间不会改变接触电势差

一、两种不同金属A与B相密接.二、两者自由电子浓度的差别或两者表面功函数的差别，导致自由电子彼此交换数量的不对等.三、在接触处出现了一电偶极层.造成了一恒定电势差

，称其为接触电势差。相应的等效电源如图所示，其电动势

称为佩尔捷电动势.电动势

与电势差

两者互为表里.63佩尔捷电动势

之数值与两种金属材质有关，也与温度有关，通常在

当接上外电源而有电流通过时，接触面（或接头处）将发生吸热或放热现象.单位时间中接触处单位面积吸收或释放的热量

正比于电流密度

j，即(公式3.26)

比例系数

P称为佩尔捷系数，其单位相同于电压单位

，其值与金属种类以及温度有关，即

，佩尔捷效应是法国物理学家J.C.A佩尔捷于1834年发现的，当时他在铜丝两头各接一根铋丝，并将两根铋丝分别接到一直流电源的正、负极，通电后他发现一个接头变热，而另一接头变冷.64若在金属A,B接触处插入第三者金属C，这不会改变A,B两端的电势差.对此证明如下，参见图3.17(b).设接触电势差正比于两者的自由电子浓度差，即

当第三者C

插入其间后，有故，此时

的电势差应为:这里已用到等温条件，即

A,B,C三者处于同一温度，从而保证了比例系数

为同一数值.65（2）汤姆孙效应&温差电动势.汤姆孙电动势：

如图(a),金属棒其一端处于高温

，其另一端处于低温

，于是，金属中的自由电子象气体分子一样，由高温端向低温端扩散.从宏观效果上看，这等效于存在一非静电力K

，驱使自由电子迁移，造成电荷积累，而出现一个自建场

E，以反抗K；直至

E,K平衡，最终获得一恒定电压.其等效电源图如图(b),其中为汤姆孙电动势。(a)温度差导致自由电子热扩散(b)汤姆孙电动势

(c)此电流过程中导体吸热(d)此电流过程中导体放热其中比例系数

为汤姆孙系数，其单位.值与金属材质，温度有关，其量级约在

.比如，设温差

为

，则可获得汤姆孙电动势或端电压为

66

非静电力K

正比于当地的温度梯度，即：(公式3.27)凭借（3.27）式可以表达汤姆孙电动势为：(公式3.27’)汤姆孙效应:有温度梯度之导体内的热电转化效应,导体中除了产生了不可逆的焦耳热外，还要吸收或放出一定的热量.

在单位时间单位体积中吸收或放出的热量

，正比于电流密度

和温度梯度

，即(公式3.27’’)67（3）赛贝克效应&热电偶.将佩尔捷效应和汤姆孙效应结合起来，构成一个循环，就将产生一回路电流，而无需外加一直流电源.如图3.19(a)所示，此现象是T.J.塞贝克于1821年发现的.它等效于四个热电动势的串接，含两个极性相同的佩尔捷电动势

和

，两个汤姆孙电动势

和

，如图3.19(b)所示。(a)考量回路热电动势

(b)等效电路68回路最终是否出现电流，取决于回路电动势是否为非零.对此考量如下.试选一闭合回路

，其电动势最后求得塞贝克回路热电动势为：(公式3.28)式（3.28）表明：a.若

，即使

，其，回路无电流.b.若

，即使

，其

，回路无电流.c.惟有

，且

，才有可能

d.为了加强这热电动势，应寻求（3.28）式中两项为同一正号或同一负号.注意到总是

，故选择

，且

是合宜的，或选择

，且

亦合宜.69热电偶温度范围铜-康铜铁-康铜镍铬-镍铂铑-铂合金成份康铜镍铬黄铜锰铜表3.6常用热电偶及其合金成分图3.20（a）常用热电偶的温差电动势曲线，（b）热电偶测温工作原理佩尔捷效应和汤姆孙效应，以及两者结合的塞贝克效应，均系热电转换效应，它们提供了一种热能与电能彼此可逆转化的机制.利用热电效应可使塞贝克回路在高温处放热，在低温处吸热，从而实现制冷，称其为温差制冷.热电偶可用于测温，具有反应快、精度高、测温范围宽和测量对象广泛等诸多优点.热电偶测温的工作原理，如图3.20(b)所示，它由两种不同材质的金属丝组成，两种丝材

和

的一端焊接在一起作为工作端，置于被测温度

处，另两个端点作为自由端分别置于同一参考温度

处，比如冰水共存的杯中

，再用两根导线

将这两端引向一测量仪表名为电势差计.电势差计精测出电势差

，其数值就等于当

闭合为一回路时的塞贝克电动势

，这是因为第三者

的插入不会改变原有的热电动势.再由事先已经获得的这一对热电偶的

曲线，查出与

值对应的温差值

，最终测得.在半导体中同样存在上述三种热电效应，且比金属中的更显著.金属中的热电动势率约为

，而半导体中一般为

，有的甚至达.故金属中的塞贝克效应主要用于制成热电偶以测温，而半导体的热电动势可用于温差发电.70713.5直流电路概述

串联电路中高阻起主要作用并联电路中低阻起主要作用

直流电桥补偿电路&电热差计

基尔霍夫方程组例题——非平衡桥路电流及其灵敏度电压源&电流源及其变换

讨论——含电容的电路之电压分配问题▲概述基本内容：建立其电压分配和电流分配的规律；研究电功率和发生于电路元件中的能量转化；寻求解决某些特殊电路的特定有效方法；讨论电路的稳定性、灵敏度和平衡条件.决定直流电路电压分配和电流分配规律的两条基本规律：(公式3.29)电阻&电源与

关系式

放电

充电

72▲串联电路中高阻起主要作用图3.22（a）电阻串联（b）串联电路中高阻起主要作用一例如图(a)，若干电阻元件首尾相接而处于一条支路，称此种联接方式为串联；串联电路中，流经各个元件的电流

是相等的.再结合欧姆定律和电压线性叠加关系，便可得到串联电路中关于电压、电流的全部公式如下：(公式3.30)73在串联电路中，高阻起主要作用.如图(b)，设

，可调低阻

，电源

，忽略其内阻.则电流，：于是，当

，

；当

，

；当

，.即，低阻两端电压

与低阻

值近似成正比，这意味着此电路成为一准恒流电路，其电流

值主要由高阻

决定，低阻负载

的变化几乎不影响这路电流.这种近似的快速估算方法，在实验工作中很有实用价值.对于本题这估算的误差约为2%.74▲并联电路中低阻起主要作用图3.23（a）电阻并联（b）并联电路中低阻起主要作用一例如图(a)，若干电阻各自的一端联结，各自的另一端也联结，称此种联结方式为电阻的并联；在并联电路中，跨于各电阻两端的电压是相等的.结合欧姆定律和电流线性叠加关系，便可得到并联电路中关于电压、电流的全部公式如下：(公式3.31)75在并联电路中，低阻起主要作用.如图(b)，设

，可调高阻

，两者并联且与

串联，电源.则分配于并联电阻两端的电压为：于是，当

，；当，；当

，即，高阻一路电流

与高阻

值近似成反比，这意味着此电路

间成为一准恒压电路，其分配到的电压

值主要由低阻

值决定，高阻负载

的变化几乎不影响这段电压.这种近似的快速估算方法在实验工作现场很有实用价值.对于本题这估算的误差约为2%.串联电路和并联电路及其组合电路，都归结为一类简单电路，它们是常见的且应用十分广泛的电路，串联、并联电路中电压电流分配规律的典型应用：可调分压电路、可调制流电路、利用串联分压以扩大电流计的电压量程而成为伏特表、利用并联分流以扩大电流计的电流量程而成为安培表、伏安法测电阻及外接或内接的选择.7677▲直流电桥图3.24直流电桥及其平衡条件直流电桥有四臂，其电阻分别为

和；在两个支路的中点之间，跨接一个灵敏电流计作为示零器，这一段称为桥路，如图3.22所示.一般情况下，桥路电流

不为零，此时全电桥就不是一个简单电路，不能将它看作串联或并联及其组合，称此时该电桥处于非平衡状态.当桥路电流

为零，电桥达到平衡.为求出电桥平衡条件，不妨先断开桥路，让

两点脱接，试看其电压

在何条件下等于零；如是，再让

联接上，此时桥路电流

必定为零.78采用一种谓之“顺序数落电压”的方法，表达电压：

令，得：即或公式(3.32)（3.32）式为电桥平衡条件——对应臂电阻之比值相等.

基于此平衡条件，直流电桥可用于精测电阻.比如，电阻

为一待测电阻

；当电桥工作时，一般

不为零，尔后调节另一臂电阻

，直至灵敏电流计示零.于是，得公式(3.32’)直流电桥是一种基本的电磁测量仪表，它可以精测电阻以及其它影响电阻的物理效应.79▲补偿电路电势差计基于补偿电路的电势差计原理图，如图所示：

一、上半部分由工作电源

、可调电阻

和一长段

电阻构成闭合回路，提供一工作电流

，沿

段其电势逐点降落；

二、下半部分，通过双向开关

串接待测电源

或标准电池

，再接上灵敏电流计作为示零器，以检测下支路电流

是否为零.设计思想：如果下支路电源

被导线取代，则在

电势差驱动下，有下支路电流

自

；如果上半部分电源被导线取代，则在

作用下，有反向电流

自

；那么，在

,

共同作用下，在这下支路就有两股电流对冲，也就有可能导致

为零.此乃补偿电路之由来.补偿电路是对冲电路，惟有,的正极或负极如此对应安排（同极相对），才可能出现对冲效果.图3.24电势差计原理图80当

，补偿电路达到平衡.求平衡条件，断开下支路，让