《有理数》知识回眸

有理数》知识回眸“有理数”是在小学已学正数和零的意义及其运算的基础上学习的，它是我们今后进一步学习数与式的基础，现将本章知识作如下梳理，供学习参考。一. 知识结构网络相反数绝对值运算律—交结分换相反数绝对值运算律—交结分换合配律律二.复习目标要求进一步感受引入负数的必要性，会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的数量。理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数。能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值，会比较有理数的大小。掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，理解有理数的运算律，会进行有理数的混合运算以及运用有理数的运算解决简单的实际问题。4．能用科学记数法表示绝对值较大的数，掌握近似数与有效数字的概念。5．会用科学计算器进行有理数的简单运算。三.重点难点关键重点：有理数有关概念的理解和有理数的运算。难点：对有理数的运算法则、运算定律的正确理解和熟练运用。关键：有理数运算顺序和符号的确定。四.知识要点提炼.概念1有理数： 和 统称为有理数.2数轴:规定了 、 、 的直线叫数轴.TOC\o"1-5"\h\z3.相反数: 相等, 相反的两个数叫互为相反数.零的相反数是 .在数轴上看,表示互为相反数的两个点,分别在 的两侧,而且到 的距离相等.通常用a与—a表示一对相反数；若a,b互为相反数，则a+b= .绝对值:一个正数的绝对值是 ,一个负数的绝对值是 .零的绝对值是 .在数轴上看，一个数的绝对值表示这个数的点到 的距离.倒数:乘积是 的两个数叫互为倒数.1.通常用a(a丰0)与 表示一对相反数；a倒数等于它本身的数是___和 .(3) 没有倒数.科学记数法:把一个大于10的数表示成ax10n的形式(其中, <a<_,n ).有效数字:从一个数的左边第一个 数字起,到 止,所有数字都是这个数的有效数字.法则有理数加法法则：同号两数相加，取 的符号,并把 相加；.绝对值不相等的异号两数相加,取 的符号,并用 的绝对值减去 绝对值；TOC\o"1-5"\h\z.互为相反数的两个数相加得 ；.一个数与零相加仍得 .有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的 .有理数乘法法则:.两数相乘,同号得 , 得负,并把绝对值相乘；.任何数与零相乘仍得 ；.几个不等于零的数相乘,积的符号由 决定,当负因数有奇数个时,积为 ；当负因数有偶数个时,积为 .有理数除法法则:.除以一个数等于乘以这个数的 ；.两数相除,同号得 ,异号得 ,并把绝对值相除..零除以任何一个不等于零的数都得 .幂的符号法则:正数的任何次幂都是 数；负数的奇数次幂是 数,负数的偶数次幂是___数；零的任何次幂都是 .有理数混合运算顺序:(1).先算 ,再算 ,最后算 ..同级运算,按照从___到___的顺序进行；.如果有括号,就先算小括号里的,再算 .有理数的大小比较法则:.正数都 零,负数都 零,正数 一切负数；.两个正数,绝对值大的数就___；.两个负数,绝对值大的 ..在数轴上表示的两个数, 边的数总比 边的数大..运算律力口法交换律：a+b二b+a加法结合律：(a+b)+c二a+(b+c)乘法交换律：ab二ba乘法结合律:(ab)c二a(bc)

5.分配律:a(b+c)=ab+ac（请同学们对照教材完成以上知识填空）数学思想总结数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。本章的数学思想，归纳起来主要有以下三种：（一） 转化思想所谓“转化”就是将所要求的问题转化归结为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识，”把“未知”转化为“已知”，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题。数学解题过程的实质就是转化过程。通过有理数的学习，我们知道，有理式实质上就是比小学学过的数多了一类数——负数，任何一个有理数都是由“符号”和“绝对值”两部分组成。有理数的各种运算都是先确定符号，再计算绝对值。而符号确定以后，绝对值的计算就是同学们在小学已经学过的问题了。再如，有理数的减法运算是转化为有理数的加法运算（减去一个数等于加上这个数的相反数）进行，有理数的除法运算是转化为有理数的乘法运算（除以一个数等于乘以这个数的倒数）来进行。（二） .分类讨论思想当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想。分类讨论思想的目的在于克服思维的片面性，防止漏解。譬如，在研究有理数的相反数、绝对值、有理数的加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则时，都是按有理式分成正数、负数、零三类分别进行研究的。（三） ．数形结合思想数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来，分析、研究、解决问题的一种思想方法。数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以抽象研究直观的细节。用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。用数轴上的点表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数的大小比较等，更有直观性。探究实践指导123636例1.把-口，-2,-5,-23按从小到大的顺序排列。123636【思维方式】首先求出它们的绝对值，即比较］1,2,5,23的大小，仔细观察这四个故可将它们的分子化成相同，再比较它12363_故可将它们的分子化成相同，再比较它12363_3663636因为 二= 113322453023'所以363636361263<<<—即<—<一<333024231152因此363612—<—<—<—解答：分数。容易看出，它们的分子具有一定的倍数关系们的大小。36'233623【评注】：比较数（式）大小的方法有多种，归纳起来有：（1）化为同分母分数；（2）化为同分子分数；（3）作差法；（4）作商法。总之，这些方法都要根据题目的自身特点选用不同的方法，而不是一味地套用某种方法。例2.计算—j72x(-1)3-7-18>-3x3【思维方式】：此题中含有多种括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号。也可以由外向内去括号，去大括号时，把中括号看成一项，去中括号时，把小括号看成一项，最后去小括号。本题采用由外向内去括号较简便。72解答：原式二2x(-1)3-7-—x18—3x3=-2-7-14-2=—25评注】：一般方法是大多数同学都能想到的，但对于有特殊特征的式子我们就要用非一般思维才能巧妙地解决问题，这就要我们平时多练习，多积累。例3例3．计算：+++...++———————— —— ——【思维方式】：式中的分母全是99，再观察分子，依次是从1到296，也即是共296个分数相加。又分子中的1+296=297恰好是分母99的3倍，可以看出将第1项与倒数第1项，第2项与倒数第2项，„„，首尾等距离的项结合相加的和为3，只需计算有多少个3即可。TOC\o"1-5"\h\z1 2—6 2 2—5 148 14—解答：原式二(+ )+( + )+…+( + )—— —— —— —— —— ——二3+3+„+3(296十2=148个3)=3x148=444【评注】：在数学竞赛试题中，经常可见到一些特殊的和式的求和，求解这类题目的方法很多，如“凑整”、“拆项”、“倒序相加”、“错位相减”等，这仍然需要我们平时多练习，多积累。几点注意事项1．数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形(这里的数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。2．对于有理数的基本概念，要能从不同的角度去理解、认识。例如相反数的概念，