Chapter 15 结构弹性稳定

第十五章结构弹性稳定§15-1概述设计结构要考虑的因素：强度、刚度、稳定性、抗风荷能力、抗地震能力、舒适度等。其中强度、稳定性、抗风荷能力、抗地震能力属于结构保持安全的能力。稳定性是结构重要的安全指标。历史上曾出现因结构失稳而造成的重大事故。如70年代英国北海油田海上石油钻井平台因巨浪冲击造成结构失稳导致钻井平台坍塌，造成重大损失。航空、航天结构大量采用高强材料和薄壁结构，如空间站、太阳能帆板、机械手等，稳定性问题是一个重要问题。土木结构中，大跨度、高层、尤其高耸结构，也日益采用高强材料和薄壁结构，稳定性问题开始突出。国际空间站照片美国“奋进”号(Endeavour)航天飞机在美国肯尼迪航天中心金茂大厦东方明珠电视塔华盛顿纪念塔两类结构失稳现象：第一类失稳现象和第二类失稳现象。第一类失稳现象可由熟知的理想中心受压直杆的失稳来说明。首先由Euler提出并解决。轴向压力P较小时，微小水平干扰力使压杆弯曲；干扰消失，恢复原来直线状态平衡。P达到某一特定值，如有微小水平干扰力，使压杆弯曲，干扰消失后，不能回到原来直线状态平衡。此时直线平衡形式不稳定，平衡形式的分支：可以直线平衡，也可以弯曲平衡。压杆丧失了第一类失稳性，或分支点失稳。此时荷载－临界荷载Pcr（critical）承受荷载的抛物线拱和刚架，轴向受压状态，当荷载达到临界值时，出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。薄壁工字梁，荷载达到临界值前，仅在其腹板平面内弯曲；达到临界值时，原来的平面弯曲不再稳定，发生斜弯曲和扭转。其他结构，如承受均布水压力的圆环（潜水艇），当压力达到临界值qcr时，原有圆形平衡形式称为不稳定的。丧失第一类稳定性的特征：平衡形式发生本质上的突变，原有的平衡形式不稳定（出现新的有本质区别的平衡形式）。丧失第二类稳定性：塑性材料制成的偏心压杆，同时受压和受弯。在一定范围内，荷载不增加，挠度也不增大。当P达到临界值Pcr，挠度迅速增大，即使荷载减小。结构丧失第二类稳定性－极值点失稳。丧失第二类稳定性的特征：结构的平衡形式不发生本质上的突变，失稳时变形迅速增加，结构丧失承载能力。由于制造、装配误差，工程结构不可能处于理想的中心受压状态，实际都属于第二类稳定性问题。第二类稳定性的问题远比第一类稳定性的问题复杂。一般把第二类稳定性的问题化简为第一类稳定性的问题，偏心等影响用系数来代替。稳定计算的中心问题是确定临界荷载。确定临界荷载的两种方法：静力法和能量法共同特点：结构失稳时可以具有原来和新的两种平衡形式（平衡的二重性），寻找结构在新的形式下可以维持平衡的荷载－临界荷载。静力法－直接通过力的平衡条件。能量法－通过平衡时能量之间关系。结构稳定的自由度：确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数数目。a)支承在抗转弹簧上的刚性压杆，一个自由度。b)两个自由度c)无限自由度§15-2静力法确定临界荷载以结构失稳时平衡的二重性为依据，由静力平衡条件，寻找结构在新的平衡形式下能维持的最小荷载单自由度结构，刚杆，平衡条件P=Pcr时，无法确定。可以为任意值，结构处于随遇平衡状态。（小位移假设）精确方程为对应结构原来平衡形式对应结构新的平衡形式，也可以对应原来平衡形式。反映失稳时平衡形式的二重性特征方程临界荷载两抗移弹性支座的刚度为，由平衡条件齐次线性方程组，y1,y2不全为零系数行列式=0结构失稳的形式不能由齐次线性方程组求出y1,y2的确定值，但可以求得它们的比值，类似振动的振型解得临界荷载无限自由度结构的例子一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆任一截面的弯距挠曲线近似微分方程令微分方程通解为A,B为积分常数，Q/P也是未知，由边界条件x=0,y=0,y’=0;x=l,y=0得到A,B,Q/P的齐次线性方程组A=B=Q/P=0，对应原有的直线平衡形式。对于新的弯曲平衡形式，要求A,B,Q/P不全为零，系数行列式＝0得到特征方程（超越方程）解得临界荷载采用图解法或迭代法求解§15-3具有弹性支座压杆的稳定弹性支座的压杆：在刚架中，将某根压杆取出，而以弹性支座代替其余部分对它的约束作用。BC杆对AB压杆的约束，可以用一个抗转弹簧来代替。抗转弹簧的刚度由平衡条件压杆挠曲线的平衡方程同样令微分方程通解三个未知常数：A,B,1,边界条件：x=0,y=0,y’=0;x=l,y=0得到A,B,1的齐次线性方程组A,B,1不全为零，系数行列式＝01给定时，解此超越方程，可解出nl的最小正根，求Pcr。特别地（两端铰支）（一端铰支，一端固定）a)一端弹性固定另一端自由的压杆b)一端固定另一端有抗移支座弹簧的压杆c)两端都有抗转弹簧，上端有抗移弹簧，特征方程弹性支座压杆的稳定方程的一般形式。图15-8b图15-9a图15-9b求刚架的临界荷载对称刚架承受对称荷载，失稳形式为正对称或反对称变形正对称失稳时，压杆下端铰支上端弹性固定，同图15-8b，弹性固定端的抗弯刚度得特征方程解得超越方程的最小正根nl=3.83临界荷载为反对称失稳时，压杆下端铰支上端弹性固定，上下两端有相对侧移，无水平反力，同图15-9a，弹性固定端的抗弯刚度得特征方程解得超越方程的最小正根nl=1.45，临界荷载为反对称失稳的Pcr较小，为实际的临界荷载§15-4用能量法确定临界荷载静力法确定临界荷载，结构复杂或边界条件复杂时，求解困难。能量法是另外一种确定临界荷载的方法，有时简便。能量法确定临界荷载，依据是结构失稳时平衡的二重性，即用能量形式表示平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，最小者为临界荷载。能量形式表示平衡条件－势能驻值原理。弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移，使结构的势能为驻值，即结构势能的一阶变分为零结构势能＝应变能U＋外力势能V应变能U按材料力学公式，外力势能Pi－外力，I－相应位移。外力势能＝外力所做虚功的负值有限自由度结构，所有可能的位移状态用有限个独立参数表示，＝(a1,a2,…,an)＝0，a1,a2,…,an是任意的可以获得一组关于a1,a2,…,an的齐次线性方程组，a1,a2,…,an不全为零，此方程组的系数行列式＝0，建立特征方程例题，压杆EI为无穷大，弹簧刚度弹簧的应变能外力势能结构势能在新的位置平衡两个自由度结构的势能：此时∏是两个独立参数y1、y2的函数，结构处于平衡时，由式（15-11）有：而y1、y2不能全为零，故应有：展开并整理得：解方程得：其中最小值为临界载荷：无限自由度结构弹性压杆的应变能外力势能结构势能挠曲函数y未知，结构势能是y的函数，泛函。＝0为求泛函极值问题，变分问题。将无限自由度－>有限自由度，瑞利－李兹法。假设挠曲函数y为有限个已知函数的线性组合i(x)是满足位移边界条件的已知函数，ai是任意参数。结构的变形由n个独立参数a1,a2,…,an确定，原来的无限自由度－>n个自由度。得到临界荷载为近似解。§15-6剪力对临界荷载的影响建立挠曲线微分方程，除了弯距，也考虑剪力对变形的影响。弯距和剪力产生的挠度分别为yM和yQ，剪力引起的杆轴切线的附加转角两端铰支的等截面杆同时考虑弯距和剪力影响的挠曲线微分方程令微分方程的通解边界条件得特征方程最小正根为临界荷载Euler临界荷载修正系数在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。但在薄壁杆件中，剪力较大，需加以考虑。§15-7组合压杆的稳定组合压杆由两个型钢通过若干联结件联结构成。联结件的形式有：缀条式和缀板式两种。组合压杆中剪力影响较大，它比同样截面和柔度的实体压杆的临界荷载小。当节间数比较多时，组合压杆的临界荷载用考虑剪力影响的实体压杆的临界荷载公式计算，式中k/GA需要修改，以反映联结件的影响。是单位剪力作用下的剪切角需要求出组合压杆在单位剪力作用下的剪切角,代替式中的k/GA1.缀条式组合压杆主要杆件采用型钢，缀条通常采用单根角钢，截面较小，两端可视为铰接（即使杆件通过焊接联结）。取出一个节间，在单位剪力Q=1作用下的剪切角主要杆件的截面比缀条大的多，所以只考虑缀条的影响。缀条的横杆杆长截面积为Ap缀条的斜杆杆长截面积为Aq式中惯性矩I为两根主要杆件的截面对整个截面形心轴z的惯性矩。Ad－一根主要杆件的截面积，Id－一根主要杆件的截面对本身形心轴的惯性矩，由平行移轴定理，斜杆比横杆对临界荷载的影响更大，可以考虑略去横杆的影响（钢翼缘两侧平面内都设有缀条）写成Euler问题的基本形式